Систолическая геометрия - Systolic geometry

А геодезический на Американский футбол иллюстрируя доказательство Громова гипотеза о площади заполнения в гиперэллиптическом случае (см. объяснение ниже).

В математика, систолическая геометрия исследование систолического инварианты из коллекторы и многогранники, как первоначально было задумано Чарльз Лёвнер и разработан Михаил Громов, Майкл Фридман, Питер Сарнак, Михаил Кац, Ларри Гут, и другие, в его арифметическом, эргодический, и топологические проявления. См. Также медленный Введение в систолическую геометрию.

Понятие систолы

Кратчайшая петля на торе

В систола из компактный метрическое пространство Икс является метрическим инвариантом Икс, определяемая как наименьшая длина несжимаемой петля в Икс (т.е. цикл, который нельзя свести к точке в окружающем пространстве Икс). Говоря техническим языком, мы сокращаем длину до свободные петли представляющий нетривиальный классы сопряженности в фундаментальная группа из Икс. Когда Икс это график, инвариант обычно называют обхват, с тех пор как в 1947 г. была опубликована статья об обхвате В. Т. Тутте.^[1] Возможно, вдохновленный статьей Тутте, Лёвнер начал думать о систолических вопросах на поверхностях в конце 1940-х годов, в результате чего 1950 диссертация его учеником Пао Мин Пу. Сам термин «систола» был придуман только четверть века спустя, Марсель Бергер.

Дальнейший импульс этому направлению исследований, по-видимому, придало замечание Рене Том в беседе с Бергером в библиотеке Страсбургского университета в 1961/62 учебном году, вскоре после публикации статей Р. Акколы и К. Блаттера. Говоря об этом систолическом неравенстве, Том, как сообщается, воскликнул: Mais c'est fondamental! [Эти результаты имеют фундаментальное значение!]

Впоследствии Бергер популяризировал эту тему в серии статей и книг, последняя из которых вышла в марте 2008 г. в «Уведомлениях Американского математического общества» (см. Ссылку ниже). Библиография в Сайт по систолической геометрии и топологии на данный момент содержит более 160 статей. Систолическая геометрия - быстро развивающаяся область, в которой недавно был опубликован ряд публикаций в ведущих журналах. Недавно (см. Статью Каца и Рудяка 2006 г. ниже) ссылка на Категория Люстерника – Шнирельмана появился. Существование такой связи можно рассматривать как теорему в систолическая топология.

Свойство центрально-симметричного многогранника в трехмерном пространстве

Каждый выпуклый центрально-симметричный многогранник п в р³ допускает пару противоположных (антиподальных) точек и соединяющий их путь длины L, лежащий на границе ∂п из п, удовлетворяющий

{ displaystyle L ^ {2} leq { frac { pi} {4}} mathrm {area} ( partial P).}

Альтернативная формулировка следующая. Любое центрально-симметричное выпуклое тело с площадью поверхности А можно протиснуть через длинную петлю ${ displaystyle { sqrt { pi A}}}$ с максимальной плотностью прилегания, достигаемой сферой. Это свойство эквивалентно частному случаю неравенства Пу (см. Ниже), одного из самых ранних систолических неравенств.

Концепции

Чтобы дать предварительное представление о характере поля, можно сделать следующие наблюдения. Основная идея процитированного выше замечания Тома Бергеру, по-видимому, заключается в следующем. Каждый раз, когда встречается неравенство, связывающее геометрические инварианты, такое явление само по себе интересно; тем более, когда неравенство является точным (т. е. оптимальным). Классический изопериметрическое неравенство хороший пример.

Тор

В систолических вопросах о поверхностях интегрально-геометрические тождества играют особенно важную роль. Грубо говоря, существует целостная идентичность, относящаяся к области, с одной стороны, и среднее значение энергий подходящего семейства петель, с другой. Посредством Неравенство Коши – Шварца, энергия - это верхняя граница квадрата длины; отсюда получается неравенство между площадью и площадью систолы. Такой подход работает как для Неравенство Левнера

{ displaystyle mathrm {sys} ^ {2} leq { frac {2} { sqrt {3}}} cdot mathrm {область}}

для тор, где случай равенства достигается плоским тором, преобразования деки которого образуют решетку Целые числа Эйзенштейна,

Анимация Римская поверхность представляющий п²(р) в р³

и для Неравенство Пу для вещественной проективной плоскости п²(р):

{ Displaystyle mathrm {sys} ^ {2} leq { frac { pi} {2}} cdot mathrm {область}}

,

с равенством, характеризующим метрику постоянной Гауссова кривизна.

