Теорема модульности - Modularity theorem

В теорема модульности (ранее назывался Гипотеза Таниямы – Шимуры, Гипотеза Таниямы-Вейля или Гипотеза модульности эллиптических кривых) утверждает, что эллиптические кривые над полем рациональное число связаны с модульные формы. Эндрю Уайлс доказал теорему модульности для полустабильные эллиптические кривые, чего было достаточно, чтобы Последняя теорема Ферма. Позже серия работ бывших учеников Уайлса Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тейлор, завершившейся совместной работой с Кристоф Брей, расширил методы Уайлса, чтобы доказать полную теорему модульности в 2001 году.

утверждение

В теорема заявляет, что любой эллиптическая кривая над Q можно получить через рациональная карта с целое число коэффициенты от классическая модульная кривая ${ displaystyle X_ {0} (N)}$ для некоторого целого числа N; это кривая с целыми коэффициентами с явным определением. Это отображение называется модульной параметризацией уровня N. Если N - наименьшее целое число, для которого может быть найдена такая параметризация (которая, согласно самой теореме модульности, теперь известна как число, называемое дирижер ), то параметризация может быть определена в терминах отображения, порожденного конкретным видом модульной формы веса два и уровня N, нормализованный новая форма с целым числом q-расширение с последующим, если необходимо, изогения.

Связанные заявления

Теорема модульности влечет близкое аналитическое утверждение:

к эллиптической кривой E над Q мы можем прикрепить соответствующий L-серия. В L-серия - это Серия Дирихле, обычно пишется

${ displaystyle L (E, s) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}.}$

В производящая функция коэффициентов ${ displaystyle a_ {n}}$ затем

${ displaystyle f (E, q) = sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} q ^ {n}.}$

Если мы сделаем замену

${ Displaystyle д = е ^ {2 пи я тау}}$

мы видим, что мы написали Разложение Фурье функции ${ Displaystyle е (Е, тау)}$ комплексной переменной τ, поэтому коэффициенты q-серии также рассматриваются как коэффициенты Фурье ${ displaystyle f}$. Примечательно, что полученная таким образом функция куспид веса два и уровня N и также является собственной формой (собственным вектором всех Операторы Гекке ); это Гипотеза Хассе – Вейля, что следует из теоремы модульности.

Некоторые модульные формы веса два, в свою очередь, соответствуют голоморфные дифференциалы для эллиптической кривой. Якобиан модулярной кривой можно (с точностью до изогении) записать как произведение неприводимых Абелевы разновидности, соответствующие собственным формам Гекке веса 2. Одномерные множители являются эллиптическими кривыми (могут быть также множители более высоких измерений, поэтому не все собственные формы Гекке соответствуют рациональным эллиптическим кривым). Кривая, полученная путем нахождения соответствующей формы возврата и последующего построения из нее кривой, является изогенный исходной кривой (но, вообще говоря, не изоморфной ей).

История

Ютака Танияма  (1956 ) высказал предварительную (слегка неверную) версию гипотезы на международном симпозиуме 1955 г. по алгебраической теории чисел в Токио и Никко. Горо Шимура и Танияма работал над улучшением его строгости до 1957 года. Андре Вайль  (1967 ) переоткрыл гипотезу и показал, что она будет вытекать из (предполагаемых) функциональных уравнений для некоторого скрученного L-ряда эллиптической кривой; это было первое серьезное свидетельство того, что гипотеза может быть верной. Вейль также показал, что проводником эллиптической кривой должен быть уровень соответствующей модульной формы. Гипотеза Таниямы – Шимуры – Вейля стала частью Программа Langlands.

Гипотеза вызвала значительный интерес, когда Герхард Фрей  (1986 ) предположил, что это подразумевает Последняя теорема Ферма. Он сделал это, пытаясь показать, что любой контрпример к Великой теореме Ферма будет подразумевать существование по крайней мере одной немодулярной эллиптической кривой. Этот аргумент был завершен, когда Жан-Пьер Серр  (1987 ) обнаружил недостающее звено (теперь известное как эпсилон-гипотеза или теорема Рибета) в оригинальной работе Фрея, за которой два года спустя последовали Кен Рибет  (1990 ) завершение доказательства эпсилон-гипотезы.

Даже после того как гипотеза Таниямы – Шимуры – Вейля привлекла к себе серьезное внимание, современные математики считали ее чрезвычайно сложной для доказательства или, возможно, даже недоступной для доказательства (Сингх 1997 С. 203–205, 223, 226). Например, бывший начальник Уайлса Джон Коутс заявляет, что это казалось «невозможно на самом деле доказать», и Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые считали [это] полностью недоступным».

Уайлс  (1995 ), с некоторой помощью Ричард Тейлор, доказал гипотезу Таниямы – Шимуры – Вейля для всех полустабильные эллиптические кривые, которую он использовал для доказательства Великой теоремы Ферма, а полная гипотеза Таниямы – Шимуры – Вейля была окончательно доказана Бриллиант (1996), Конрад, Даймонд и Тейлор (1999), и Breuil et al. (2001) которые, основываясь на работе Уайлса, постепенно сокращали оставшиеся случаи, пока не был доказан полный результат.

