Гипотеза Сато – Тэйта - Sato–Tate conjecture

Гипотеза Сато – Тэйта
ПолеАрифметическая геометрия
ПредполагаетсяМикио Сато
Джон Тейт
Предполагается в1960

В математика, то Гипотеза Сато – Тэйта это статистический заявление о семье эллиптические кривые Eп над конечное поле с п элементы, с п а простое число, полученная из эллиптической кривой E над Рациональное число поле, в процессе редукция по простому модулю за почти все п. Если Nп обозначает количество точек на Eп и определен над полем с помощью п элементов, гипотеза дает ответ на распределение члена второго порядка для Nп. То есть по Теорема Хассе об эллиптических кривых у нас есть

в качестве п → ∞, и суть гипотезы состоит в том, чтобы предсказать, как O-срок меняется.

Исходная гипотеза и ее обобщение на все полностью реальные поля было доказано Лоран Клозель, Майкл Харрис, Николас Шеперд-Бэррон, и Ричард Тейлор при мягких предположениях в 2008 г. и завершено Томас Барнет-Лэмб, Дэвид Герати, Харрис и Тейлор в 2011 году. Открыто несколько обобщений на другие алгебраические многообразия и поля.

Заявление

Позволять E - эллиптическая кривая, определенная над рациональными числами без комплексное умножение. Определять θп как решение уравнения

Тогда для каждых двух действительных чисел и для которого

Подробности

К Теорема Хассе об эллиптических кривых, Соотношение

находится между -1 и 1. Таким образом, его можно выразить как cosθ для угла θ; в геометрическом плане есть два собственные значения с учетом остатка и знаменателя, как указано, комплексно сопряженный и из абсолютная величина 1. В Гипотеза Сато – Тэйта, когда E не имеет сложного умножения,[1] заявляет, что вероятностная мера из θ пропорционально

[2]

Это связано с Микио Сато и Джон Тейт (независимо и около 1960 г., опубликовано несколько позже).[3]

Доказательство

В 2008 году Клозел, Харрис, Шеперд-Баррон и Тейлор опубликовали доказательство гипотезы Сато – Тейта для эллиптических кривых над полностью реальные поля удовлетворяющее определенному условию: мультипликативной редукции в некотором простом числе,[4] в серии из трех совместных работ.[5][6][7]

Дальнейшие результаты зависят от улучшенных форм Формула следа Артура – ​​Сельберга. Харрис имеет условное доказательство результата для произведения двух эллиптических кривых (не изогенный ) вытекающая из такой гипотетической формулы следа.[8] В 2011 году Барнет-Лэмб, Герати, Харрис и Тейлор доказали обобщенную версию гипотезы Сато-Тейта для произвольной не-CM голоморфной модулярной формы веса больше или равного двум,[9] за счет улучшения результатов потенциальных модульности предыдущих статей.[10] Предыдущие проблемы, связанные с формулой следа, были решены Майкл Харрис,[11] и Суг У Шин.[12][13]

В 2015 году Ричард Тейлор был удостоен награды Премия за прорыв в математике «за многочисленные прорывы в (...) гипотезе Сато – Тейта».[14]

Обобщения

Есть обобщения, связанные с распределением Элементы Фробениуса в Группы Галуа участвует в Представления Галуа на этальные когомологии. В частности, существует гипотетическая теория кривых родап > 1.

В рамках модели случайной матрицы, разработанной Ник Кац и Питер Сарнак,[15] существует предположительное соответствие между (унитаризованными) характеристическими многочленами от элементов Фробениуса и классы сопряженности в компактная группа Ли USp (2п) = Sp (п). В Мера Хаара на USp (2п), то дает предполагаемое распределение, и классический случай USp (2) =SU (2).

