Группа Галуа - Википедия - Galois group

В математика, в районе абстрактная алгебра известный как Теория Галуа, то Группа Галуа определенного типа расширение поля это конкретный группа связанный с расширением поля. Изучение расширений полей и их связи с многочлены порождающие их через группы Галуа, называются Теория Галуа, названный так в честь Эварист Галуа кто их первым открыл.

Для более элементарного обсуждения групп Галуа с точки зрения группы перестановок см. статью о Теория Галуа.

Определение

Предположим, что ${ displaystyle E}$ является продолжением поле ${ displaystyle F}$ (написано как ${ displaystyle E / F}$ и читать "E над F "). автоморфизм из ${ displaystyle E / F}$ определяется как автоморфизм ${ displaystyle E}$ это исправляет ${ displaystyle F}$ точечно. Другими словами, автоморфизм ${ displaystyle E / F}$ является изоморфизм ${ displaystyle alpha: E to E}$ такой, что ${ Displaystyle альфа (х) = х}$ для каждого ${ displaystyle x in F}$ . В набор всех автоморфизмов ${ displaystyle E / F}$ образует группу с операцией функциональная композиция. Эту группу иногда обозначают как ${ displaystyle operatorname {Aut} (E / F).}$

Если ${ displaystyle E / F}$ это Расширение Галуа, тогда ${ displaystyle operatorname {Aut} (E / F)}$ называется Группа Галуа из ${ displaystyle E / F}$ , и обычно обозначается ${ displaystyle operatorname {Gal} (E / F)}$ .^[1]

Если ${ displaystyle E / F}$ не является расширением Галуа, то группа Галуа ${ displaystyle E / F}$ иногда определяется как ${ displaystyle operatorname {Aut} (K / F)}$ , куда ${ displaystyle K}$ это Замыкание Галуа из ${ displaystyle E}$ .

Группа Галуа многочлена

Другое определение группы Галуа происходит от группы Галуа многочлена ${ displaystyle f in F [x]}$ . Если есть поле ${ displaystyle K / F}$ такой, что ${ displaystyle f}$ факторов как произведение линейных многочленов

{ Displaystyle е (х) = (х- альфа _ {1}) cdots (х- альфа _ {к}) в К [х]}

над полем ${ displaystyle K}$ , то Группа Галуа многочлена ${ displaystyle f}$ определяется как группа Галуа ${ displaystyle K / F}$ куда ${ displaystyle K}$ минимально среди всех таких полей.

Структура групп Галуа

Основная теорема теории Галуа

Одна из важных структурных теорем теории Галуа исходит из основная теорема теории Галуа. Это означает, что при конечном расширении Галуа ${ displaystyle K / k}$ , существует взаимно однозначное соответствие между множеством подполей ${ Displaystyle к подмножество Е подмножество К}$ и подгруппы ${ Displaystyle H подмножество G.}$ Потом, ${ displaystyle E}$ задается набором инвариантов ${ displaystyle K}$ под действием ${ displaystyle H}$ , так

{ displaystyle E = K ^ {H} = {a in K: ga = a { text {where}} g in H }}

Более того, если ${ displaystyle H}$ это нормальная подгруппа тогда ${ Displaystyle G / H cong operatorname {Gal} (E / k)}$ . И наоборот, если ${ displaystyle E / k}$ - нормальное расширение поля, то соответствующая подгруппа в ${ displaystyle operatorname {Gal} (K / k)}$ нормальная группа.

Структура решетки

Предполагать ${ displaystyle K_ {1}, K_ {2}}$ являются расширениями Галуа ${ displaystyle k}$ с группами Галуа ${ displaystyle G_ {1}, G_ {2}.}$ Поле ${ displaystyle K_ {1} K_ {2}}$ с группой Галуа ${ displaystyle G = operatorname {Gal} (K_ {1} K_ {2} / k)}$ есть укол ${ displaystyle G to G_ {1} times G_ {2}}$ который является изоморфизмом всякий раз, когда ${ displaystyle K_ {1} cap K_ {2} = k}$ .^[2]

Индукция

Как следствие, это можно ввести конечное число раз. Учитывая расширения Галуа ${ displaystyle K_ {1}, ldots, K_ {n} / k}$ куда ${ Displaystyle K_ {я + 1} cap (K_ {1} cdots K_ {i}) = k,}$ то существует изоморфизм соответствующих групп Галуа:

{ displaystyle operatorname {Gal} (K_ {1} cdots K_ {n} / k) cong G_ {1} times cdots times G_ {n}.}

Примеры

В следующих примерах ${ displaystyle F}$ это поле, и ${ Displaystyle mathbb {C}, mathbb {R}, mathbb {Q}}$ поля сложный, настоящий, и рациональный числа соответственно. Обозначение $F (а)$ указывает расширение поля, полученное прилегающий элемент $а$ в поле $F$ .