После полного доказательства гипотеза стала известна как теорема модульности.

Некоторые теоремы теории чисел, подобные Великой теореме Ферма, вытекают из теоремы модульности. Например: ни один куб нельзя записать как сумму двух совмещать п-ые степени, п ≥ 3. (Случай п = 3 уже был известен Эйлер.)

Обобщения

Теорема модулярности является частным случаем более общих гипотез, обусловленных Роберт Лэнглендс. В Программа Langlands стремится прикрепить автоморфная форма или автоморфное представление (подходящее обобщение модульной формы) на более общие объекты арифметической алгебраической геометрии, например на любую эллиптическую кривую над числовое поле. Большинство случаев этих расширенных гипотез еще не доказано. Однако, Фрейтас, Ле Хунг и Сиксек (2015) доказал, что эллиптические кривые, определенные над вещественными квадратичными полями, модульны.

использованная литература

• Брей, Кристоф; Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (2001), "О модульности эллиптических кривых над Q: дикие 3-адические упражнения », Журнал Американского математического общества, 14 (4): 843–939, Дои:10.1090 / S0894-0347-01-00370-8, ISSN  0894-0347, Г-Н  1839918
• Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (1999), "Модульность некоторых потенциально представлений Барсотти – Тейта Галуа", Журнал Американского математического общества, 12 (2): 521–567, Дои:10.1090 / S0894-0347-99-00287-8, ISSN  0894-0347, Г-Н  1639612
• Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х.; Стивенс, Гленн, ред. (1997), Модульные формы и последняя теорема Ферма, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94609-2, Г-Н  1638473
• Дармон, Анри (1999), «Объявлено доказательство полной гипотезы Шимуры – Таниямы – Вейля» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 46 (11): 1397–1401, ISSN  0002-9920, Г-Н  1723249Содержит краткое введение в теорему и схему доказательства.
• Даймонд, Фред (1996), "О кольцах деформации и кольцах Гекке", Анналы математики, Вторая серия, 144 (1): 137–166, Дои:10.2307/2118586, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118586, Г-Н  1405946
• Фрейтас, Нуно; Ле Хунг, Бао В .; Сиксек, Самир (2015), «Эллиптические кривые над вещественными квадратичными полями являются модульными», Inventiones Mathematicae, 201 (1): 159–206, arXiv:1310.7088, Bibcode:2015InMat.201..159F, Дои:10.1007 / s00222-014-0550-z, ISSN  0020-9910, Г-Н  3359051
• Фрей, Герхард (1986), "Связи между стабильными эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями", Annales Universitatis Saraviensis. Серия Mathematicae, 1 (1): iv + 40, ISSN  0933-8268, Г-Н  0853387
• Мазур, Барри (1991), «Теория чисел как овод», Американский математический ежемесячник, 98 (7): 593–610, Дои:10.2307/2324924, ISSN  0002-9890, JSTOR  2324924, Г-Н  1121312 Обсуждает гипотезу Таниямы – Шимуры – Вейля за три года до того, как она была доказана для бесконечного множества случаев.
• Рибет, Кеннет А. (1990), "О модульных представлениях Gal (Q/ Q), возникающие из модульных форм », Inventiones Mathematicae, 100 (2): 431–476, Bibcode:1990InMat.100..431R, Дои:10.1007 / BF01231195, HDL:10338.dmlcz / 147454, ISSN  0020-9910, Г-Н  1047143
• Серр, Жан-Пьер (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal (Q/ Q) ", Математический журнал герцога, 54 (1): 179–230, Дои:10.1215 / S0012-7094-87-05413-5, ISSN  0012-7094, Г-Н  0885783
• Шимура, Горо (1989), «Ютака Танияма и его время. Очень личные воспоминания», Бюллетень Лондонского математического общества, 21 (2): 186–196, Дои:10.1112 / blms / 21.2.186, ISSN  0024-6093, Г-Н  0976064
• Сингх, Саймон (1997), Последняя теорема Ферма, ISBN  978-1-85702-521-7
• Танияма, Ютака (1956), «Проблема 12», Сугаку (по-японски), 7: 269 Английский перевод в (Шимура 1989, п. 194)
• Тейлор, Ричард; Уайлс, Эндрю (1995), "Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке", Анналы математики, Вторая серия, 141 (3): 553–572, CiteSeerX  10.1.1.128.531, Дои:10.2307/2118560, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118560, Г-Н  1333036
• Вайль, Андре (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Mathematische Annalen, 168: 149–156, Дои:10.1007 / BF01361551, ISSN  0025-5831, Г-Н  0207658
• Уайлс, Эндрю (1995), "Модульные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма", Анналы математики, Вторая серия, 141 (3): 443–551, CiteSeerX  10.1.1.169.9076, Дои:10.2307/2118559, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118559, Г-Н  1333035
• Уайлс, Эндрю (1995), "Модульные формы, эллиптические кривые и последняя теорема Ферма", Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Цюрих, 1994), Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 243–245, Г-Н  1403925

внешняя ссылка

• Дармон, Х. (2001) [1994], «Гипотеза Шимуры – Таниямы», Энциклопедия математики, EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Таниямы – Шимуры». MathWorld.