Бездисперсионное уравнение - Dispersionless equation

Бездисперсные (или квазиклассические) пределы интегрируемый уравнения в частных производных (PDE) возникают в различных задачах математики и физики и интенсивно изучаются в недавней литературе (см., Например, использованная литература ниже). Обычно они возникают при рассмотрении медленно модулированных длинных волн интегрируемой дисперсионной системы УЧП.

Примеры

Бездисперсионное уравнение КП

Бездисперсионный Уравнение Кадомцева – Петвиашвили. (dKPE), также известный (с точностью до несущественной линейной замены переменных) как Уравнение Хохлова – Заболоцкой., имеет вид

{ displaystyle (u_ {t} + uu_ {x}) _ {x} + u_ {yy} = 0, qquad (1)}

Это возникает из-за коммутации

{ Displaystyle [L_ {1}, L_ {2}] = 0. qquad (2)}

следующей пары однопараметрических семейств векторных полей

{ Displaystyle L_ {1} = partial _ {y} + lambda partial _ {x} -u_ {x} partial _ { lambda}, qquad (3a)}

{ Displaystyle L_ {2} = partial _ {t} + ( lambda ^ {2} + u) partial _ {x} + (- lambda u_ {x} + u_ {y}) partial _ { lambda}, qquad (3b)}

где ${ displaystyle lambda}$ - спектральный параметр. DKPE - это ${ displaystyle x}$ -бездисперсный предел прославленного Уравнение Кадомцева – Петвиашвили., возникающие при рассмотрении длинных волн этой системы. DKPE, как и многие другие (2 + 1) -мерные интегрируемые бездисперсионные системы, допускает (3 + 1) -мерное обобщение, см.^[1]

Уравнения моментов Бенни

Бездисперсионная система КП тесно связана с Бенни иерархия моментов, каждая из которых представляет собой бездисперсионную интегрируемую систему:

{ displaystyle A_ {t_ {2}} ^ {n} + A_ {x} ^ {n + 1} + nA ^ {n-1} A_ {x} ^ {0} = 0.}

Они возникают как условие согласованности между

{ displaystyle lambda = p + sum _ {n = 0} ^ { infty} A ^ {n} / p ^ {n + 1},}

и самые простые две эволюции в иерархии:

{ displaystyle p_ {t_ {2}} + pp_ {x} + A_ {x} ^ {0} = 0,}

{ displaystyle p_ {t_ {3}} + p ^ {2} p_ {x} + (pA ^ {0} + A ^ {1}) _ {x} = 0,}

DKP восстанавливается при установке

{ displaystyle u = A ^ {0},}

и исключив остальные моменты, а также выявив ${ displaystyle y = t_ {2}}$ и ${ displaystyle t = t_ {3}}$ .

Если установить ${ displaystyle A ^ {n} = hv ^ {n}}$ , так что счетное количество моментов ${ Displaystyle А ^ {п}}$ выражаются через две функции, классические уравнения мелкой воды результат:

{ displaystyle h_ {y} + (hv) _ {x} = 0,}

{ displaystyle v_ {y} + vv_ {x} + h_ {x} = 0.}

Они также могут быть получены из рассмотрения медленно модулированных волновых серий решений нелинейное уравнение Шредингера. Такие «редукции», выражающие моменты через конечное число зависимых переменных, описываются Уравнение Гиббонса-Царева.

Бездисперсионное уравнение Кортевега – де Фриза.

Бездисперсионный Уравнение Кортевега – де Фриза (dKdVE) читается как

{ displaystyle u_ {t_ {3}} = uu_ {x}. qquad (4)}

Это бездисперсионный или квазиклассический предел Уравнение Кортевега – де Фриза.Это удовлетворяет ${ displaystyle t_ {2}}$ -независимые решения системы dKP. ${ displaystyle t_ {3}}$ -поток иерархии Бенни при установке

{ displaystyle lambda ^ {2} = p ^ {2} + 2A ^ {0}.}

Бездисперсное уравнение Новикова – Веселова.

Бездисперсионный Уравнение Новикова-Веселова чаще всего записывается как следующее уравнение для функции с действительными значениями ${ Displaystyle v = v (x_ {1}, x_ {2}, t)}$ :

{ displaystyle { begin {align} & partial _ {t} v = partial _ {z} (vw) + partial _ { bar {z}} (v { bar {w}}), & partial _ { bar {z}} w = -3 partial _ {z} v, end {align}}}

где используются следующие стандартные обозначения комплексного анализа: ${ displaystyle partial _ {z} = { frac {1} {2}} ( partial _ {x_ {1}} - я partial _ {x_ {2}})}$ , ${ displaystyle partial _ { bar {z}} = { frac {1} {2}} ( partial _ {x_ {1}} + i partial _ {x_ {2}})}$ . Функция ${ displaystyle w}$ вот вспомогательная функция, однозначно определяемая из ${ displaystyle v}$ с точностью до голоморфного слагаемого.