Вычислительные инструменты

Мощность группы Галуа и степень расширения поля

Одно из основных предложений, необходимых для полного определения групп Галуа^[3] конечного расширения поля имеет следующий вид: для заданного многочлена ${ Displaystyle е (х) в F [х]}$ , позволять ${ displaystyle E / F}$ - его расширение поля расщепления. Тогда порядок группы Галуа равен степени расширения поля; то есть,

{ Displaystyle | OperatorName {Gal} (E / F) | = [E: F]}

Критерий Эйзенштейна

Полезный инструмент для определения группы Галуа многочлена дает Критерий Эйзенштейна. Если многочлен ${ displaystyle f in F [x]}$ делители на неприводимые многочлены ${ displaystyle f = f_ {1} cdots f_ {k}}$ группа Галуа ${ displaystyle f}$ можно определить с помощью групп Галуа каждого ${ displaystyle f_ {i}}$ поскольку группа Галуа ${ displaystyle f}$ содержит каждую из групп Галуа ${ displaystyle f_ {i}.}$

Тривиальная группа

${ displaystyle operatorname {Gal} (F / F)}$ - это тривиальная группа, имеющая единственный элемент, а именно тождественный автоморфизм.

Другой пример тривиальной группы Галуа: ${ displaystyle operatorname {Aut} ( mathbb {R} / mathbb {Q}).}$ Действительно, можно показать, что любой автоморфизм ${ Displaystyle mathbb {R}}$ должен сохранить заказ действительных чисел и, следовательно, должны быть идентичными.

Рассмотрим поле ${ displaystyle K = mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}}).}$ Группа ${ displaystyle operatorname {Aut} (K / mathbb {Q})}$ содержит только тождественный автоморфизм. Это потому что ${ displaystyle K}$ это не нормальное расширение, поскольку два других кубических корня ${ displaystyle 2}$ ,

{ displaystyle exp left ({ tfrac {2 pi i} {3}} right) { sqrt [{3}] {2}}}

и

{ displaystyle exp left ({ tfrac {4 pi i} {3}} right) { sqrt [{3}] {2}},}

отсутствуют в расширении - другими словами $K$ это не поле расщепления.

Конечные абелевы группы

Группа Галуа ${ displaystyle operatorname {Gal} ( mathbb {C} / mathbb {R})}$ имеет два элемента: тождественный автоморфизм и комплексное сопряжение автоморфизм.^[4]

Квадратичные расширения

Расширение поля степени два ${ Displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}}) / mathbb {Q}}$ имеет группу Галуа ${ displaystyle operatorname {Gal} ( mathbb {Q} ({ sqrt {2}}) / mathbb {Q}).}$ с двумя элементами, тождественным автоморфизмом и автоморфизмом ${ displaystyle sigma}$ который обменивается √2 и -√2. Этот пример обобщает для простого числа ${ displaystyle p in mathbb {N}.}$

Произведение квадратичных расширений

Используя решеточную структуру групп Галуа, для не равных простых чисел ${ displaystyle p_ {1}, ldots, p_ {k}}$ группа Галуа ${ displaystyle mathbb {Q} left ({ sqrt {p_ {1}}}, ldots, { sqrt {p_ {k}}} right) / mathbb {Q}}$ является

{ displaystyle operatorname {Gal} left ( mathbb {Q} ({ sqrt {p_ {1}}}, ldots, { sqrt {p_ {k}}}) / mathbb {Q} right ) cong operatorname {Gal} left ( mathbb {Q} ({ sqrt {p_ {1}}}) / mathbb {Q} right) times cdots times operatorname {Gal} left ( mathbb {Q} ({ sqrt {p_ {k}}}) / mathbb {Q} right) cong mathbb {Z} / 2 times cdots times mathbb {Z} / 2}

Циклотомические расширения

Другой полезный класс примеров исходит из полей разбиения циклотомические многочлены. Это многочлены ${ displaystyle Phi _ {n}}$ определяется как

