Поверхность Больца - Bolza surface

В математика, то Поверхность Больцаили комплексный алгебраический Кривая Больца (представлен Оскар Больца  (1887 )), является компактным Риманова поверхность из род ${ displaystyle 2}$ с максимально возможным порядком конформный группа автоморфизмов в этом роде, а именно ${ displaystyle GL_ {2} (3)}$ порядка 48 ( общая линейная группа из ${ displaystyle 2 times 2}$ матрицы над конечное поле ${ displaystyle mathbb {F} _ {3}}$). Полная группа автоморфизмов (включая отражения) - это полупрямой продукт ${ displaystyle GL_ {2} (3) rtimes mathbb {Z} _ {2}}$ порядка 96. Аффинная модель для поверхности Больца может быть получена как геометрическое место уравнения

${ displaystyle y ^ {2} = x ^ {5} -x}$

в ${ Displaystyle mathbb {C} ^ {2}}$. Поверхность Больца - это гладкое завершение аффинной кривой. Из всех родов ${ displaystyle 2}$ гиперболические поверхности, поверхность Больца максимизирует длину систола (Шмутц 1993 ). Как гиперэллиптический Риманова поверхность возникает как разветвленное двойное покрытие римановой сферы с множеством ветвлений в шести вершинах правильного октаэдр вписанный в сферу, как легко видеть из уравнения выше.

Поверхность Больца привлекла внимание физиков, поскольку она обеспечивает относительно простую модель для квантовый хаос; в этом контексте его обычно называют Модель Адамара – Гуцвиллера.^[1] В спектральная теория из Оператор Лапласа – Бельтрами действие на функции на поверхности Больца представляет интерес как для математиков, так и для физиков, поскольку предполагается, что поверхность максимизирует первую положительную собственное значение лапласиана среди всех компактных замкнутых Римановы поверхности рода ${ displaystyle 2}$ с постоянным отрицательным кривизна.

Поверхность треугольника

Замощение поверхности Больца областями отражения является частным от восьмиугольная мозаика порядка 3.

Фундаментальная область поверхности Больца в круге Пуанкаре; противоположные стороны идентифицируются.

Поверхность Больца - это ${ Displaystyle (2,3,8)}$ поверхность треугольника - см. Треугольник Шварца. В частности, Фуксова группа определяющая поверхность Больца, является подгруппой группы, порожденной отражениями сторон гиперболического треугольника с углами ${ displaystyle { tfrac { pi} {2}}, { tfrac { pi} {3}}, { tfrac { pi} {8}}}$. Группа изометрий, сохраняющих ориентацию, является подгруппой индекс -два подгруппа группы отражений, состоящая из произведений четного числа отражений, имеющая абстрактное представление в терминах образующих ${ displaystyle s_ {2}, s_ {3}, s_ {8}}$ и отношения ${ displaystyle s_ {2} {} ^ {2} = s_ {3} {} ^ {3} = s_ {8} {} ^ {8} = 1}$ а также ${ displaystyle s_ {2} s_ {3} = s_ {8}}$. Фуксова группа ${ displaystyle Gamma}$ определяющая поверхность Больца, также является подгруппой (3,3,4) группа треугольников, которая является подгруппой индекса 2 в ${ Displaystyle (2,3,8)}$ группа треугольников. В ${ Displaystyle (2,3,8)}$ группа не имеет реализации в терминах алгебры кватернионов, но ${ displaystyle (3,3,4)}$ группа делает.

Под действием ${ displaystyle Gamma}$ на Диск Пуанкаре фундаментальная область поверхности Больца представляет собой правильный восьмиугольник с углами ${ displaystyle { tfrac { pi} {4}}}$ и углы на

${ displaystyle p_ {k} = 2 ^ {- 1/4} e ^ {i left ({ tfrac { pi} {8}} + { tfrac {k pi} {4}} right) },}$

куда ${ Displaystyle к = 0, ldots, 7}$. Противоположные стороны восьмиугольника идентифицируются под действием фуксовой группы. Его образующими являются матрицы

${ displaystyle g_ {k} = { begin {pmatrix} 1 + { sqrt {2}} & (2 + { sqrt {2}}) alpha e ^ { tfrac {ik pi} {4} } (2 + { sqrt {2}}) alpha e ^ {- { tfrac {ik pi} {4}}} & 1 + { sqrt {2}} end {pmatrix}},}$

куда ${ displaystyle alpha = { sqrt {{ sqrt {2}} - 1}}}$ и ${ Displaystyle к = 0, ldots, 3}$, вместе с их обратными. Генераторы удовлетворяют соотношению