Применение вычислительной формулы для дисперсии фактически дает следующую версию неравенства тора Лёвнера с изосистолическим дефектом:

{ displaystyle mathrm {area} - { frac { sqrt {3}} {2}} mathrm {sys} ^ {2} geq mathrm {var} (f),}

куда ж - конформный фактор метрики относительно плоской метрики единичной площади в ее конформном классе. Это неравенство можно рассматривать как аналог Неравенство Боннесена с изопериметрическим дефектом - усиление изопериметрического неравенства.

Недавно был обнаружен ряд новых неравенств этого типа, в том числе нижние оценки универсального объема. Более подробная информация представлена на систолы поверхностей.

Систолическое неравенство Громова

Самый глубокий результат в этой области - Неравенство Громова для гомотопии 1-систолы существенный п-многообразие M:

{ displaystyle operatorname {sys pi} _ {1} {} ^ {n} leq C_ {n} operatorname {vol} (M),}

куда C_п универсальная константа, зависящая только от размерности M. Здесь гомотопическая систола sysπ₁ по определению является наименьшей длиной несжимаемой петли в M. Многообразие называется существенный если его фундаментальный класс [M] представляет собой нетривиальный класс в гомология своего фундаментальная группа. В доказательстве используется новый инвариант, называемый радиус заполнения, введенный Громовым, определяется следующим образом.

Обозначим через А кольцо коэффициентов Z или же Z₂, в зависимости от того, M ориентируемый. Тогда фундаментальный класс, обозначенный [M]компактного п-мерное многообразие M является генератором ${ Displaystyle Н_ {п} (М; А) = А}$ . Учитывая вложение M в евклидовом пространстве E, мы установили

{ Displaystyle mathrm {FillRad} (M subset E) = inf left { epsilon> 0 left | ; iota _ { epsilon} ([M]) = 0 in H_ {n} (U _ { epsilon} M) right. Right },}

где ι_ε гомоморфизм включения, индуцированный включением M в своей ε-окрестности U_ε M в E.

Чтобы определить абсолютный радиус заполнения в ситуации, когда M снабжена римановой метрикой грамм, Громов поступает следующим образом. Один использует вложение, принадлежащее К. Куратовски. Один погружает M в банаховом пространстве L^∞(M) ограниченных борелевских функций на M, оборудованный нормой sup ${ Displaystyle | ; |}$ . А именно наносим на карту точку Икс ∈ M к функции ж_Икс ∈ L^∞(M) определяемый формулой ж_Икс(у) = д (х, у) для всех у ∈ M, куда d - функция расстояния, определяемая метрикой. По неравенству треугольника имеем ${ displaystyle d (x, y) = | f_ {x} -f_ {y} |,}$ и поэтому вложение сильно изометрично в том смысле, что внутреннее расстояние и внешнее расстояние совпадают. Такое сильно изометрическое вложение невозможно, если объемлющее пространство является гильбертовым пространством, даже если M риманова окружность (расстояние между противоположными точками должно быть π, а не 2!). Затем мы устанавливаем E = L^∞(M) в формуле выше и определим

{ displaystyle mathrm {FillRad} (M) = mathrm {FillRad} left (M subset L ^ { infty} (M) right).}

А именно, Громов доказал точное неравенство, связывающее систолу и радиус заполнения:

{ displaystyle mathrm {sys pi} _ {1} leq 6 ; mathrm {FillRad} (M),}

справедливо для всех существенных многообразий M; а также неравенство

{ displaystyle mathrm {FillRad} leq C_ {n} mathrm {vol} _ {n} {} ^ {1 / n} (M),}

действительно для всех замкнутых коллекторов M.

Краткое изложение доказательства, основанного на недавних результатах в геометрической теории меры С. Венгера, основанном на более ранней работе Л. Амбросио и Б. Кирххейма, приводится в разделе 12.2 книги «Систолическая геометрия и топология», ссылка на которую приводится ниже. Совершенно иной подход к доказательству неравенства Громова недавно был предложен А. Ларри Гут.^[2]

Устойчивое неравенство Громова

Существенная разница между 1-систолическими инвариантами (определяемыми длиной петель) и более высокими, k-систолические инварианты (определенные в терминах областей циклов и т. д.) следует иметь в виду. Хотя к настоящему времени получен ряд оптимальных систолических неравенств, включающих 1-систолу, практически единственное оптимальное неравенство, включающее чисто высшие k-систолия есть Оптимальное устойчивое 2-систолическое неравенство Громова

{ displaystyle mathrm {stsys} _ {2} {} ^ {n} leq n! ; mathrm {vol} _ {2n} ( mathbb {CP} ^ {n})}

