Линейная система делителей - Linear system of divisors

А линейная система делителей алгебраизирует классическое геометрическое понятие семейство кривых, как в Аполлонические круги.

В алгебраическая геометрия, а линейная система делителей является алгебраическим обобщением геометрического понятия семейство кривых; размерность линейной системы соответствует количеству параметров семейства.

Сначала они возникли в виде линейная система из алгебраические кривые в проективная плоскость. Через постепенное обобщение он принял более общую форму, так что можно было говорить о линейная эквивалентность из делители D на общем схема или даже окольцованное пространство (Икс, О_Икс).^[1]

Линейные системы размерности 1, 2 или 3 называются карандаш, а сеть, или сеть, соответственно.

Отображение, определяемое линейной системой, иногда называют Карта Кодаира.

Определение

Учитывая фундаментальную идею рациональная функция на общем разнообразии ${ displaystyle X}$ , или другими словами функции ${ displaystyle f}$ в функциональное поле из ${ displaystyle X}$ , ${ Displaystyle е в к (Х)}$ , делители ${ displaystyle D, E in { text {Div}} (X)}$ находятся линейно эквивалентные дивизоры если

{ Displaystyle D = Е + (е) }

куда ${ displaystyle (f)}$ обозначает делитель нулей и полюсов функции ${ displaystyle f}$ .

Обратите внимание, что если ${ displaystyle X}$ имеет особые точки, 'divisor' по своей природе неоднозначен (Делители Картье, Дивизоры Вейля: видеть дивизор (алгебраическая геометрия) ). Определение в этом случае обычно произносится с большей осторожностью (используя обратимые связки или же голоморфные линейные расслоения ); Смотри ниже.

А полная линейная система на ${ displaystyle X}$ определяется как множество всех эффективных дивизоров, линейно эквивалентных некоторому заданному дивизору ${ displaystyle D in { text {Div}} (X)}$ . Обозначается ${ displaystyle | D |}$ . Позволять ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ быть линейным пучком, связанным с ${ displaystyle D}$ . В случае, если ${ displaystyle X}$ является неособым проективным многообразием множество ${ displaystyle | D |}$ находится в естественной биекции с ${ displaystyle ( Gamma (X, { mathcal {L}}) smallsetminus {0 }) / k ^ { ast},}$ ^[2]^{[требуется дальнейшее объяснение ]} и поэтому является проективным пространством.

А линейная система ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ тогда является проективным подпространством полной линейной системы, поэтому ему соответствует векторное подпространство W из ${ displaystyle Gamma (X, { mathcal {L}}).}$ Размерность линейной системы ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ это его размерность как проективного пространства. Следовательно ${ Displaystyle dim { mathfrak {d}} = dim W-1}$ .

Поскольку класс дивизоров Картье является классом изоморфизма линейного расслоения, линейные системы также могут быть введены с помощью линейный пакет или же обратимая связка язык, вообще без ссылки на делители. Таким образом, делители ${ displaystyle D}$ (Делители Картье, а точнее) соответствуют линейным пучкам, а линейная эквивалентность двух дивизоров означает, что соответствующие линейные расслоения изоморфны.

Примеры

Линейная эквивалентность

Рассмотрим линейный пучок ${ Displaystyle { mathcal {O}} (2)}$ на ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {3}}$ чьи разделы ${ displaystyle s in Gamma ( mathbb {P} ^ {3}, { mathcal {O}} (2))}$ определяют квадратичные поверхности. Для ассоциированного дивизора ${ displaystyle D_ {s} = Z (s)}$ , он линейно эквивалентен любому другому дивизору, определяемому множеством исчезающих ${ Displaystyle т ин гамма ( mathbb {P} ^ {3}, { mathcal {O}} (2))}$ используя рациональную функцию ${ Displaystyle влево (т / с вправо)}$ ^[2] (Предложение 7.2). Например, делитель ${ displaystyle D}$ связанный с исчезающим локусом ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2}}$ линейно эквивалентно дивизору ${ displaystyle E}$ связанный с исчезающим локусом ${ displaystyle xy}$ . Тогда имеется эквивалентность дивизоров

${ displaystyle D = E + left ({ frac {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2}} {xy}} right)}$

Линейные системы на кривых

Одна из важных полных линейных систем на алгебраической кривой ${ displaystyle C}$ рода ${ displaystyle g}$ задается полной линейной системой, связанной с каноническим дивизором ${ displaystyle K}$ , обозначенный ${ displaystyle | К | = mathbb {P} (H ^ {0} (C, omega _ {C}))}$ . Это определение следует из предложения II.7.7 Хартсхорна.^[2] так как каждый эффективный делитель в линейной системе происходит из нулей некоторого участка ${ displaystyle omega _ {C}}$ .

