Рациональная нормальная кривая - Википедия - Rational normal curve

В математика, то рациональная нормальная кривая гладкая, рациональная кривая C из степень п в проективное n-пространство пп. Это простой пример проективное разнообразие; формально это Веронезе сорт когда область является проективной линией. За п = 2 это плоскоконический Z0Z2 = Z2
1
,
и для п = 3 это витая кубическая. Термин «нормальный» относится к проективная нормальность, нет нормальные схемы. Пересечение рациональной нормальной кривой с аффинное пространство называется кривая момента.

Определение

Рациональная нормальная кривая может быть задана параметрически как изображение карты

который присваивает однородные координаты [S : Т] Значение

в аффинные координаты диаграммы Икс0 ≠ 0 карта просто

То есть рациональная нормальная кривая - это замыкание на один точка в бесконечности из аффинная кривая

Эквивалентно рациональную нормальную кривую можно понимать как проективное разнообразие, определяемый как общее нулевое геометрическое место однородные многочлены

куда являются однородные координаты на пп. Полный набор этих многочленов не требуется; достаточно выбрать п из них, чтобы указать кривую.

Альтернативная параметризация

Позволять быть п + 1 отдельные точки в п1. Тогда многочлен

это однородный многочлен степени п + 1 с отчетливыми корнями. Полиномы

тогда основа для пространства однородных многочленов степени п. Карта

или, что то же самое, деление на грамм(S, Т)

- рациональная нормальная кривая. То, что это рациональная нормальная кривая, можно понять, отметив, что мономы

только один из возможных основа для степени п однородные полиномы. Фактически любой основа Сделаю. Это просто приложение утверждения, что любые два проективных многообразия проективно эквивалентны, если они конгруэнтный по модулю проективная линейная группа PGLп + 1(K)K то поле над которым определяется проективное пространство).

Эта рациональная кривая отправляет нули грамм в каждую из координатных точек пп; то есть все, кроме одного из ЧАСя исчезают за ноль грамм. Наоборот, любая рациональная нормальная кривая, проходящая через п + 1 таким образом можно параметрически записать точки координат.

Характеристики

У рациональной нормальной кривой есть набор хороших свойств:

  • Любой п + 1 указывает на C линейно независимы, а span пп. Это свойство отличает рациональную нормальную кривую от всех других кривых.
  • Данный п + 3 указывает в пп в линейном общая позиция (то есть без п + 1 лежа в гиперплоскость ), через них проходит единственная рациональная нормальная кривая. Кривая может быть явно указана с использованием параметрического представления путем размещения п + 1 точек, лежащих на осях координат, а затем сопоставление двух других точек с [S : Т] = [0 : 1] и [S : Т] = [1 : 0].
  • Касательная и секущая рациональной нормальной кривой попарно не пересекаются, за исключением точек самой кривой. Это свойство присуще достаточно позитивным вложениям любого проективного многообразия.
  • Есть
независимый квадрики которые генерируют идеальный кривой.

Смотрите также

Рекомендации

  • Джо Харрис, Алгебраическая геометрия, первый курс(1992) Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN  0-387-97716-3