Локальная дзета-функция - Local zeta-function

В теория чисел, то локальная дзета-функция $Z (V, s)$ (иногда называют конгруэнтная дзета-функция) определяется как

{ Displaystyle Z (V, s) = exp left ( sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {N_ {m}} {m}} (q ^ {- s}) ^ {m} right)}

где $N м$ количество точек $V$ определенный над расширением конечного поля $F q м$ из $F q,$ и $V$ это неособый $п$ -размерный проективное алгебраическое многообразие над полем $F q$ с $q$ элементы. Преобразованием переменных $ты = q - s,$ тогда это определяется

{ displaystyle { mathit {Z}} (V, u) = exp left ( sum _ {m = 1} ^ { infty} N_ {m} { frac {u ^ {m}} {m }}верно)}

как формальный степенной ряд переменной ${ displaystyle u}$ .

Эквивалентно, локальная дзета-функция иногда определяется следующим образом:

{ Displaystyle (1) { mathit {Z}} (V, 0) = 1 ,}

{ displaystyle (2) { frac {d} {du}} log { mathit {Z}} (V, u) = sum _ {m = 1} ^ { infty} N_ {m} и ^ {м-1} .}

Другими словами, локальная дзета-функция $Z (V, ты)$ с коэффициентами в конечное поле $F q$ определяется как функция, логарифмическая производная генерирует числа $N м$ решений уравнения, определяющего $V$ , в $м$ расширение степени $F q м .$

Формулировка

Учитывая конечное поле F, есть, до изоморфизм, всего одно поле F_k с

{ displaystyle [F_ {k}: F] = k ,}

,

за k = 1, 2, .... Учитывая набор полиномиальных уравнений - или алгебраическое многообразие V - определяется по F, мы можем посчитать количество

{ displaystyle N_ {k} ,}

решений в F_k и создадим производящую функцию

{ Displaystyle G (t) = N_ {1} t + N_ {2} t ^ {2} / 2 + N_ {3} t ^ {3} / 3 + cdots ,}

.

Правильное определение для Z(т) это сделать журнал Z равно г, и так

{ Displaystyle Z = ехр (G (т)) ,}

у нас будет Z(0) = 1, поскольку г(0) = 0 и Z(т) является априори а формальный степенной ряд.

Обратите внимание, что логарифмическая производная

{ Displaystyle Z '(т) / Z (т) ,}

равна производящей функции

{ Displaystyle G '(т) = N_ {1} + N_ {2} t ^ {1} + N_ {3} t ^ {2} + cdots ,}

.

Примеры

Например, предположим, что все N_k 1; это произойдет, например, если мы начнем с уравнения вроде Икс = 0, так что геометрически мы берем V точка. потом

{ Displaystyle G (т) = - журнал (1-т)}

является разложением логарифма (для |т| <1). В этом случае мы имеем

{ Displaystyle Z (t) = { frac {1} {(1-t)}} .}

Чтобы взять что-нибудь поинтереснее, позвольте V быть проективная линия над F. Если F имеет q элементы, то это q +1 балл, включая как надо точка в бесконечности. Следовательно, мы будем иметь

{ displaystyle N_ {k} = q ^ {k} +1}

и

{ Displaystyle G (T) = - журнал (1-t) - журнал (1-qt)}

для |т| достаточно мал.

В этом случае мы имеем

{ Displaystyle Z (t) = { frac {1} {(1-t) (1-qt)}} .}

Первое исследование этих функций было проведено в диссертации 1923 г. Эмиль Артин. Он получил результаты для случая гиперэллиптическая кривая, и предположил дальнейшие основные положения теории применительно к кривым. Затем теория была развита Ф. К. Шмидт и Хельмут Хассе.^[1] Самые ранние известные нетривиальные случаи локальных дзета-функций неявно присутствовали в Карл Фридрих Гаусс с Disquisitiones Arithmeticae, статья 358; есть определенные конкретные примеры эллиптические кривые над конечными полями, имеющими комплексное умножение подсчитывают свои очки с помощью циклотомия.^[2]

Для определения и некоторых примеров см. Также.^[3]

Мотивации

Связь между определениями г и Z можно объяснить несколькими способами. (См., Например, формулу бесконечного произведения для Z ниже.) На практике это делает Z а рациональная функция из т, то, что интересно даже в случае V ан эллиптическая кривая над конечным полем.