{ displaystyle Phi _ {n} (x) = prod _ { begin {matrix} 1 leq k leq n gcd (k, n) = 1 end {matrix}} left (xe ^ { frac {2ik pi} {n}} right)}

чья степень ${ Displaystyle фи (п)}$ , Функция Эйлера в ${ displaystyle n}$ . Тогда поле расщепления над ${ displaystyle mathbb {Q}}$ является ${ Displaystyle mathbb {Q} ( zeta _ {п})}$ и имеет автоморфизмы ${ displaystyle sigma _ {a}}$ отправка ${ displaystyle zeta _ {n} mapsto zeta _ {n} ^ {a}}$ за ${ Displaystyle 1 Leq а <п}$ относительно простой ${ displaystyle n}$ . Поскольку степень поля равна степени многочлена, эти автоморфизмы порождают группу Галуа.^[5] Если ${ displaystyle n = p_ {1} ^ {a_ {1}} cdots p_ {k} ^ {a_ {k}},}$ тогда

{ displaystyle operatorname {Gal} ( mathbb {Q} ( zeta _ {n}) / mathbb {Q}) cong prod _ {a_ {i}} operatorname {Gal} left ( mathbb {Q} ( zeta _ {p_ {i} ^ {a_ {i}}}) / mathbb {Q} right)}

Если ${ displaystyle n}$ это прайм ${ displaystyle p}$ , то следствием этого является

{ Displaystyle OperatorName {Gal} ( mathbb {Q} ( zeta _ {p}) / mathbb {Q}) cong mathbb {Z} / (p-1)}

Фактически, любую конечную абелеву группу можно найти как группу Галуа некоторого подполя расширения кругового поля с помощью Теорема Кронекера – Вебера..

Конечные поля

Другой полезный класс примеров групп Галуа с конечными абелевыми группами исходит из конечных полей. Если $q$ это простая степень, и если ${ Displaystyle F = mathbb {F} _ {q}}$ и ${ displaystyle E = mathbb {F} _ {q ^ {n}}}$ обозначить Поля Галуа порядка ${ displaystyle q}$ и ${ Displaystyle д ^ {п}}$ соответственно, то ${ displaystyle operatorname {Gal} (E / F)}$ цикличен по порядку $п$ и генерируется Гомоморфизм Фробениуса.

Примеры степени 4

Расширение поля ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}}) / mathbb {Q}}$ это пример степени ${ displaystyle 4}$ расширение поля.^[6] У этого есть два автоморфизма ${ displaystyle sigma, tau}$ куда ${ displaystyle sigma ({ sqrt {2}}) = - { sqrt {2}}}$ и ${ displaystyle tau ({ sqrt {3}}) = - { sqrt {3}}.}$ Поскольку эти два генератора определяют группу порядка ${ displaystyle 4}$ , то Кляйн четыре группы, они определяют всю группу Галуа.^[3]

Другой пример дается из поля расщепления ${ displaystyle E / mathbb {Q}}$ полинома

{ Displaystyle е (х) = х ^ {4} + х ^ {3} + х ^ {2} + х + 1}

Обратите внимание, потому что ${ Displaystyle (х-1) е (х) = х ^ {5} -1,}$ корни ${ displaystyle f (x)}$ находятся ${ displaystyle exp left ({ tfrac {2k pi i} {5}} right).}$ Есть автоморфизмы

{ displaystyle { begin {cases} sigma _ {l}: E to E exp left ({ frac {2 pi i} {5}} right) mapsto left ( exp left ({ frac {2 pi i} {5}} right) right) ^ {l} end {case}}}

создание группы заказа ${ displaystyle 4}$ . С ${ displaystyle sigma _ {1}}$ порождает эту группу, группа Галуа изоморфна ${ Displaystyle mathbb {Z} / 4}$ .

Конечные неабелевы группы

Рассмотрим сейчас ${ Displaystyle L = mathbb {Q} ({ sqrt [{3}] {2}}, omega),}$ куда ${ displaystyle omega}$ это примитивный кубический корень из единицы. Группа ${ displaystyle operatorname {Gal} (L / mathbb {Q})}$ изоморфен $S 3$ , то диэдральная группа порядка 6, и $L$ фактически является полем расщепления ${ displaystyle x ^ {3} -2}$ над ${ displaystyle mathbb {Q}.}$

Группа Quaternion

В Группа Quaternion можно найти как группу Галуа расширения поля ${ displaystyle mathbb {Q}}$ . Например, расширение поля

