Стратификация (математика) - Stratification (mathematics)

Эта статья не цитировать любой источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удаленный. Найдите источники: «Стратификационная» математика  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Стратификация имеет несколько применений в математике.

В математической логике

В математическая логика, стратификация любое последовательное присвоение номеров предикат символы, гарантирующие уникальный формальный интерпретация логической теории существует. В частности, мы говорим, что набор статьи формы ${ Displaystyle Q_ {1} клин точки клин Q_ {n} клин neg Q_ {n + 1} клин точки клин neg Q_ {n + m} rightarrow P}$ стратифицирован тогда и только тогда, когда существует присваивание стратификации S, которое удовлетворяет следующим условиям:

1. Если предикат P положительно получен из предиката Q (т. Е. P является главой правила, а Q положительно встречается в теле того же правила), то число стратификации P должно быть больше или равно стратификации количество Q, короче ${ Displaystyle S (P) geq S (Q)}$.
2. Если предикат P является производным от отрицательного предиката Q (т. Е. P является главой правила, а Q встречается отрицательно в теле того же правила), то число стратификации P должно быть больше, чем число расслоения Q , короче ${ Displaystyle S (P)> S (Q)}$.

Понятие стратифицированного отрицания приводит к очень эффективной операционной семантике для стратифицированных программ с точки зрения стратифицированной наименьшей фиксированной точки, которая получается путем итеративного применения оператора фиксированной точки к каждой слой программы, начиная с самого нижнего. Стратификация полезна не только для обеспечения уникальной интерпретации Оговорка о роге теории.

В теории множеств

В Новые основы (NF) и связанные теории множеств, формула ${ displaystyle phi}$ на языке логики первого порядка с равенством и членством называетсястратифицированный тогда и только тогда, когда есть функция${ displaystyle sigma}$ который отправляет каждую переменную, появляющуюся в ${ displaystyle phi}$ (рассматривается как элемент синтаксиса) в натуральное число (это работает одинаково хорошо, если используются все целые числа) таким образом, что любая атомарная формула ${ displaystyle x in y}$ появляясь в ${ displaystyle phi}$ удовлетворяет ${ displaystyle sigma (x) + 1 = sigma (y)}$ и любой атомная формула ${ displaystyle x = y}$ появляясь в ${ displaystyle phi}$ удовлетворяет ${ Displaystyle sigma (x) = sigma (y)}$.

Оказывается, достаточно потребовать, чтобы эти условия выполнялись только тогда, когда обе переменные в атомарной формуле связаны в множестве abstract. ${ Displaystyle {х мид фи }}$на рассмотрении. Абстрактное множество, удовлетворяющее этому более слабому условию, называетсяслабо стратифицированный.

Расслоение Новые основы легко обобщается на языки с большим количеством предикатов и с термическими конструкциями. Каждый примитивный предикат должен иметь определенные необходимые смещения между значениями ${ displaystyle sigma}$ по его (связанным) аргументам в (слабо) стратифицированной формуле. В языке с терминологическими конструкциями самим терминам необходимо присвоить значения в соответствии с ${ displaystyle sigma}$, с фиксированными отклонениями от значений каждого из их (связанных) аргументов в (слабо) стратифицированной формуле. Определенные конструкции терминов аккуратно обрабатываются (возможно, просто неявно) с помощью теории описаний: термин ${ Displaystyle ( йота х. фи)}$ (x такой, что ${ displaystyle phi}$) должно быть присвоено то же значение под ${ displaystyle sigma}$ как переменная x.

Формула стратифицирована тогда и только тогда, когда можно присвоить типы всем переменным, фигурирующим в формуле, таким образом, чтобы это имело смысл в версии TST теории типов, описанной в Новые основы статья, и это, вероятно, лучший способ понять стратификацию Новые основы на практике.

Понятие стратификации можно распространить на лямбда-исчисление; это можно найти в бумагах Рэндалла Холмса.

Мотивом использования стратификации является решение Парадокс Рассела, считалось, что антиномия подорвала Фреге центральная работа Grundgesetze der Arithmetik (1902).Куайн, Уиллард Ван Орман (1963) [1961]. С логической точки зрения (2-е изд.). Нью-Йорк: Харпер и Роу. п. 90. LCCN  61-15277.

В топологии

В теория сингулярности, есть иной смысл разложения топологическое пространство Икс на непересекающиеся подмножества, каждое из которых является топологическое многообразие (так что, в частности, стратификация определяет раздел топологического пространства). Это бесполезное понятие, если оно не ограничено; но когда различные слои определяются некоторым узнаваемым набором условий (например, локально закрыто ) и легко сочетаются друг с другом, эта идея часто применяется в геометрии. Хасслер Уитни и Рене Том впервые определены формальные условия стратификации. Видеть Стратификация Уитни и топологически стратифицированное пространство.

В статистике

Видеть стратифицированная выборка.

Указатель статей, связанных с тем же именем Этот статья включает список связанных элементов с одинаковыми именами (или похожими именами). Если внутренняя ссылка неправильно привел вас сюда, вы можете изменить ссылку, чтобы она указывала непосредственно на предполагаемую статью.