за сложное проективное пространство, где оптимальная оценка достигается симметричным Метрика Фубини – Этюд, указывая на ссылку на квантовая механика. Здесь устойчивая 2-систола риманова многообразия M определяется установкой

{ displaystyle mathrm {stsys} _ {2} = lambda _ {1} left (H_ {2} (M, mathbb {Z}) _ { mathbb {R}}, | ; | верно),}

куда ${ Displaystyle | ; |}$ - устойчивая норма, а λ₁ наименьшая норма ненулевого элемента решетки. Насколько исключительным является устойчивое неравенство Громова, стало ясно только недавно. А именно, было обнаружено, что, вопреки ожиданиям, симметричная метрика на кватернионная проективная плоскость является нет его систолически оптимальный показатель, в отличие от 2-систолы в сложном случае. В то время как кватернионная проективная плоскость с его симметричной метрикой имеет стабильное систолическое отношение средней размерности 10/3, аналогичное соотношение для симметричной метрики комплексного проективного 4-мерного пространства дает значение 6, в то время как наилучшая доступная верхняя граница для такого отношения произвольной метрики на обоих этих пространствах равно 14. Эта верхняя оценка связана со свойствами алгебры Ли E7. Если существует 8-многообразие с исключительной голономией Spin (7) и 4-м числом Бетти 1, то значение 14 фактически оптимально. Многообразия с голономией Spin (7) были интенсивно изучены Доминик Джойс.

Нижние оценки для 2-систол

Точно так же чуть ли не единственный нетривиальный ниже привязанный к k-систолия с k = 2, результат недавней работы в калибровочная теория и J-голоморфные кривые. Изучение нижних оценок конформной 2-систолы 4-многообразий привело к упрощенному доказательству плотности изображения отображения периодов: Джейк Соломон.

Проблема Шоттки

Возможно, одно из самых ярких применений систол находится в контексте Проблема Шоттки, П. Бузер и П. Сарнак, которые отличили Якобианцы из Римановы поверхности среди принципиально поляризованных абелевых разновидностей, лежащих в основе систолической арифметики.

Категория Люстерника – Шнирельмана

Задание систолических вопросов часто стимулирует вопросы в смежных областях. Таким образом, понятие систолическая категория многообразия была определена и исследована, демонстрируя связь с Категория Люстерника – Шнирельмана (Категория LS). Обратите внимание, что систолическая категория (как и категория LS) по определению является целым числом. Было показано, что эти две категории совпадают как для поверхностей, так и для 3-многообразий. Более того, для ориентируемых 4-многообразий систолическая категория является нижней границей категории LS. Как только связь установлена, влияние становится обоюдным: известные результаты о категории LS стимулируют систолические вопросы, и наоборот.

Новый инвариант был введен Кацем и Рудяком (см. Ниже). Поскольку инвариант оказывается тесно связанным с категорией Люстерника-Шнирельмана (LS-категорией), он был назван систолическая категория.

Систолическая категория многообразия M определяется в терминах различных k-систолии M. Грубо говоря, идея заключается в следующем. Учитывая многообразие M, ищется самый длинный продукт систол, который дает нижнюю границу "без кривизны" для общего объема M (с постоянной, не зависящей от метрики). Естественно включить систолические инварианты покрытий M в определении, а также. Количество факторов в таком «самом длинном продукте» по определению является систолической категорией M.

Например, Громов показал, что существенный п-многообразие допускает нижнюю границу объема в терминах n-й степени гомотопической 1-систолы (см. раздел выше). Отсюда следует, что систолическая категория существенного п-многообразие точно п. Фактически, для закрытых п-многообразий максимальное значение категории LS и систолической категории достигается одновременно.

Еще один намек на существование интригующей связи между двумя категориями - это отношение к инварианту, называемому длиной куба. Таким образом, реальная длина куба оказывается нижней границей для обеих категорий.

Систолическая категория совпадает с категорией LS в ряде случаев, включая случай многообразий размерностей 2 и 3. В размерности 4 недавно было показано, что систолическая категория является нижней границей для категории LS.

Систолическая гиперболическая геометрия

Исследование асимптотики для большого рода грамм систолы гиперболических поверхностей обнаруживает некоторые интересные константы. Таким образом, Поверхности Гурвица Σ_грамм определяется башней главных конгруэнтных подгрупп группы (2,3,7) гиперболическая треугольная группа удовлетворять предел

{ displaystyle mathrm {sys} pi _ {1} ( Sigma _ {g}) geq { frac {4} {3}} log g,}

и аналогичная оценка верна для более общей арифметики Фуксовы группы. Этот результат 2007 г., сделанный Кацем, Шапсом и Вишне, обобщает результаты Питер Сарнак и Питер Бузер в случае арифметических групп, определенных над Qиз их основополагающей статьи 1994 года (см. ниже).