{ displaystyle mathbb {Q} left ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}}, { sqrt {(2 + { sqrt {2}}) (3 + { sqrt {3) }})}}верно)}

имеет заданную группу Галуа.^[7]

Симметричная группа простого порядка

Если ${ displaystyle f}$ является неприводимый многочлен высшей степени ${ displaystyle p}$ с рациональными коэффициентами и ровно двумя невещественными корнями, то группа Галуа ${ displaystyle f}$ это полный симметричная группа ${ displaystyle S_ {p}.}$ ^[2]

Например, ${ Displaystyle е (х) = х ^ {5} -4x + 2 in mathbb {Q} [x]}$ неприводима по критерию Эйзенштейна. Построение графика ${ displaystyle f}$ с помощью графического программного обеспечения или бумаги показывает, что у него три реальных корня, следовательно, два комплексных корня, показывая, что его группа Галуа ${ displaystyle S_ {5}}$ .

Сравнение групп Галуа расширений глобальных полей

Учитывая глобальное поле расширение ${ displaystyle K / k}$ (Такие как ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt [{5}] {3}}, zeta _ {5}) / mathbb {Q}}$ ) и ${ displaystyle w}$ класс эквивалентности оценок на ${ displaystyle K}$ (такой как ${ displaystyle p}$ -адический оценка ), и ${ displaystyle v}$ на ${ displaystyle k}$ такие, что их пополнения дают расширение поля Галуа

${ displaystyle K_ {w} / k_ {v}}$

из местные поля. Тогда существует индуцированное действие группы Галуа

${ displaystyle G = operatorname {Gal} (K / k)}$

на множестве классов эквивалентности оценок таких, что пополнения полей согласованы. Это означает, что если ${ displaystyle s in G}$ то существует индуцированная изоморфность локальных полей

${ displaystyle s_ {w}: K_ {w} to K_ {sw}}$

Поскольку мы приняли гипотезу, что ${ displaystyle w}$ лежит над ${ displaystyle v}$ (т.е. существует расширение поля Галуа ${ displaystyle K_ {w} / k_ {v}}$ ) морфизм поля ${ displaystyle s_ {w}}$ на самом деле изоморфизм ${ displaystyle k_ {v}}$ -алгебры. Если взять подгруппу изотропии группы ${ displaystyle G}$ для класса оценки ${ displaystyle w}$

${ displaystyle G_ {w} = {s in G: sw = w }}$

тогда существует сюръекция глобальной группы Галуа к локальной группе Галуа, так что существует изоморфизм между локальной группой Галуа и подгруппой изотропии. Схематично это означает

${ displaystyle { begin {matrix} operatorname {Gal} (K / v) & twoheadrightarrow & operatorname {Gal} (K_ {w} / k_ {v}) downarrow && downarrow G & twoheadrightarrow & G_ {w} end {matrix}}}$

где вертикальные стрелки - изоморфизмы.^[8] Это дает метод построения групп Галуа локальных полей с использованием глобальных групп Галуа.

Бесконечные группы

Основным примером расширения поля с бесконечной группой автоморфизмов является ${ Displaystyle OperatorName {Aut} ( mathbb {C} / mathbb {Q})}$ поскольку он содержит каждое расширение алгебраического поля ${ Displaystyle E / mathbb {Q}}$ . Например, расширения полей ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {a}}) / mathbb {Q}}$ для элемента без квадратов ${ Displaystyle а в mathbb {Q}}$ у каждого есть уникальная степень ${ displaystyle 2}$ автоморфизм, индуцирующий автоморфизм в ${ displaystyle operatorname {Aut} ( mathbb {C} / mathbb {Q}).}$

Один из наиболее изученных классов примеров бесконечных групп Галуа происходит из Абсолютная группа Галуа, которые проконечные группы. Это бесконечные группы, определяемые как обратный предел групп Галуа все конечные расширения Галуа ${ displaystyle E / F}$ для фиксированного поля. Обратный предел обозначается

{ displaystyle operatorname {Gal} ({ overline {F}} / F): = varprojlim _ {E / F { text {конечное разделимое}}} { operatorname {Gal} (E / F)}}

куда ${ displaystyle { overline {F}}}$ - сепарабельное замыкание поля. Обратите внимание, что эта группа Топологическая группа.^[9] Некоторые основные примеры включают ${ displaystyle operatorname {Gal} ({ overline { mathbb {Q}}} / mathbb {Q})}$ и