Гиперэллиптические кривые

Одно приложение линейных систем используется при классификации алгебраических кривых. А гиперэллиптическая кривая кривая ${ displaystyle C}$ с конечной степенью ${ displaystyle 2}$ морфизм ${ displaystyle f: C to mathbb {P} ^ {1}}$ .^[2] По делу ${ displaystyle g = 2}$ все кривые гиперэллиптические: Теорема Римана – Роха затем дает степень ${ displaystyle K_ {C}}$ является ${ displaystyle 2g-2 = 2}$ и ${ displaystyle h ^ {0} (K_ {C}) = 2}$ , следовательно, существует степень ${ displaystyle 2}$ сопоставить с ${ displaystyle mathbb {P} ^ {1} = mathbb {P} (H ^ {0} (C, omega _ {C}))}$ .

грамм_р^d

А ${ displaystyle g_ {d} ^ {r}}$ линейная система ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ на кривой ${ displaystyle C}$ который имеет степень ${ displaystyle d}$ и размер ${ displaystyle r}$ . Например, гиперэллиптические кривые имеют ${ displaystyle g_ {2} ^ {1}}$ поскольку ${ displaystyle | K_ {C} |}$ определяет один. На самом деле гиперэллиптические кривые обладают уникальным ${ displaystyle g_ {2} ^ {1}}$ ^[2] из предложения 5.3. Другой близкий набор примеров - кривые с ${ displaystyle g_ {3} ^ {1}}$ которые называются тригональные кривые. Фактически, любая кривая имеет ${ displaystyle g_ {d} ^ {1}}$ за ${ Displaystyle д geq (1/2) г + 1}$ .^[3]

Линейные системы гиперповерхностей в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$

Рассмотрим линейный пучок ${ displaystyle { mathcal {O}} (d)}$ над ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ . Если взять глобальные разделы ${ Displaystyle V = Gamma ({ mathcal {O}} (d))}$ , то можно взять его проективизацию ${ Displaystyle mathbb {P} (V)}$ . Это изоморфно ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {N}}$ куда

{ displaystyle N = { binom {n + d} {n}} - 1}

Затем, используя любое вложение ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {k} to mathbb {P} ^ {N}}$ мы можем построить линейную систему измерений ${ displaystyle k}$ .

Линейная система коников

Другие примеры

В Теорема Кэли – Бахараха является свойством пучка кубик, которое утверждает, что базовое множество удовлетворяет свойству «8 влечет 9»: любая кубика, содержащая 8 точек, обязательно содержит 9-ю.

Линейные системы в бирациональной геометрии

В целом линейные системы стали основным инструментом бирациональная геометрия как это практикуется Итальянская школа алгебраической геометрии. Технические требования стали довольно жесткими; более поздние события прояснили ряд вопросов. Вычисление соответствующих размерностей - проблему Римана – Роха, как ее можно назвать - можно лучше сформулировать в терминах гомологическая алгебра. Эффект от работы над сортами с особые точки показать разницу между Дивизоры Вейля (в свободная абелева группа порожденные подмногообразиями коразмерности один), и Делители Картье исходящий из секций обратимые связки.

Итальянская школа любила сокращать геометрию на алгебраическая поверхность линейным системам, вырезанным поверхностями в трехмерном пространстве; Зарисский написал свою знаменитую книгу Алгебраические поверхности попытаться собрать воедино методы, включающие линейные системы с фиксированными базовыми точками. Был спор, один из последних вопросов в конфликте между «старой» и «новой» точками зрения в алгебраической геометрии, по поводу Анри Пуанкаре с характеристическая линейная система алгебраического семейства кривых на алгебраической поверхности.

