Гиперэллиптическая кривая - Hyperelliptic curve

Рис. 1. Гиперэллиптическая кривая.

В алгебраическая геометрия, а гиперэллиптическая кривая является алгебраическая кривая рода г> 1, задаваемый уравнением вида

${ Displaystyle у ^ {2} + час (х) у = е (х)}$

где f (x) это многочлен степени п = 2грамм + 1> 4 или п = 2грамм + 2> 4 с п отличные корни, и ч (х) - многочлен степени < грамм + 2 (если характеристика основного поля не равна 2, можно взять ч (х) = 0).

А гиперэллиптическая функция является элементом функциональное поле такой кривой, или Якобиева многообразие на кривой; эти две концепции идентичны для эллиптические функции, но разные для гиперэллиптических функций.

Рис. 1 - график ${ displaystyle C: y ^ {2} = f (x)}$ где

${ displaystyle f (x) = x ^ {5} -2x ^ {4} -7x ^ {3} + 8x ^ {2} + 12x = x (x + 1) (x-3) (x + 2) (х-2).}$

Род кривой

Степень полинома определяет род кривой: многочлен степени 2грамм + 1 или 2грамм + 2 дает кривую рода грамм. Когда степень равна 2грамм + 1 кривая называется воображаемая гиперэллиптическая кривая. Между тем, кривая степени 2грамм + 2 называется реальная гиперэллиптическая кривая. Это утверждение о роде остается верным для грамм = 0 или 1, но эти кривые не называются «гиперэллиптическими». Скорее дело грамм = 1 (если выбрать выделенную точку) является эллиптическая кривая. Отсюда и терминология.

Постановка и выбор модели

Хотя эта модель является самым простым способом описания гиперэллиптических кривых, такое уравнение будет иметь особая точка в бесконечности в проективная плоскость. Эта функция специфична для случая п > 3. Поэтому, давая такое уравнение для задания неособой кривой, почти всегда предполагается, что неособая модель (также называемая гладкое завершение ), эквивалентные в смысле бирациональная геометрия, имеется в виду.

Чтобы быть более точным, уравнение определяет квадратичное расширение из C(Икс), и имеется в виду именно то функциональное поле. Особую точку на бесконечности можно удалить (так как это кривая) нормировкой (целостное закрытие ) процесс. Оказывается, после этого есть открытое покрытие кривой двумя аффинными картами: та, что уже дана

${ Displaystyle у ^ {2} = е (х) ,}$

и еще один, предоставленный

${ Displaystyle ш ^ {2} = v ^ {2g + 2} f (1 / v) ,}$.

Карты склейки между двумя диаграммами даются

${ Displaystyle (х, у) mapsto (1 / х, у / х ^ {г + 1})}$

и

${ displaystyle (v, w) mapsto (1 / v, w / v ^ {g + 1}),}$

где бы они ни были определены.

Фактически предполагается геометрическое сокращение с кривой C определяется как разветвленная двойная обложка проективная линия, то разветвление происходящие в основе ж, а также для нечетных п в бесконечно удаленной точке. Таким образом, дела п = 2грамм + 1 и 2грамм + 2 можно объединить, так как мы могли бы также использовать автоморфизм проекционной линии, чтобы переместить любую точку разветвления от бесконечности.

Используя формулу Римана – Гурвица

С использованием Формула Римана – Гурвица, гиперэллиптическая кривая с родом грамм определяется уравнением со степенью п = 2грамм + 2. Предположим, что биективный морфизм ж : Икс → P¹ со степенью ветвления 2, где Икс кривая с родом грамм и P¹ это Сфера Римана. Позволять грамм₁ = грамм и грамм₀ быть родом P¹ (= 0), то формула Римана-Гурвица оказывается

${ displaystyle 2-2g_ {1} = 2 (2-2g_ {0}) - sum _ {s in X} (e_ {s} -1)}$

где s над всеми разветвленными точками на Икс. Количество разветвленных точек п, так п = 2грамм + 2.

Возникновение и приложения

Все кривые рода 2 гиперэллиптичны, но для рода ≥ 3 общая кривая не гиперэллиптична. Это эвристически видно пространство модулей проверка размеров. Подсчет констант, с п = 2грамм + 2, сборник п точек, подверженных действию автоморфизмов проективной прямой, имеет (2грамм + 2) - 3 степени свободы, что меньше 3грамм - 3, количество модулей кривой рода грамм, пока не грамм составляет 2. О гиперэллиптический локус в пространстве модулей кривых или абелевы разновидности,^{[требуется разъяснение ]} хотя выставлять труднее Общее негиперэллиптические кривые с простыми моделями.^[1] Одна геометрическая характеристика гиперэллиптических кривых - через Очки Вейерштрасса. Более подробная геометрия негиперэллиптических кривых читается из теории канонические кривые, то каноническое отображение 2: 1 на гиперэллиптических кривых, но 1: 1 в противном случае для грамм > 2. Тригональные кривые - это те, которые соответствуют извлечению кубического корня, а не квадратного корня из полинома.

Определение квадратичным расширением поля рациональных функций работает для полей в целом, за исключением характеристики 2; во всех случаях имеется геометрическое определение как разветвленное двойное покрытие проективной прямой, если оно^{[требуется разъяснение ]} предполагается разделимым.

Гиперэллиптические кривые можно использовать в криптография гиперэллиптических кривых для криптосистемы на основе задача дискретного логарифмирования.

Появляются также гиперэллиптические кривые, составляющие целые компоненты связности некоторых стратов пространства модулей абелевых дифференциалов.^[2]

Гиперэллиптичность кривых рода 2 использовалась для доказательства Громов с гипотеза о площади заполнения в случае заполнений рода = 1.

Классификация

Гиперэллиптические кривые данного рода грамм имеют пространство модулей, тесно связанное с кольцом инварианты двоичной формы степени 2грамм+2.^{[уточнить ]}

История

Впервые были опубликованы гиперэллиптические функции^{[нужна цитата ]} от Адольф Гёпель (1812-1847) в своей последней статье Abelsche Transcendenten erster Ordnung (Абелевы трансценденты первого порядка) (в Journal für reine und angewandte Mathematik, т. 35, 1847). Независимо Иоганн Г. Розенхайн работал над этим и опубликовал Umkehrungen ultraelliptischer Integrale erster Gattung (в Mémoires des sa vanta и др., том 11, 1851 г.).

Смотрите также

• Поверхность Больца
• Суперэллиптическая кривая

использованная литература

• «Гиперэллиптическая кривая», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Руководство пользователя по локальной арифметике гиперэллиптических кривых

Заметки