{ displaystyle operatorname {Gal} ({ overline { mathbb {F}}} _ {q} / mathbb {F} _ {q}) cong { hat { mathbb {Z}}} cong prod _ {p} mathbb {Z} _ {p}}

^[10]^[11]

Другой легко вычислимый пример связан с расширением поля ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}}, { sqrt {5}}, ldots) / mathbb {Q}}$ содержащий квадратный корень из каждого положительного простого числа. Имеет группу Галуа

{ displaystyle operatorname {Gal} ( mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}}, { sqrt {5}}, ldots) / mathbb {Q}) cong prod _ {p} mathbb {Z} / 2}

который можно вывести из бесконечного предела

{ displaystyle cdots to operatorname {Gal} ( mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}}, { sqrt {5}}) / mathbb {Q}) to operatorname {Gal} ( mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}}) / mathbb {Q}) to operatorname {Gal} ( mathbb {Q} ({ sqrt {2}}) / mathbb {Q})}

и используя вычисление групп Галуа.

Характеристики

Значение расширения Галуа состоит в том, что оно подчиняется основная теорема теории Галуа: закрытый (относительно Топология Крулля ) подгруппы группы Галуа соответствуют промежуточным полям расширения поля.

Если ${ displaystyle E / F}$ является расширением Галуа, то ${ displaystyle operatorname {Gal} (E / F)}$ можно дать топология, называемая топологией Крулля, которая превращает ее в проконечная группа.

Смотрите также

Примечания

^ Некоторые авторы ссылаются на ${ displaystyle operatorname {Aut} (E / F)}$ как группу Галуа для произвольных расширений ${ displaystyle E / F}$ и используйте соответствующие обозначения, например Якобсон 2009.
^ ^а ^б Ланг, Серж. Алгебра (Пересмотренное третье изд.). С. 263, 273.
^ ^а ^б «Абстрактная алгебра» (PDF). С. 372–377.
^ Кук, Роджер Л. (2008), Классическая алгебра: ее природа, происхождение и использование, John Wiley & Sons, стр. 138, ISBN 9780470277973.
^ Даммит; Фут. Абстрактная алгебра. С. 596, 14.5. Циклотомические расширения.
^ С ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}}) = mathbb {Q} oplus mathbb {Q} cdot { sqrt {2}} oplus mathbb {Q} cdot { sqrt {3}} oplus mathbb {Q} cdot { sqrt {6}}}$ как ${ displaystyle mathbb {Q}}$ векторное пространство.
^ Милн. Теория поля. п. 46.
^ «Сравнение глобальной и локальной групп галуа расширения числовых полей». Обмен стеками математики. Получено 2020-11-11.
^ «9.22 Бесконечная теория Галуа». Проект Stacks.
^ Милн. "Теория поля" (PDF). п. 98.
^ "Бесконечная теория Галуа" (PDF). п. 14. В архиве (PDF) из оригинала 6 апреля 2020 г.

внешняя ссылка

[1] Некоторые авторы ссылаются на ${ displaystyle operatorname {Aut} (E / F)}$ как группу Галуа для произвольных расширений ${ displaystyle E / F}$ и используйте соответствующие обозначения, например Якобсон 2009.

[:1-2] а ^б Ланг, Серж. Алгебра (Пересмотренное третье изд.). С. 263, 273.

[:0-3] а ^б «Абстрактная алгебра» (PDF). С. 372–377.

[4] Кук, Роджер Л. (2008), Классическая алгебра: ее природа, происхождение и использование, John Wiley & Sons, стр. 138, ISBN 9780470277973.

[5] Даммит; Фут. Абстрактная алгебра. С. 596, 14.5. Циклотомические расширения.

[6] С ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}}, { sqrt {3}}) = mathbb {Q} oplus mathbb {Q} cdot { sqrt {2}} oplus mathbb {Q} cdot { sqrt {3}} oplus mathbb {Q} cdot { sqrt {6}}}$ как ${ displaystyle mathbb {Q}}$ векторное пространство.

[7] Милн. Теория поля. п. 46.

[8] «Сравнение глобальной и локальной групп галуа расширения числовых полей». Обмен стеками математики. Получено 2020-11-11.

[9] «9.22 Бесконечная теория Галуа». Проект Stacks.

[10] Милн. "Теория поля" (PDF). п. 98.

[11] "Бесконечная теория Галуа" (PDF). п. 14. В архиве (PDF) из оригинала 6 апреля 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]