Каустик (математика) - Википедия - Caustic (mathematics)

Отражающая каустика, генерируемая круг и параллельные лучи

В дифференциальная геометрия, а едкий это конверт из лучи либо отраженный или же преломленный по многообразие. Это связано с концепцией каустика в геометрическая оптика. Источником луча может быть точка (называемая радиантом) или параллельные лучи из бесконечно удаленной точки, и в этом случае необходимо указать вектор направления лучей.

В более общем смысле, особенно применительно к симплектическая геометрия и теория сингулярности, каустика - это набор критических значений из Лагранжево отображение (π ○ я) : L ↪ M ↠ B; куда я : L ↪ M это Лагранжево погружение из Лагранжево подмногообразие L в симплектическое многообразие M, и π : M ↠ B это Лагранжево расслоение симплектического многообразия M. Каустика - это подмножество лагранжиана расслоение с базовое пространство B.^[1]

Катакустический

А катакустический отражающий случай.

С лучистым, это эволюционировать из ортотомический сияющего.

Случай плоских параллельных источников лучей: предположим, что вектор направления равен ${ Displaystyle (а, б)}$ а зеркальная кривая параметризуется как ${ Displaystyle (и (т), v (т))}$. Вектор нормали в точке равен ${ Displaystyle (-v '(т), и' (т))}$; отражение вектора направления (нормаль требует специальной нормализации)

${ displaystyle 2 { mbox {proj}} _ {n} dd = { frac {2n} { sqrt {n cdot n}}} { frac {n cdot d} { sqrt {n cdot n}}} - d = 2n { frac {n cdot d} {n cdot n}} - d = { frac {(av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2} , bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2})} {v '^ {2} + u' ^ {2}}}}$

Компоненты найденного отраженного вектора рассматривают его как касательную.

${ displaystyle (xu) (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) = (yv) (av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2}) .}$

Используя самый простой конверт форма

${ displaystyle F (x, y, t) = (xu) (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) - (yv) (av '^ {2} -2bu'v '-au' ^ {2})}$

${ displaystyle = x (bu '^ {2} -2au'v'-bv' ^ {2}) - y (av '^ {2} -2bu'v'-au' ^ {2}) + b ( uv '^ {2} -uu' ^ {2} -2vu'v ') + a (-vu' ^ {2} + vv '^ {2} + 2uu'v')}$

${ displaystyle F_ {t} (x, y, t) = 2x (bu'u '' - a (u'v '' + u''v ') - bv'v' ') - 2y (av'v '' -b (u''v '+ u'v' ') - au'u' ')}$

${ displaystyle + b (u'v '^ {2} + 2uv'v' '- u' ^ {3} -2uu'u '' - 2u'v '^ {2} -2u''vv'-2u 'vv' ') + a (-v'u' ^ {2} -2vu'u '' + v '^ {3} + 2vv'v' '+ 2v'u' ^ {2} + 2v''uu '+ 2v'uu' ')}$

что может быть неэстетично, но ${ Displaystyle F = F_ {t} = 0}$ дает линейная система в ${ Displaystyle (х, у)}$ и поэтому получить параметризацию катакостики элементарно. Правило Крамера будет служить.

Пример

Пусть вектор направления равен (0,1), а зеркало - ${ displaystyle (t, t ^ {2}).}$потом

${ displaystyle u '= 1}$   ${ displaystyle u '' = 0}$   ${ displaystyle v '= 2t}$   ${ displaystyle v '' = 2}$   ${ displaystyle a = 0}$   ${ displaystyle b = 1}$

${ Displaystyle F (x, y, t) = (x-t) (1-4t ^ {2}) + 4t (y-t ^ {2}) = x (1-4t ^ {2}) + 4ty-t}$

${ displaystyle F_ {t} (x, y, t) = - 8tx + 4y-1}$

и ${ Displaystyle F = F_ {t} = 0}$ есть решение ${ Displaystyle (0,1 / 4)}$; т.е., свет попадает в параболический зеркало, параллельное своей оси, отражается через фокус.

Рекомендации

Смотрите также

• Разрезать геометрическое место (риманово многообразие)
• Последнее геометрическое утверждение Якоби
• Нефроидный каустик

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Каустик». MathWorld.