Доработки

Есть и более тонкие высказывания. В Гипотеза Лэнга – Троттера (1976) из Серж Ланг и Хейл Троттер утверждает асимптотическое число простых чисел п с заданным значением ап,[16] след Фробениуса, который появляется в формуле. Для типичного случая (нет комплексное умножение, trace ≠ 0) их формула утверждает, что количество п вплоть до Икс асимптотически

с указанной константой c. Нил Коблитц (1988) предоставили подробные гипотезы для случая простого числа q точек на Eп, мотивированный криптография на основе эллиптических кривых.[17]В 1999 году, Шанталь Давид и Франческо Паппаларди доказал усредненный вариант гипотезы Лэнга – Троттера.[18]

Рекомендации

  1. ^ В случае эллиптической кривой с комплексным умножением L-функция Хассе – Вейля выражается через L-функция Гекке (Результат Макс Деуринг ). Известные аналитические результаты по этим вопросам дают ответы на еще более точные вопросы.
  2. ^ Для нормализации положите 2 /π спереди.
  3. ^ Это упоминается в Дж. Тейт, Алгебраические циклы и полюсы дзета-функций в томе (О. Ф. Шиллинг, редактор), Арифметическая алгебраическая геометрия, страницы 93–110 (1965).
  4. ^ То есть для некоторых п куда E имеет плохое сокращение (и по крайней мере для эллиптических кривых над рациональными числами есть такие п) тип в особом слое Модель Нерона является мультипликативным, а не аддитивным. На практике это типичный случай, поэтому состояние можно считать легким. Говоря более классическим языком, результат применим там, где j-инвариантный не является цельным.
  5. ^ Тейлор, Ричард (2008). "Автоморфия для некоторых л-адические лифты автоморфного мода л Представления Галуа. II ». Publ. Математика. Inst. Hautes Études Sci. 108: 183–239. CiteSeerX  10.1.1.116.9791. Дои:10.1007 / s10240-008-0015-2. МИСТЕР  2470688.
  6. ^ Клозель, Лоран; Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2008). "Автоморфия для некоторых л-адические лифты автоморфного мода л Представления Галуа ». Publ. Математика. Inst. Hautes Études Sci. 108: 1–181. CiteSeerX  10.1.1.143.9755. Дои:10.1007 / s10240-008-0016-1. МИСТЕР  2470687.
  7. ^ Харрис, Майкл; Шеперд-Бэррон, Николас; Тейлор, Ричард (2010), "Семейство разновидностей Калаби – Яу и потенциальная автоморфия", Анналы математики, 171 (2): 779–813, Дои:10.4007 / анналы.2010.171.779, МИСТЕР  2630056
  8. ^ См. Подробности на семинаре Carayol в Бурбаки от 17 июня 2007 г.
  9. ^ Барнет-Лэмб, Томас; Джерати, Дэвид; Харрис, Майкл; Тейлор, Ричард (2011). «Семейство многообразий Калаби – Яу и потенциальная автоморфия. II». Publ. Res. Inst. Математика. Наука. 47 (1): 29–98. Дои:10.2977 / PRIMS / 31. МИСТЕР  2827723.
  10. ^ Теорема B из Barnet-Lamb et al. 2009 г.
  11. ^ Харрис, М. (2011). «Введение в формулу стабильного следа». В Clozel, L .; Harris, M .; Labesse, J.P .; Нго, Б. С. (ред.). Формула стабильного следа, разновидности Шимуры и арифметические приложения. Том I: Стабилизация формулы следа. Бостон: Международная пресса. С. 3–47. ISBN  978-1-57146-227-5.
  12. ^ Шин, Суг У (2011). «Представления Галуа, возникающие из некоторых компактных многообразий Шимуры». Анналы математики. 173 (3): 1645–1741. Дои:10.4007 / летопись.2011.173.3.9.
  13. ^ См. Стр. 71 и следствие 8.9 из Barnet-Lamb et al. 2009 г.
  14. ^ «Ричард Тейлор, Институт перспективных исследований: Премия за прорыв в математике 2015 года».
  15. ^ Кац, Николас М. и Сарнак, Питер (1999), Случайные матрицы, собственные значения Фробениуса и монодромия, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-1017-0
  16. ^ Ланг, Серж; Троттер, Хейл Ф. (1976), Распределения Фробениуса в GL2 расширения, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-07550-1
  17. ^ Коблиц, Нил (1988), "Приматичность числа точек на эллиптической кривой над конечным полем", Тихоокеанский математический журнал, 131 (1): 157–165, Дои:10.2140 / pjm.1988.131.157, МИСТЕР  0917870.
  18. ^ «Математик Concordia получил признание за выдающиеся научные достижения». Канадское математическое общество. 2013-04-15. Архивировано из оригинал на 2017-02-01. Получено 2018-01-15.

внешняя ссылка