Библиография систол в гиперболическая геометрия в настоящее время насчитывает сорок статей. Интересные примеры дает Поверхность Больца, Кляйн квартика, Поверхность Macbeath, Первая тройка Гурвица.

Связь с отображениями Абеля – Якоби.

Семейство оптимальных систолических неравенств получается в результате применения методик Бураго и Иванова с использованием подходящих Отображения Абеля – Якоби, определяемый следующим образом.

Позволять M быть многообразие, π = π₁(M), его фундаментальная группа и ж: π → π^ab быть его абелианизация карта. Позволять тор - подгруппа кручения группы π^ab. Позволять грамм: π^ab → π^ab/тор - фактор по кручению. Ясно, что π^ab/тор= Z^б, куда б = б₁ (M). Пусть φ: π → Z^б - составной гомоморфизм.

Определение: Крышка ${ displaystyle { bar {M}}}$ коллектора M соответствующая подгруппа Ker (φ) ⊂ π, называется универсальным (или максимальным) свободным абелевым накрытием.

Теперь предположим M имеет Риманова метрика. Позволять E - пространство гармонических 1-форм на M, с двойным E* канонически отождествляется с ЧАС₁(M,р). Путем интегрирования интегральной гармонической 1-формы вдоль путей от базовой точки Икс₀ ∈ M, мы получаем отображение в круг р/Z = S¹.

Аналогично, чтобы определить карту M → ЧАС₁(M,р)/ЧАС₁(M,Z)_р не выбирая базиса для когомологий, рассуждаем следующим образом. Позволять Икс быть точкой в универсальный чехол ${ displaystyle { tilde {M}}}$ из M. Таким образом Икс представлен точкой M вместе с тропой c из Икс₀ к нему. Интегрируя по пути c, получаем линейную форму ${ displaystyle h to int _ {c} h}$ , на E. Таким образом, мы получаем отображение ${ Displaystyle { тильда {M}} к E ^ {*} = H_ {1} (M, mathbf {R})}$ , который, кроме того, спускается на карту

{ displaystyle { overline {A}} _ {M}: { overline {M}} to E ^ {*}, ; ; c mapsto left (h mapsto int _ {c} h верно),}

куда ${ displaystyle { overline {M}}}$ универсальное бесплатное абелево покрытие.

Определение: В Сорт Якоби (Тор Якоби) M это тор J₁(M)= ЧАС₁(M,р)/ЧАС₁(M,Z)_р

Определение: В Карта Абеля – Якоби ${ displaystyle A_ {M}: от M до J_ {1} (M),}$ получается из карты выше переходом к факторам. Отображение Абеля – Якоби единственно с точностью до сдвигов тора Якоби.

В качестве примера можно привести следующее неравенство, принадлежащее Д. Бураго, С. Иванову и М. Громов.

Позволять M быть п-мерное риманово многообразие с первым числом Бетти п, так что карта из M своему тору Якоби имеет ненулевой степень. потом M удовлетворяет оптимальному стабильному систолическому неравенству

{ displaystyle mathrm {stsys} _ {1} {} ^ {n} leq gamma _ {n} mathrm {vol} _ {n} (M),}

куда ${ displaystyle gamma _ {n}}$ классический Постоянная Эрмита.

Связанные поля, объемная энтропия

Показано, что асимптотические явления для систолы поверхностей большого рода связаны с интересными эргодический явлений, и свойствам конгруэнтных подгрупп арифметические группы.

Неравенство Громова 1983 г. для гомотопической систолы подразумевает, в частности, единую нижнюю границу для площади асферической поверхности с точки зрения ее систолы. Такая оценка обобщает неравенства Лёвнера и Пу, хотя и неоптимальным образом.

Основополагающая статья Громова 1983 года также содержит асимптотические оценки, связывающие систолу и площадь, которые улучшают равномерную оценку (действительную во всех измерениях).

Недавно было обнаружено (см. Статью Каца и Сабурау ниже), что объемная энтропия час, вместе с оптимальным неравенством А. Катока для час, является «правильным» посредником в прозрачном доказательстве асимптотической границы М. Громова для систолического отношения поверхностей большого рода.

Классический результат А. Катока утверждает, что любая метрика на замкнутой поверхности M с отрицательной эйлеровой характеристикой удовлетворяет оптимальному неравенству, связывающему энтропию и площадь.