Базовый локус

В базовый локус линейной системы дивизоров на разнообразие относится к подмногообразию точек, «общих» для всех дивизоров линейной системы. Геометрически это соответствует общему пересечению разновидностей. Линейные системы могут иметь базовое геометрическое место, а могут и не иметь - например, пучок аффинных линий. ${ Displaystyle х = а}$ не имеет общего пересечения, но учитывая две (невырожденные) коники в комплексной проективной плоскости, они пересекаются в четырех точках (считая с кратностью), и, таким образом, пучок, который они определяют, имеет эти точки в качестве базового множества.

Точнее, предположим, что ${ displaystyle | D |}$ - полная линейная система дивизоров на некотором многообразии ${ displaystyle X}$ . Рассмотрим пересечение

{ displaystyle operatorname {Bl} (| D |): = bigcap _ {D _ { text {eff}} in | D |} operatorname {Supp} D _ { text {eff}} }

куда ${ displaystyle operatorname {Supp}}$ обозначает носитель дивизора, а пересечение берется по всем эффективным дивизорам ${ displaystyle D _ { text {eff}}}$ в линейной системе. Это базовый локус из ${ displaystyle | D |}$ (по крайней мере, в комплекте: могут быть более тонкие схемотехнический соображения относительно того, что структурная связка из ${ displaystyle operatorname {Bl}}$ должно быть).

Одно из применений понятия базового локуса - нефнесс класса дивизоров Картье (т. е. полной линейной системы). Предполагать ${ displaystyle | D |}$ такой класс по разнообразию ${ displaystyle X}$ , и ${ displaystyle C}$ неприводимая кривая на ${ displaystyle X}$ . Если ${ displaystyle C}$ не содержится в базовом локусе ${ displaystyle | D |}$ , то существует некоторый дивизор ${ displaystyle { tilde {D}}}$ в классе, не содержащем ${ displaystyle C}$ , и поэтому правильно пересекает его. Основные факты из теории пересечений говорят нам, что мы должны иметь ${ Displaystyle | D | cdot C geq 0}$ . Вывод состоит в том, что для проверки нефтеносности класса делителей достаточно вычислить число пересечений с кривыми, содержащимися в базовом множестве класса. Итак, грубо говоря, чем «меньше» базовый локус, тем «более вероятно», что класс будет nef.

В современной формулировке алгебраической геометрии полная линейная система ${ displaystyle | D |}$ дивизоров (Картье) на многообразии ${ displaystyle X}$ рассматривается как линейный пучок ${ Displaystyle { mathcal {O}} (D)}$ на ${ displaystyle X}$ . С этой точки зрения базовый локус ${ Displaystyle OperatorName {Bl} (| D |)}$ - множество общих нулей всех сечений ${ Displaystyle { mathcal {O}} (D)}$ . Простое следствие состоит в том, что пучок глобально созданный тогда и только тогда, когда базовый локус пуст.

Понятие базового множества по-прежнему имеет смысл и для неполной линейной системы: его базовое множество по-прежнему является пересечением носителей всех эффективных дивизоров в системе.

Пример

Рассмотрим Карандаш Лефшеца ${ displaystyle p: { mathfrak {X}} to mathbb {P} ^ {1}}$ заданный двумя общими разделами ${ displaystyle f, g in Gamma ( mathbb {P} ^ {n}, { mathcal {O}} (d))}$ , так ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ данный по схеме

${ displaystyle { mathfrak {X}} = { text {Proj}} left ({ frac {k [s, t] [x_ {0}, ldots, x_ {n}]} {(sf + tg)}} right)}$

С этим связана линейная система дивизоров, поскольку каждый многочлен, ${ displaystyle s_ {0} f + t_ {0} g}$ для фиксированного ${ displaystyle [s_ {0}: t_ {0}] in mathbb {P} ^ {1}}$ является делителем в ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$ . Тогда базисное множество этой системы дивизоров - это схема, заданная множеством исчезающих ${ displaystyle f, g}$ , так

