Линейная система - Linear system

В теория систем, а линейная система это математическая модель из система на основе использования линейный оператор.Линейные системы обычно обладают функциями и свойствами, которые намного проще, чем нелинейный В качестве математической абстракции или идеализации линейные системы находят важные приложения в автоматический контроль теория обработка сигналов, и телекоммуникации. Например, среда распространения для систем беспроводной связи часто может быть смоделирована линейными системами.

Определение

Генерал детерминированная система можно описать оператором, $ЧАС$ , который отображает ввод, $Икс (т)$ , как функция $т$ к выходу, $у (т)$ , тип черный ящик описание. Линейные системы удовлетворяют свойству суперпозиция. Учитывая два действительных ввода

{ Displaystyle x_ {1} (т)}

{ Displaystyle x_ {2} (т)}

а также их соответствующие выходы

{ displaystyle y_ {1} (t) = H left {x_ {1} (t) right }}

{ displaystyle y_ {2} (t) = H left {x_ {2} (t) right }}

то линейная система должна удовлетворять

{ Displaystyle альфа y_ {1} (t) + beta y_ {2} (t) = H left { alpha x_ {1} (t) + beta x_ {2} (t) right }}

для любого скаляр значения $α$ и $β$ .

Тогда система определяется уравнением $ЧАС (Икс (т)) = у (т)$ , куда $у (т)$ - некоторая произвольная функция времени, а $Икс (т)$ это состояние системы. Данный $у (т)$ и $ЧАС$ , система может быть решена для $Икс (т)$ . Например, простой гармонический осциллятор подчиняется дифференциальному уравнению:

{ displaystyle m { frac {d ^ {2} (x)} {dt ^ {2}}} = - kx}

.

Если

{ Displaystyle Н (х (т)) = м { гидроразрыва {d ^ {2} (х (т))} {dt ^ {2}}} + kx (t)}

,

тогда $ЧАС$ - линейный оператор. Сдача $у (т) = 0$ , мы можем переписать дифференциальное уравнение в виде $ЧАС (Икс (т)) = у (т)$ , что показывает, что простой гармонический осциллятор является линейной системой.

Поведение результирующей системы, подвергшейся сложному входу, можно описать как сумму ответов на более простые входные данные. В нелинейных системах такой связи нет. Это математическое свойство делает решение уравнений моделирования проще, чем решение многих нелинейных систем. неизменный во времени системы это основа импульсивный ответ или частотный отклик методы (см. Теория систем LTI ), которые описывают общую входную функцию $Икс (т)$ с точки зрения единичные импульсы или же частотные составляющие.

Типичный дифференциальные уравнения линейных неизменный во времени системы хорошо адаптированы к анализу с использованием Преобразование Лапласа в непрерывный дело, и Z-преобразование в дискретный корпус (особенно в компьютерных реализациях).

Другая перспектива состоит в том, что решения линейных систем включают систему функции которые действуют как векторов в геометрическом смысле.

Обычно линейные модели используются для описания нелинейной системы с помощью линеаризация. Обычно это делается для математического удобства.

Импульсный отклик, изменяющийся во времени

В изменяющаяся во времени импульсная характеристика $час (т 2, т 1)$ линейной системы определяется как реакция системы во время т = т₂ к одному импульс применяется во время $т = т 1$ . Другими словами, если вход $Икс (т)$ к линейной системе

{ Displaystyle х (т) = дельта (т-т_ {1})}

куда $δ (т)$ представляет Дельта-функция Дирака, и соответствующий ответ $у (т)$ системы

{ Displaystyle у (т) | _ {т = т_ {2}} = ч (т_ {2}, т_ {1})}

тогда функция $час (т 2, т 1)$ - изменяющаяся во времени импульсная характеристика системы. Поскольку система не может ответить до того, как будет применен ввод, следующее условие причинности должно быть удовлетворено:

{ displaystyle h (t_ {2}, t_ {1}) = 0, t_ {2}

Интеграл свертки

Выход любой общей линейной системы с непрерывным временем связан с входом интегралом, который может быть записан в дважды бесконечном диапазоне из-за условия причинности:

{ displaystyle y (t) = int _ {- infty} ^ {t} h (t, t ') x (t') dt '= int _ {- infty} ^ { infty} h ( t, t ') x (t') dt '}

Если свойства системы не зависят от времени, в которое она работает, то говорят, что она неизменный во времени и $час$ зависит только от разницы во времени $τ = т - т '$ который равен нулю для $τ < 0$ (а именно $т < т '$ ). Путем переопределения $час$ тогда можно написать эквивалентное отношение ввода-вывода любым из способов,

{ displaystyle y (t) = int _ {- infty} ^ {t} h (t-t ') x (t') dt '= int _ {- infty} ^ { infty} h ( t-t ') x (t') dt '= int _ {- infty} ^ { infty} h ( tau) x (t- tau) d tau = int _ {0} ^ { infty} ч ( тау) х (т- тау) д тау}

Линейные неизменяющиеся во времени системы обычно характеризуются преобразованием Лапласа функции импульсного отклика, называемым функция передачи который:

{ Displaystyle H (s) = int _ {0} ^ { infty} h (t) e ^ {- st} , dt.}

В приложениях это обычно рациональная алгебраическая функция $s$ . Потому что $час (т)$ равен нулю для отрицательного $т$ , интеграл также можно записать в дважды бесконечном диапазоне и положить $s = iω$ следует формуле для функция частотной характеристики:

{ Displaystyle H (я omega) = int _ {- infty} ^ { infty} h (t) e ^ {- я omega t} dt}

Системы с дискретным временем

Выход любой линейной системы с дискретным временем связан с входом изменяющейся во времени сверточной суммой:

{ displaystyle y [n] = sum _ {m = - infty} ^ {n} {h [n, m] x [m]} = sum _ {m = - infty} ^ { infty} {ч [п, м] х [м]}}

или, что то же самое, для инвариантной во времени системы при переопределении h (),

{ displaystyle y [n] = sum _ {k = 0} ^ { infty} {h [k] x [nk]} = sum _ {k = - infty} ^ { infty} {h [ k] x [nk]}}

куда

{ Displaystyle к = п-м ,}

представляет собой время задержки между стимулом во времени м и ответ вовремя п.

Линейная система - Linear system

Содержание

Определение

Импульсный отклик, изменяющийся во времени

Интеграл свертки

Системы с дискретным временем

Смотрите также

Примечания

Рекомендации