Это функции Z которые предназначены для умножения, чтобы получить глобальные дзета-функции. Они включают разные конечные поля (например, все семейство полей Z/пZ так как п проходит через все простые числа ). В этой связи переменная т подвергается замене на п^−s, где s комплексная переменная, традиционно используемая в Серия Дирихле. (Подробнее см. Дзета-функция Хассе-Вейля.)

С таким пониманием продукты Z в двух случаях, использованных в качестве примеров, выходят как ${ displaystyle zeta (s)}$ и ${ Displaystyle zeta (s) zeta (s-1)}$ .

Гипотеза Римана для кривых над конечными полями

Для проективных кривых C над F которые неособый, можно показать, что

{ Displaystyle Z (T) = { гидроразрыва {P (t)} {(1-t) (1-qt)}} ,}

с п(т) многочлен степени 2г где г это род из C. Перезапись

{ Displaystyle P (T) = prod _ {я = 1} ^ {2g} (1- omega _ {i} t) ,}

то Гипотеза Римана для кривых над конечными полями состояния

{ displaystyle | omega _ {i} | = q ^ {1/2} .}

Например, для случая эллиптической кривой есть два корня, и легко показать, что абсолютные значения корней равны q^1/2. Теорема Хассе в том, что они имеют одинаковое абсолютное значение; и это немедленно сказывается на количестве очков.

Андре Вайль доказал это для общего случая около 1940 г. (Comptes Rendus примечание, апрель 1940 г.): в последующие годы он потратил много времени на написание алгебраическая геометрия участвует. Это привело его к генералу Гипотезы Вейля, Александр Гротендик разработал схема теория ради ее разрешения и, наконец, Пьер Делинь доказал поколение спустя. Увидеть этальные когомологии для основных формул общей теории.

Общие формулы дзета-функции

Это следствие Формула следа Лефшеца для Морфизм Фробениуса это

{ displaystyle Z (X, t) = prod _ {i = 0} ^ {2 dim X} det { big (} 1-t { mbox {Frob}} _ {q} | H_ {c } ^ {i} ({ overline {X}}, { mathbb {Q}} _ { ell}) { big)} ^ {(- 1) ^ {i + 1}}.}.}

Здесь ${ displaystyle X}$ - отделимая схема конечного типа над конечным полем F с ${ displaystyle q}$ элементы, а Frob_q - геометрический Фробениус, действующий на ${ displaystyle ell}$ -адические этальные когомологии с компактными носителями ${ displaystyle { overline {X}}}$ , лифт ${ displaystyle X}$ к алгебраическому замыканию поля F. Это показывает, что дзета-функция является рациональной функцией ${ displaystyle t}$ .

Формула бесконечного произведения для ${ Displaystyle Z (X, t)}$ является

{ Displaystyle Z (X, t) = prod (1-t ^ { deg (x)}) ^ {- 1}.}

Здесь товар распространяется по всем закрытым точкам Икс из Икс и deg (Икс) - степень Икс.Локальная дзета-функция Z (X, t) рассматривается как функция комплексной переменной s заменой переменных q^−s.

В случае, когда Икс это разнообразие V обсуждалось выше, замкнутые точки - это классы эквивалентности x = [P] очков п на ${ displaystyle { overline {V}}}$ , где две точки эквивалентны, если они сопряжены над F. Степень Икс - степень расширения поля Fгенерируется координатами п. Логарифмическая производная бесконечного произведения Z (X, t) легко увидеть, что это производящая функция, обсуждаемая выше, а именно

{ Displaystyle N_ {1} + N_ {2} t ^ {1} + N_ {3} t ^ {2} + cdots ,}

.

Смотрите также

использованная литература

^ Дэниел Бамп, Алгебраическая геометрия (1998), стр. 195.
^ Барри Мазур, Собственные значения Фробениуса, п. 244 дюйм Алгебраическая геометрия, Arcata 1974: Слушания Американского математического общества (1974).
^ Робин Хартшорн, Алгебраическая геометрия, п. 449 Springer 1977 ПРИЛОЖЕНИЕ C "Гипотезы Вейля"

[1] Дэниел Бамп, Алгебраическая геометрия (1998), стр. 195.

[2] Барри Мазур, Собственные значения Фробениуса, п. 244 дюйм Алгебраическая геометрия, Arcata 1974: Слушания Американского математического общества (1974).

[3] Робин Хартшорн, Алгебраическая геометрия, п. 449 Springer 1977 ПРИЛОЖЕНИЕ C "Гипотезы Вейля"

[1]

[2]

[3]