${ displaystyle { text {Bl}} ({ mathfrak {X}}) = { text {Proj}} left ({ frac {k [s, t] [x_ {0}, ldots, x_ {n}]} {(f, g)}} right)}$

Карта, определяемая линейной системой

Каждая линейная система на алгебраическом многообразии определяет морфизм из дополнения базового множества в проективное пространство размерности системы следующим образом. (В некотором смысле верно и обратное; см. Раздел ниже)

Позволять L линейное расслоение на алгебраическом многообразии Икс и ${ Displaystyle V подмножество Gamma (X, L)}$ конечномерное векторное подпространство. Для наглядности сначала рассмотрим случай, когда V не содержит базовых точек; другими словами, естественная карта ${ displaystyle V otimes _ {k} { mathcal {O}} _ {X} to L}$ сюръективно (здесь k = базовое поле). Или, что то же самое, ${ displaystyle operatorname {Sym} ((V otimes _ {k} { mathcal {O}} _ {X}) otimes _ {{ mathcal {O}} _ {X}} L ^ {- 1 }) to bigoplus _ {n = 0} ^ { infty} { mathcal {O}} _ {X}}$ сюръективно. Следовательно, написание ${ displaystyle V_ {X} = V times X}$ для тривиального векторного расслоения и переходя сюръекцию к относительный проект, Существует закрытое погружение:

{ displaystyle i: X hookrightarrow mathbb {P} (V_ {X} ^ {*} otimes L) simeq mathbb {P} (V_ {X} ^ {*}) = mathbb {P} ( V ^ {*}) times X}

куда ${ displaystyle simeq}$ справа - инвариантность проективный пучок под скрутку линейной связкой. Следующий я по проекции получается карта:^[4]

{ displaystyle f: X to mathbb {P} (V ^ {*}).}

Когда базовый локус V не пусто, вышеупомянутое обсуждение все еще продолжается с ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ в прямой сумме заменяется пучком идеалов, определяющим базовое геометрическое место, и Икс заменен взрывом ${ displaystyle { widetilde {X}}}$ его вдоль (теоретико-схемного) базового множества B. Точно так же, как и выше, есть сюрприз ${ displaystyle operatorname {Sym} ((V otimes _ {k} { mathcal {O}} _ {X}) otimes _ {{ mathcal {O}} _ {X}} L ^ {- 1 }) to bigoplus _ {n = 0} ^ { infty} { mathcal {I}} ^ {n}}$ куда ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ идеальный пучок B и это дает начало

{ displaystyle i: { widetilde {X}} hookrightarrow mathbb {P} (V ^ {*}) times X.}

С ${ Displaystyle X-B simeq}$ открытое подмножество ${ displaystyle { widetilde {X}}}$ , на карте появится:

{ displaystyle f: X-B to mathbb {P} (V ^ {*}).}

Наконец, когда в основе V Если выбрано, приведенное выше обсуждение становится более приземленным (и это стиль, используемый в Hartshorne, Algebraic Geometry).

Линейная система, определяемая отображением в проективное пространство

Каждый морфизм алгебраического многообразия в проективное пространство определяет линейную систему без базовых точек на многообразии; из-за этого линейная система без базовых точек и карта проективного пространства часто используются как взаимозаменяемые.

Для закрытого погружения ${ displaystyle f: Y hookrightarrow X}$ алгебраических многообразий существует возврат линейной системы ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ на ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle Y}$ , определяется как ${ displaystyle f ^ {- 1} ({ mathfrak {d}}) = {f ^ {- 1} (D) | D in { mathfrak {d}} }}$ ^[2] (стр. 158).

O (1) на проективном многообразии

Проективное разнообразие ${ displaystyle X}$ встроенный в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {r}}$ имеет каноническую линейную систему, определяющую отображение в проективное пространство из ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (1) = { mathcal {O}} _ {X} otimes _ {{ mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {r }}} { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {r}} (1)}$ . Это отправляет точку ${ displaystyle x in X}$ в соответствующую точку ${ displaystyle [x_ {0}: cdots: x_ {r}] in mathbb {P} ^ {r}}$ .

Линейная система делителей - Linear system of divisors

Содержание

Определение