Теорема Хасса об эллиптических кривых - Википедия - Hasses theorem on elliptic curves

Теорема Хассе об эллиптических кривых, также называемая границей Хассе, дает оценку количества точек на эллиптическая кривая через конечное поле, ограничивая значение как сверху, так и снизу.

Если N количество точек на эллиптической кривой E над конечным полем с q элементы, то Хельмут Хассе результат гласит, что

${ displaystyle | N- (q + 1) | leq 2 { sqrt {q}}.}$

Причина в том, что N отличается от q +1, количество баллов проективная линия над тем же полем "ошибочным членом", который представляет собой сумму двух сложные числа, каждый из абсолютных значений √q.

Этот результат первоначально был предположен Эмиль Артин в своей диссертации.^[1] Это было доказано Хассе в 1933 году, и доказательство было опубликовано в серии статей в 1936 году.^[2]

Теорема Хассе эквивалентна определению абсолютная величина корней локальная дзета-функция из E. В таком виде его можно рассматривать как аналог Гипотеза Римана для функциональное поле связанный с эллиптической кривой.

Граница Хассе-Вейля

Обобщение Хассе, связанное с высшим род алгебраические кривые оценка Хассе – Вейля. Это дает ограничение на количество точек на кривой над конечным полем. Если количество точек на кривой C рода грамм над конечным полем ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ порядка q является ${ Displaystyle #C ( mathbb {F} _ {q})}$, тогда

${ displaystyle | #C ( mathbb {F} _ {q}) - (q + 1) | leq 2g { sqrt {q}}.}$

Этот результат снова эквивалентен определению абсолютная величина корней локальная дзета-функция из C, и является аналогом Гипотеза Римана для функциональное поле связанный с кривой.

Оценка Хассе – Вейля сводится к обычной оценке Хассе применительно к эллиптическим кривым, имеющим род г = 1.

Оценка Хассе – Вейля является следствием Гипотезы Вейля, первоначально предложенный Андре Вайль в 1949 г. и доказано Андре Вейлем в случае кривых.^[3]

Смотрите также

• Гипотеза Сато – Тэйта
• Алгоритм Шуфа

Примечания

Рекомендации

• Больно, Норман Э. (2003), Многие рациональные моменты. Теория кодирования и алгебраическая геометрия, Математика и ее приложения, 564, Дордрехт: Kluwer /Springer-Verlag, ISBN  1-4020-1766-9, МИСТЕР  2042828
• Нидеррайтер, Харальд; Син, Чаопин (2009), Алгебраическая геометрия в теории кодирования и криптографии, Принстон: Princeton University Press, ISBN  978-0-6911-0288-7, МИСТЕР  2573098
• Глава V Сильверман, Джозеф Х. (1994), Арифметика эллиптических кривых, Тексты для выпускников по математике, 106, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96203-0, МИСТЕР  1329092
• Вашингтон, Лоуренс К. (2008), Эллиптические кривые. Теория чисел и криптография, 2-е изд., Дискретная математика и ее приложения, Бока-Ратон: Чепмен и Холл /CRC Press, ISBN  978-1-4200-7146-7, МИСТЕР  2404461