Тета-константа - Theta constant
В математике тета-константа или же Thetanullwert ' (На немецком языке означает тета нулевое значение; множественное число Thetanullwerte) - ограничение θм(τ) = θм(τ,0) из тета-функция θм(τ,z) с рациональной характеристикой м к z = 0. Переменная τ может быть комплексным числом в верхней полуплоскости, и в этом случае тета-константы являются модульными формами, или, в более общем смысле, может быть элементом верхней полуплоскости Зигеля, и в этом случае тета-константы равны Модульные формы Siegel. В тета-функция решетки по существу является частным случаем тета-константы.
Определение
Тета-функция θм(τ,z) = θа,б(τ,z) определяется
![{ displaystyle theta _ {a, b} ( tau, z) = sum _ { xi in Z ^ {n}} exp left [ pi { rm {i}} ( xi + а) тау ( xi + a) ^ {t} +2 pi i ( xi + a) (z + b) ^ {t} right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b01fd70d3489ca592e9ecf2ffcca06415fc9c822)
куда
- п целое положительное число, называемое родом или рангом.
- м = (а,б) называется характеристикой
- а,б находятся в рп
- τ это сложный п к п матрица с положительно определенной мнимой частью
- z в Cп
- т означает транспонирование вектора-строки.
Если а,б находятся в Qп тогда θа,б(τ, 0) называется тета-константа.
Примеры
Если п = 1 и а и б равны 0 или 1/2, то функции θа,б(τ,z) четыре Тета-функции Якоби, а функции θа,б(τ, 0) - классические тета-константы Якоби. Тета-константа θ1/2,1/2(τ, 0) тождественно равен нулю, но остальные три могут быть ненулевыми.