Оказывается, минимальная энтропия замкнутой поверхности может быть связана с ее оптимальным систолическим соотношением. А именно, существует верхняя граница энтропии систолически экстремальной поверхности в терминах ее систолы. Комбинируя эту верхнюю оценку с оптимальной нижней оценкой Катока по объему, можно получить более простое альтернативное доказательство асимптотической оценки Громова для оптимального систолического отношения поверхностей большого рода. Кроме того, такой подход дает улучшенную мультипликативную константу в теореме Громова.

В качестве приложения этот метод подразумевает, что каждая метрика на поверхности рода не менее 20 удовлетворяет торовому неравенству Лёвнера. Это улучшает лучшую предыдущую оценку в 50, которая следовала из оценки Громова.

Гипотеза области заполнения

Громова гипотеза о площади заполнения было доказано в гиперэллиптических условиях (см. ссылку Бангерта и др. ниже).

В гипотеза о площади заполнения утверждает, что среди всех возможных заполнений римановой окружности длины 2π поверхностью с сильно изометрическим свойством круглая полусфера имеет наименьшую площадь. Здесь риманова окружность относится к единственному замкнутому одномерному риманову многообразию полного 1-объема 2π и риманова диаметра π.

Чтобы объяснить эту гипотезу, мы начнем с наблюдения, что экваториальная окружность единичной 2-сферы, S² ⊂ р³, является римановой окружностью S¹ длины 2π и диаметра π.

Точнее, функция риманова расстояния от S¹ - ограничение окружающего риманова расстояния на сфере. Это свойство нет удовлетворяется стандартным вложением единичной окружности в евклидову плоскость, где пара противоположных точек находится на расстоянии 2, а не π.

Считаем все пломбы S¹ поверхностью, такой что ограниченная метрика, определяемая включением окружности в качестве границы поверхности, является римановой метрикой окружности длины 2π. Включение круга в качестве границы тогда называется сильно изометрическим вложением окружности.

В 1983 году Громов предположил, что круглая полусфера дает «лучший» способ заполнения круга среди всех заполняющих поверхностей.

Случай односвязных заполнений эквивалентен Неравенство Пу. Недавно случай род -1 пломба также была решена положительно (см. Ссылку Bangert et al. Ниже). А именно, оказывается, что можно использовать формулу Дж. Херша полувековой давности из интегральной геометрии. А именно, рассмотрим семейство петель в форме восьмерки на футбольном мяче с точкой самопересечения на экваторе (см. Рисунок в начале статьи). Формула Херша выражает площадь метрики в конформном классе футбольного мяча как среднее значение энергии петель в виде восьмерки из семейства. Применение формулы Херша к гиперэллиптическому фактору римановой поверхности доказывает в этом случае гипотезу о площади заполнения.

Другие систолические разветвления гиперэллиптичность были идентифицированы в роду 2.

Обзоры

Обзоры в данной области включают обзор М. Бергера (1993 г.), обзор Громова (1996 г.), книгу Громова (1999 г.), панорамную книгу Бергера (2003 г.), а также книгу Каца (2007 г.). Эти ссылки могут помочь новичку войти в эту область. Они также содержат открытые проблемы, над которыми нужно работать.

Смотрите также

Примечания

^ Тутте, Уильям Т. (1947). «Семейство кубических графов». Proc. Cambridge Philos. Soc. 43 (4): 459–474. Bibcode:1947PCPS ... 43..459T. Дои:10.1017 / S0305004100023720. МИСТЕР 0021678.
^ Гут, Ларри (2011). «Объемы шаров в больших римановых многообразиях». Анналы математики. 173 (1): 51–76. arXiv:математика / 0610212. Дои:10.4007 / летопись.2011.173.1.2. МИСТЕР 2753599.

внешняя ссылка

[1] Тутте, Уильям Т. (1947). «Семейство кубических графов». Proc. Cambridge Philos. Soc. 43 (4): 459–474. Bibcode:1947PCPS ... 43..459T. Дои:10.1017 / S0305004100023720. МИСТЕР 0021678.

[2] Гут, Ларри (2011). «Объемы шаров в больших римановых многообразиях». Анналы математики. 173 (1): 51–76. arXiv:математика / 0610212. Дои:10.4007 / летопись.2011.173.1.2. МИСТЕР 2753599.

[1]

[2]

Систолическая геометрия
1-систолы поверхностей	Неравенство тора Лёвнера Неравенство Пу Гипотеза области заполнения Поверхность Больца Систолы поверхностей Целые числа Эйзенштейна
1-систолы коллекторов	Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий Существенный коллектор Радиус заполнения Постоянная Эрмита
Высшие систолы	Неравенство Громова для комплексного проективного пространства Систолическая свобода Систолическая категория