Модули абелевых многообразий - Moduli of abelian varieties

Абелевы разновидности являются естественным обобщением эллиптические кривые, включая алгебраические торы в высших размерностях. Так же, как эллиптические кривые пространство естественных модулей ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {1,1}}$ по характеристике 0, построенной как фактор верхняя полуплоскость действием ${ Displaystyle SL_ {2} ( mathbb {Z})}$,^[1] аналогичная конструкция существует для абелевых многообразий ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {g}}$ с использованием Верхнее полупространство Зигеля и Симплектическая группа ${ displaystyle operatorname {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z})}$.^[2]

Конструкции над характеристикой 0

Принципиально поляризованные абелевы многообразия

Напомним, что Верхняя полуплоскость Зигеля дан кем-то^[3]

${ displaystyle H_ {g} = { Omega in operatorname {Mat} _ {g, g} ( mathbb {C}): Omega ^ {T} = Omega, operatorname {Im} ( Омега)> 0 } substeq operatorname {Sym} _ {g} ( mathbb {C})}$

которое является открытым подмножеством в ${ displaystyle g times g}$ симметричные матрицы (поскольку ${ displaystyle operatorname {Im} ( Omega)> 0}$ открытое подмножество ${ Displaystyle mathbb {R}}$, и ${ displaystyle operatorname {Im}}$ непрерывно). Обратите внимание, если ${ displaystyle g = 1}$ это дает ${ Displaystyle 1 раз 1}$ матрицы с положительной мнимой частью, следовательно, этот набор является обобщением верхней полуплоскости. Тогда любая точка ${ displaystyle Omega in H_ {g}}$ дает комплексный тор

${ Displaystyle X _ { Omega} = mathbb {C} ^ {g} / ( Omega mathbb {Z} ^ {g} + mathbb {Z} ^ {g})}$

с основной поляризацией ${ displaystyle H _ { Omega}}$ из матрицы ${ displaystyle Omega ^ {- 1}}$^{[2]стр. 34}. Оказывается, все принципиально поляризованные абелевы многообразия возникают таким образом, что дает ${ displaystyle H_ {g}}$ структура пространства параметров для всех принципиально поляризованных абелевых многообразий. Но существует эквивалентность, когда

${ Displaystyle X _ { Omega} cong X _ { Omega '} iff Omega = M Omega'}$ за ${ displaystyle M in operatorname {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z})}$

следовательно, пространство модулей главнополяризованных абелевых многообразий строится из коэффициент стека

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {g} = [ operatorname {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z}) обратная косая черта H_ {g}]}$

что дает Стек Делин-Мамфорд над ${ displaystyle operatorname {Spec} ( mathbb {C})}$. Если это вместо этого задано Фактор GIT, то дает грубое пространство модулей ${ displaystyle A_ {g}}$.

Принципиально поляризованные абелевы многообразия с уровнем п-структура

Во многих случаях проще работать с пространством модулей принципиально поляризованных абелевых многообразий с уровнем п-структура, потому что она создает жесткость проблемы модулей, которая дает функтор модулей вместо стека модулей.^[4][5] Это означает, что функтор может быть представлен алгебраическим многообразием, например разнообразие или же схема вместо стека. А уровень п-структура дается на фиксированной основе

${ displaystyle H_ {1} (X _ { Omega}, mathbb {Z} / n) cong { frac {1} {n}} cdot L / L cong n { text {- кручение} } X _ { Omega}}$

куда ${ displaystyle L}$ решетка ${ displaystyle Omega mathbb {Z} ^ {g} + mathbb {Z} ^ {g} subset mathbb {C} ^ {2g}}$. Фиксация такого базиса удаляет автоморфизмы абелевого многообразия в точке пространства модулей, следовательно, существует истинное алгебраическое многообразие без стабилизирующей структуры. Обозначить

${ displaystyle Gamma (n) = ker [ operatorname {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z}) to operatorname {Sp} _ {2g} ( mathbb {Z}) / n]}$

и определить

${ displaystyle A_ {g, n} = Gamma (n) обратная косая черта H_ {g}}$

как факторное разнообразие.

Рекомендации

Смотрите также

• Проблема Шоттки
• Модульное разнообразие Siegel
• Стек модулей эллиптических кривых
• Модули алгебраических кривых
• Схема гильберта
• Теория деформации