Проблема Шоттки - Schottky problem

В математика, то Проблема Шоттки, названный в честь Фридрих Шоттки, это классический вопрос о алгебраическая геометрия, запрашивая характеристику Якобиевы многообразия среди абелевы разновидности.

Геометрическая формулировка

Точнее, следует учитывать алгебраические кривые ${displaystyle C}$ данного род ${displaystyle g}$ , и их якобианцы ${displaystyle operatorname {Jac} (C)}$ . Существует пространство модулей ${displaystyle {mathcal {M}} _ {g}}$ таких кривых, а пространство модулей абелевых многообразий, ${displaystyle {mathcal {A}} _ {g}}$ , размерности ${displaystyle g}$ , которые принципиально поляризованный. Есть морфизм

${displaystyle operatorname {Jac}: {mathcal {M}} _ {g} o {mathcal {A}} _ {g}}$

который по точкам (геометрические точки, а точнее) принимает класс изоморфизма ${displaystyle [C]}$ к ${displaystyle [operatorname {Jac} (C)]}$ . Содержание Теорема Торелли в том, что ${displaystyle operatorname {Jac}}$ инъективно (опять же по баллам). В Проблема Шоттки просит описание изображения ${displaystyle operatorname {Jac}}$ , обозначенный ${displaystyle {mathcal {J}} _ {g} = operatorname {Jac} ({mathcal {M}} _ {g})}$ .^[1]

Размер ${displaystyle {mathcal {M}} _ {g}}$ является ${displaystyle 3g-3}$ ,^[2] за ${displaystyle ggeq 2}$ , а размерность ${displaystyle {mathcal {A}} _ {g}}$ является грамм(грамм + 1) / 2. Это означает, что размеры одинаковы (0, 1, 3, 6) для грамм = 0, 1, 2, 3. Следовательно, ${displaystyle g = 4}$ Это первый случай изменения размеров, который изучал Ф. Шоттки в 1880-х годах. Шоттки применил тета-константы, которые модульные формы для Верхнее полупространство Зигеля, чтобы определить Локус Шоттки в ${displaystyle {mathcal {A}} _ {g}}$ . Более точная форма вопроса - определить, действительно ли изображение ${displaystyle operatorname {Jac}}$ по существу совпадает с локусом Шоттки (другими словами, является ли он Зариски плотный там).

Размер 1 кейс

Все эллиптические кривые являются якобианом сами по себе, поэтому набор модулей эллиптических кривых ${displaystyle {mathcal {M}} _ {1,1}}$ модель для ${displaystyle {mathcal {A}} _ {1}}$ .

Размеры 2 и 3

В случае абелевых поверхностей существует два типа абелевых многообразий:^[3] якобиан кривой рода 2 или произведение якобианов кривой эллиптические кривые. Это означает, что пространства модулей

${displaystyle {mathcal {M}} _ {2}, {mathcal {M}} _ {1,1} imes {mathcal {M}} _ {1,1}}$

вставлять в ${displaystyle {mathcal {A}} _ {2}}$ . Аналогичное описание существует для размерности 3, поскольку абелево многообразие может быть произведением якобианов.

Формулировка решетки периодов

Если описать пространство модулей ${displaystyle {mathcal {A}} _ {g}}$ Если говорить интуитивно, как параметры, от которых зависит абелево многообразие, тогда проблема Шоттки просто спрашивает, какое условие на параметры означает, что абелево многообразие происходит из якобиана кривой. Классический случай над полем комплексных чисел получил наибольшее внимание, а затем абелево многообразие А просто комплексный тор определенного типа, возникающего из решетка в C^грамм. В относительно конкретных терминах задается вопрос, какие решетки являются решетки периодов из компактные римановы поверхности.

Формулировка матрицы Римана

Обратите внимание, что матрица Римана сильно отличается от любой Тензор Римана

Одно из главных достижений Бернхард Риманн была его теория комплексных торов и тета-функции. С использованием Тета-функция Римана, необходимые и достаточные условия на решетку были записаны Риманом для решетки в C^грамм чтобы соответствующий тор был вложен в сложное проективное пространство. (Интерпретация могла быть позже, с Соломон Лефшец, но теория Римана была окончательной.) Данные - это то, что сейчас называется Матрица Римана. Поэтому сложная проблема Шоттки превращается в вопрос о характеристике матрицы периодов компактных римановых поверхностей рода грамм, сформированный путем интеграции основы для абелевы интегралы вокруг основы для первого группа гомологии, среди всех матриц Римана. Это было решено Такахиро Сиота в 1986 г.^[4]

Геометрия задачи

Есть несколько геометрических подходов, и было показано, что этот вопрос подразумевает Уравнение Кадомцева – Петвиашвили., относится к солитон теория.

Смотрите также

Модули абелевых многообразий

Рекомендации

^ Грушевский, Самуэль (29.09.2010). «Проблема Шоттки». arXiv:1009.0369 [math.AG ].
^ следует из элементарного Теория деформации
^ Оорт, Ф. (1973). Принципиально поляризованные абелевы многообразия размерности два или три являются якобиевыми многообразиями. (PDF). Орхусский университет. Matematisk Institut. OCLC 897746916. Архивировано из оригинал 9 июня 2020 г.
^ Сиота, Такахиро (1986). «Характеризация якобиевых многообразий с помощью солитонных уравнений». Inventiones Mathematicae. 83 (2): 333–382. Bibcode:1986InMat..83..333S. Дои:10.1007 / BF01388967. S2CID 120739493.

Бовиль, Арно (1987), "Проблема Шоттки и гипотеза Новикова", Astérisque, Séminaire Bourbaki (152): 101–112, ISSN 0303-1179, МИСТЕР 0936851
Дебарре, Оливье (1995), «Проблема Шоттки: обновление», Актуальные темы сложной алгебраической геометрии (Беркли, Калифорния, 1992/93), Математика. Sci. Res. Inst. Publ., 28, Издательство Кембриджского университета, стр. 57–64, МИСТЕР 1397058
Гир, Г. ван дер (2001) [1994], «Проблема Шоттки», Энциклопедия математики, EMS Press
Грушевский, Самуэль (2011), «Проблема Шоттки» (PDF), в Капорасо, Лючия; МакКернан, Джеймс; Попа, Михня; и другие. (ред.), Текущие достижения в алгебраической геометрии, Публикации ИИГС, 59, ISBN 978-0-521-76825-2

[1] Грушевский, Самуэль (29.09.2010). «Проблема Шоттки». arXiv:1009.0369 [math.AG ].

[2] следует из элементарного Теория деформации

[3] Оорт, Ф. (1973). Принципиально поляризованные абелевы многообразия размерности два или три являются якобиевыми многообразиями. (PDF). Орхусский университет. Matematisk Institut. OCLC 897746916. Архивировано из оригинал 9 июня 2020 г.

[4] Сиота, Такахиро (1986). «Характеризация якобиевых многообразий с помощью солитонных уравнений». Inventiones Mathematicae. 83 (2): 333–382. Bibcode:1986InMat..83..333S. Дои:10.1007 / BF01388967. S2CID 120739493.

[1]

[2]

[3]

[4]