Уравнение Кадомцева – Петвиашвили. - Kadomtsev–Petviashvili equation

Переход набухает, состоящий из цугов околокноидальных волн. Фотография сделана с Phares des Baleines (Китовый маяк) в западной точке Иль-де-Ре (Остров Ре), Франция, в Атлантический океан. Взаимодействие таких близких ксолитоны на мелководье можно смоделировать с помощью уравнения Кадомцева – Петвиашвили.

В математика и физика, то Уравнение Кадомцева – Петвиашвили. - или же Уравнение КП, названный в честь Борис Борисович Кадомцев и Владимир Иосифович Петвиашвили - это уравнение в частных производных описать нелинейный Волновое движение. Уравнение КП обычно записывается как:

{displaystyle displaystyle partial _ {x} (partial _ {t} u + upartial _ {x} u + epsilon ^ {2} partial _ {xxx} u) + lambda partial _ {yy} u = 0}

куда ${displaystyle lambda = pm 1}$ . Приведенная выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением двух пространственные размеры, Икс и у, одномерного Уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ). Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны не должно быть слишком далеко от Икс направление, т.е. только с медленными вариациями решений в у направление.

Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5] Это также можно решить с помощью обратное преобразование рассеяния очень похоже на нелинейное уравнение Шредингера.^[6]

История

Борис Кадомцев.

Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Б. Кадомцевым (1928–1998) и Владимиром И. Петвиашвили (1936–1993); оно явилось естественным обобщением уравнения КдФ (полученного Кортевегом и Де Фризом в 1895 г.). Если в уравнении КдФ волны строго одномерные, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, как в уравнении КдФ, так и в уравнении КП волны должны распространяться в положительном Икс-направление.

Связь с физикой

Уравнение КП можно использовать для моделирования волны на воде долго длина волны со слабо нелинейными восстанавливающими силами и частотная дисперсия. Если поверхностное натяжение слаб по сравнению с гравитационные силы, ${displaystyle lambda = + 1}$ используется; если поверхностное натяжение сильное, то ${displaystyle lambda = -1}$ . Из-за асимметрии в пути Икс- и у-члены уравнения входят в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения (Икс-направление) и поперечное (у) направление; колебания в у-направления имеют тенденцию быть более плавными (с небольшими отклонениями).

Уравнение КП также можно использовать для моделирования волн в ферромагнитный средства массовой информации,^[7] а также двумерные импульсы материи-волны в Конденсаты Бозе – Эйнштейна.

Ограничивающее поведение

За ${displaystyle epsilon ll 1}$ , типичный Икс-зависимые колебания имеют длину волны ${displaystyle O (1 / эпсилон)}$ дающий особый предельный режим как ${displaystyle epsilon ightarrow 0}$ . Лимит ${displaystyle epsilon ightarrow 0}$ называется бездисперсионный предел.^[8]^[9]^[10]

Если мы также предположим, что решения не зависят от у в качестве ${displaystyle epsilon ightarrow 0}$ , то они также удовлетворяют невязкий Уравнение Бюргерса:

{displaystyle displaystyle partial _ {t} u + upartial _ {x} u = 0.}

Предположим, что амплитуда колебаний раствора асимптотически мала - ${displaystyle O (эпсилон)}$ - в бездисперсном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля Дэйви-Стюартсон тип.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Кадомцев, Б. Б .; Петвиашвили, В. И. (1970). «Об устойчивости уединенных волн в слабодисперсных средах». Сов. Phys. Докл. 15: 539–541. Bibcode:1970СПХД ... 15..539К.. Перевод "Об устойчивости волн в слабо диспергирующих средах". Доклады Академии Наук СССР. 192: 753–756.
Кодама, Ю. (2017). К.П. Солитоны и грассманианы: комбинаторика и геометрия двумерных волновых структур.. Springer. ISBN 978-981-10-4093-1.
Lou, S. Y .; Ху, X. Б. (1997). «Бесконечно много пар Лакса и ограничения симметрии уравнения КП». Журнал математической физики. 38 (12): 6401–6427. Дои:10.1063/1.532219.
Минзони, А. А .; Смит, Н. Ф. (1996). «Эволюция единичных решений уравнения КП». Волновое движение. 24 (3): 291–305. Дои:10.1016 / S0165-2125 (96) 00023-6.
Накамура, А. (1989). «Билинейная N-солитонная формула для уравнения КП». Журнал Физического общества Японии. 58 (2): 412–422. Дои:10.1143 / JPSJ.58.412.
Превиато, Эмма (2001) [1994], «Уравнение Кадомцева – Петвиашвили», Энциклопедия математики, EMS Press
Xiao, T .; Цзэн, Ю. (2004). «Обобщенные преобразования Дарбу для уравнения КП с самосогласованными источниками». Журнал физики A: математические и общие. 37 (28): 7143. arXiv:nlin / 0412070. Дои:10.1088/0305-4470/37/28/006.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Кадомцева – Петвиашвили». MathWorld.
Джиони Биондини и Дмитрий Пелиновский (ред.). «Уравнение Кадомцева – Петвиашвили». Scholarpedia.
Бернард Деконинк. "Страница КП". Вашингтонский университет, Кафедра прикладной математики. Архивировано из оригинал на 2006-02-06. Получено 2006-02-27.

[1] Вазваз, А. М. (2007). «Многосолитонные решения уравнения КП по билинейному методу Хироты и по методу tanh – coth». Прикладная математика и вычисления. 190 (1): 633–640. Дои:10.1016 / j.amc.2007.01.056.

[2] Cheng, Y .; Ли, Ю. С. (1991). «Связь уравнения Кадомцева-Петвиашвили и его специальные решения». Письма о физике A. 157 (1): 22–26. Дои:10.1016 / 0375-9601 (91) 90403-У.

[3] Ма, В. X. (2015). «Комковатые решения уравнения Кадомцева – Петвиашвили». Письма о физике A. 379 (36): 1975–1978. Дои:10.1016 / j.physleta.2015.06.061.

[4] Кодама, Ю. (2004). «Диаграммы Юнга и N-солитонные решения уравнения КП». Журнал физики A: математические и общие. 37 (46): 11169. arXiv:nlin / 0406033. Дои:10.1088/0305-4470/37/46/006.

[5] Deng, S. F .; Chen, D. Y .; Чжан, Д. Дж. (2003). «Многосолитонные решения уравнения КП с самосогласованными источниками». Журнал Физического общества Японии. 72 (9): 2184–2192. Дои:10.1143 / JPSJ.72.2184.

[6] Ablowitz, M. J .; Сегур, Х. (1981). Солитоны и обратное преобразование рассеяния. СИАМ.

[7] Леблон, Х. (2002). «Комки КП в ферромагнетиках: трехмерная модель КдФ – Бюргерса». Журнал физики A: математические и общие. 35 (47): 10149. Дои:10.1088/0305-4470/35/47/313.

[8] Захаров, В. Е. (1994). «Бездисперсный предел интегрируемых систем в 2 + 1 измерениях». Особые пределы дисперсионных волн. Бостон: Спрингер. С. 165–174. ISBN 0-306-44628-6.

[9] Страчан, И. А. (1995). «Скобка Мойала и бездисперсионный предел иерархии КП». Журнал физики A: математические и общие. 28 (7): 1967. arXiv:hep-th / 9410048. Дои:10.1088/0305-4470/28/7/018.

[10] Takasaki, K .; Такебе, Т. (1995). «Интегрируемые иерархии и бездисперсионный предел». Обзоры по математической физике. 7 (5): 743–808. arXiv:hep-th / 9405096. Дои:10.1142 / S0129055X9500030X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]