${ displaystyle g_ {0} g_ {1} ^ {- 1} g_ {2} g_ {3} ^ {- 1} g_ {0} ^ {- 1} g_ {1} g_ {2} ^ {- 1 } g_ {3} = 1.}$

Эти генераторы подключены к спектр длин, который дает все возможные длины геодезических петель. Самая короткая такая длина называется систола поверхности. Систола поверхности Больца равна

${ displaystyle ell _ {1} = 2 operatorname { rm {arcosh}} (1 + { sqrt {2}}) приблизительно 3,05714.}$

В ${ displaystyle n ^ { text {th}}}$ элемент ${ displaystyle ell _ {n}}$ спектра длин для поверхности Больца определяется выражением

${ displaystyle ell _ {n} = 2 operatorname { rm {arcosh}} (m + n { sqrt {2}}),}$

куда ${ displaystyle n}$ проходит через положительные целые числа (но без 4, 24, 48, 72, 140 и различных более высоких значений) (Аурих, Богомольный и Штайнер 1991 ) и где ${ displaystyle m}$ - единственное нечетное целое число, которое минимизирует

${ displaystyle vert m-n { sqrt {2}} vert.}$

Получить эквивалентную закрытую форму систолы можно непосредственно из группы треугольника. Формулы существуют для явного вычисления длин сторон треугольников (2,3,8). Систола равна четырехкратной длине стороны средней длины в (2,3,8) треугольнике, то есть

${ displaystyle ell _ {1} = 4 operatorname { rm {arcosh}} left ({ tfrac { csc left ({ tfrac { pi} {8}} right)} {2} } right) приблизительно 3,05714.}$

Геодезические длины ${ displaystyle ell _ {n}}$ также появляются в Координаты Фенхеля – Нильсена поверхности. Набор координат Фенхеля-Нильсена для поверхности рода 2 состоит из трех пар, каждая из которых представляет собой длину и скручивание. Возможно, самый простой такой набор координат для поверхности Больца - это ${ displaystyle ( ell _ {2}, { tfrac {1} {2}}; ; ell _ {1}, 0; ; ell _ {1}, 0)}$, куда ${ displaystyle ell _ {2} = 2 operatorname { rm {arcosh}} (3 + 2 { sqrt {2}}) приблизительно 4,8969}$.

Также существует «симметричный» набор координат. ${ displaystyle ( ell _ {1}, t; ; ell _ {1}, t; ; ell _ {1}, t)}$, где все три длины - систола ${ displaystyle ell _ {1}}$ и все три поворота даны^[2]

${ displaystyle t = { frac { operatorname { rm {arcosh}} left ({ sqrt {{ tfrac {2} {7}} (3 + { sqrt {2}})}} right )} { operatorname { rm {arcosh}} (1 + { sqrt {2}})}} приблизительно 0,321281.}$

Симметрии поверхности

Четыре образующих группы симметрии поверхности Больца

Фундаментальная область поверхности Больца - правильный восьмиугольник в круге Пуанкаре; четыре симметричных действия, которые порождают (полную) группу симметрии:

• р - вращение 8-го порядка вокруг центра восьмиугольника;
• S - отражение в реальной линии;
• Т - отражение в сторону одного из 16 (4,4,4) треугольников, образующих восьмиугольник;
• U - вращение третьего порядка вокруг центра треугольника (4,4,4).

Они показаны жирными линиями на соседнем рисунке. Они удовлетворяют следующему набору отношений:

${ Displaystyle langle R, , S, , T, , U mid R ^ {8} = S ^ {2} = T ^ {2} = U ^ {3} = RSRS = STST = RTR ^ {3} T = e, , UR = R ^ {7} U ^ {2}, , U ^ {2} R = STU, , US = SU ^ {2}, , UT = RSU rangle ,}$

куда ${ displaystyle e}$ - тривиальное (тождественное) действие. Этот набор отношений можно использовать в ЗАЗОР для получения информации о теории представлений группы. В частности, существует четыре одномерных, два двумерных, четыре трехмерных и три четырехмерных неприводимых представления, а также

${ displaystyle 4 (1 ^ {2}) + 2 (2 ^ {2}) + 4 (3 ^ {2}) + 3 (4 ^ {2}) = 96}$

как и ожидалось.

Спектральная теория

Графики трех собственных функций, соответствующих первому положительному собственному значению поверхности Больца. На голубых линиях функции равны нулю. Эти графики были созданы с использованием FreeFEM ++.

