AF + BG теорема - AF+BG theorem
 | Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. (Октябрь 2019) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В алгебраическая геометрия, поле математика, то AF + BG теорема (также известен как Основная теорема Макса Нётер) является результатом Макс Нётер который утверждает, что если уравнение алгебраическая кривая в комплексная проективная плоскость принадлежит локально (в каждой точке пересечения) идеальный порожденный уравнениями двух других алгебраических кривых, то он глобально принадлежит этому идеалу.
Заявление
Позволять F, грамм, и ЧАС быть однородные многочлены в трех переменных, с ЧАС имеющий более высокую степень, чем F и грамм; позволять а = град ЧАС - град F и б = град ЧАС - град грамм (оба положительных целых числа) - разности степеней полиномов. Предположим, что наибольший общий делитель из F и грамм - константа, что означает, что проективные кривые что они определяют в проективной плоскости п2 имеют пересечение, состоящее из конечного числа точек. Для каждой точки п этого пересечения многочлены F и грамм генерировать идеальный (F, грамм)п из местное кольцо из п2 в п (это локальное кольцо - кольцо дробей п/d, куда п и d - многочлены от трех переменных и d(п) ≠ 0). Теорема утверждает, что если ЧАС лежит в (F, грамм)п для каждой точки пересечения п, тогда ЧАС лежит в идеале (F, грамм); то есть существуют однородные многочлены А и B степеней а и бсоответственно такие, что ЧАС = AF + BG. Кроме того, любые два варианта А отличаются в несколько раз грамм, и аналогично любые два варианта B отличаются в несколько раз F.
Связанные результаты
Эту теорему можно рассматривать как обобщение Личность Безу, который обеспечивает условие, при котором целочисленный или одномерный многочлен час может быть выражена как элемент идеальный порожденный двумя другими целыми числами или одномерными многочленами ж и грамм: такое представление существует именно тогда, когда час кратно наибольший общий делитель из ж и грамм. Условие AF + BG выражает в терминах делители (множества точек с кратностями), аналогичное условие, при котором однородный многочлен ЧАС от трех переменных можно записать как элемент идеала, порожденный двумя другими многочленами F и грамм.
Эта теорема также является уточнением для этого частного случая Nullstellensatz Гильберта, который обеспечивает условие, выражающее, что некоторая степень полинома час (от любого числа переменных) принадлежит идеалу, порожденному конечным набором многочленов.
Рекомендации
- Фултон, Уильям (2008), "5.5 Основная теорема Макса Нётер и 5.6 Приложения теоремы Нётер", Алгебраические кривые: введение в алгебраическую геометрию (PDF), стр. 60–65.
- Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1978), Принципы алгебраической геометрии, Джон Уайли и сыновья, ISBN 978-0-471-05059-9.