Здесь под спектральной теорией понимается спектр лапласиана, ${ displaystyle Delta}$. Первое собственное подпространство (то есть собственное подпространство, соответствующее первому положительному собственному значению) поверхности Больца является трехмерным, а второе - четырехмерным (Повар 2018 ), (Дженни 1981 ). Считается, что расследование возмущения узловых линий функций в первом собственном подпространстве в Пространство Тейхмюллера даст предполагаемый результат во введении. Эта гипотеза основана на обширных численных вычислениях собственных значений поверхности и других поверхностей рода 2. В частности, спектр поверхности Больца известен с очень высокой точностью (Strohmaier & Uski 2013 ). В следующей таблице приведены первые десять положительных собственных значений поверхности Больца.

Численные вычисления первых десяти положительных собственных значений поверхности Больца

Собственное значение	Численная величина	Множественность
${ displaystyle lambda _ {0}}$	0	1
${ displaystyle lambda _ {1}}$	3.8388872588421995185866224504354645970819150157	3
${ displaystyle lambda _ {2}}$	5.353601341189050410918048311031446376357372198	4
${ displaystyle lambda _ {3}}$	8.249554815200658121890106450682456568390578132	2
${ displaystyle lambda _ {4}}$	14.72621678778883204128931844218483598373384446932	4
${ displaystyle lambda _ {5}}$	15.04891613326704874618158434025881127570452711372	3
${ displaystyle lambda _ {6}}$	18.65881962726019380629623466134099363131475471461	3
${ displaystyle lambda _ {7}}$	20.5198597341420020011497712606420998241440266544635	4
${ displaystyle lambda _ {8}}$	23.0785584813816351550752062995745529967807846993874	1
${ displaystyle lambda _ {9}}$	28.079605737677729081562207945001124964945310994142	3
${ displaystyle lambda _ {10}}$	30.833042737932549674243957560470189329562655076386	4

В спектральный определитель и Казимира энергия ${ displaystyle zeta (-1/2)}$ поверхности Больца

${ displaystyle det {} _ { zeta} ( Delta) приблизительно 4,72273280444557}$

и

${ displaystyle zeta _ { Delta} (- 1/2) приблизительно -0.65000636917383}$

соответственно, где все десятичные знаки считаются правильными. Предполагается, что спектральный детерминант максимизируется в роде 2 для поверхности Больца.

Кватернионная алгебра

Вслед за Маклахланом и Ридом кватернионная алгебра можно принять за алгебру над ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {2}})}$ порожденная как ассоциативная алгебра генераторами я, j и отношения

${ displaystyle i ^ {2} = - 3, ; j ^ {2} = { sqrt {2}}, ; ij = -ji,}$

при соответствующем выборе порядок.

Смотрите также

• Гиперэллиптическая кривая
• Кляйн квартика
• Кривая Принесения
• Поверхность Macbeath
• Первая тройка Гурвица

Рекомендации

• Больца, Оскар (1887), "О двоичных секстиках с линейными преобразованиями в самих себя", Американский журнал математики, 10 (1): 47–70, Дои:10.2307/2369402, JSTOR  2369402
• Кац, М .; Сабурау, С. (2006). «Оптимальное систолическое неравенство для показателей CAT (0) второго рода». Pacific J. Math. 227 (1): 95–107. arXiv:math.DG / 0501017. Дои:10.2140 / pjm.2006.227.95.
• Шмутц П. (1993). «Римановы поверхности с кратчайшей геодезической максимальной длины». GAFA. 3 (6): 564–631. Дои:10.1007 / BF01896258.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Aurich, R .; Богомольный, Е.Б .; Штайнер, Ф. (1991). «Периодические орбиты на правильном гиперболическом восьмиугольнике». Physica D: нелинейные явления. 48 (1): 91–101. Bibcode:1991 ФИД ... 48 ... 91A. Дои:10.1016 / 0167-2789 (91) 90053-C.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Кук, Дж. (2018). Свойства собственных значений на римановых поверхностях с большими группами симметрии (Кандидатская диссертация, неопубликованная). Университет Лафборо.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Дженни, Ф. (1981). Über das Spektrum des Laplace-Operators auf einer Schar kompakter Riemannscher Flächen (Кандидатская диссертация). Базельский университет. OCLC  45934169.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Strohmaier, A .; Уски, В. (2013). «Алгоритм вычисления собственных значений, спектральных дзета-функций и дзета-определителей на гиперболических поверхностях». Коммуникации по математической физике. 317 (3): 827–869. arXiv:1110.2150. Bibcode:2013CMaPh.317..827S. Дои:10.1007 / s00220-012-1557-1.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Maclachlan, C .; Рид, А. (2003). Арифметика трехмерных гиперболических многообразий. Тексты для выпускников по математике. 219. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-98386-4.

Специфический