Многомерные интегрируемые бездисперсионные системы

Увидеть ^[1] для систем с контактными парами Лакса, например,^[2]^[3] и ссылки там для других систем.

Смотрите также

использованная литература

^ ^а ^б Сергеева, А. (2018). «Новые интегрируемые ($$ 3 + 1 $$ 3 + 1) -мерные системы и контактная геометрия». Письма по математической физике. 108 (2): 359–376. arXiv:1401.2122. Дои:10.1007 / s11005-017-1013-4. S2CID 119159629.
^ Колдербанк, Дэвид М. Дж .; Кругликов, Борис (2016). «Интегрируемость через геометрию: бездисперсионные дифференциальные уравнения в трех и четырех измерениях». arXiv:1612.02753. Цитировать журнал требует | журнал = (Помогите)
^ Кругликов, Борис; Морозов, Олег (2015). «Интегрируемые бездисперсионные уравнения в частных производных в четырехмерном пространстве, их псевдогруппы симметрии и деформации». Письма по математической физике. 105 (12): 1703–1723. arXiv:1410.7104. Bibcode:2015ЛМАФ.105.1703К. Дои:10.1007 / s11005-015-0800-z. S2CID 119326497.

Кодама Ю., Гиббонс Дж. "Интегрируемость бездисперсионной иерархии КП", Нелинейный мир 1, (1990).
Захаров В.Е. "Бездисперсионный предел интегрируемых систем в 2 + 1 измерениях", Singular Limits of Dispersive Waves, NATO ASI series, Volume 320, 165-174, (1994).
Такасаки, Канехиса; Такебе, Такаши (1995). «Интегрируемые иерархии и бездисперсионный предел». Обзоры по математической физике. 07 (5): 743–808. arXiv:hep-th / 9405096. Bibcode:1995RvMaP ... 7..743T. Дои:10.1142 / S0129055X9500030X. S2CID 17351327.
Конопельченко, Б.Г. (2007). «Квазиклассическое обобщенное представление Вейерштрасса и бездисперсионное уравнение ДС». Журнал физики A: математический и теоретический. 40 (46): F995 – F1004. arXiv:0709.4148. Дои:10.1088 / 1751-8113 / 40/46 / F03. S2CID 18451590.
Конопельченко, Б.Г .; Моро, А. (2004). «Интегрируемые уравнения в нелинейной геометрической оптике». Исследования по прикладной математике. 113 (4): 325–352. arXiv:nlin / 0403051. Bibcode:2004nlin ...... 3051K. Дои:10.1111 / j.0022-2526.2004.01536.x. S2CID 17611812.
Дунайский, Мацей (2008). «Интерполирующая бездисперсионная интегрируемая система». Журнал физики A: математический и теоретический. 41 (31): 315202. arXiv:0804.1234. Bibcode:2008JPhA ... 41E5202D. Дои:10.1088/1751-8113/41/31/315202. S2CID 15695718.
Дунайски М. «Солитоны, инстантоны и твисторы», Oxford University Press, 2010.
Сергеева, А. (2018). «Новые интегрируемые (3 + 1) -мерные системы и контактная геометрия». Письма по математической физике. 108 (2): 359–376. arXiv:1401.2122. Bibcode:2018LMaPh.108..359S. Дои:10.1007 / s11005-017-1013-4. S2CID 119159629.
Такебе Т. "Лекции по бездисперсионным интегрируемым иерархиям", 2014,

https://rikkyo.repo.nii.ac.jp/index.php?action=pages_view_main&active_action=repository_action_common_download&item_id=9046&item_no=1&attribute_id=22&file_no=1&page_id=13&block_id=49

внешние ссылки

Ишимори_система в вики по дисперсионным уравнениям

[AS-1] а ^б Сергеева, А. (2018). «Новые интегрируемые ($$ 3 + 1 $$ 3 + 1) -мерные системы и контактная геометрия». Письма по математической физике. 108 (2): 359–376. arXiv:1401.2122. Дои:10.1007 / s11005-017-1013-4. S2CID 119159629.

[2] Колдербанк, Дэвид М. Дж .; Кругликов, Борис (2016). «Интегрируемость через геометрию: бездисперсионные дифференциальные уравнения в трех и четырех измерениях». arXiv:1612.02753. Цитировать журнал требует | журнал = (Помогите)

[3] Кругликов, Борис; Морозов, Олег (2015). «Интегрируемые бездисперсионные уравнения в частных производных в четырехмерном пространстве, их псевдогруппы симметрии и деформации». Письма по математической физике. 105 (12): 1703–1723. arXiv:1410.7104. Bibcode:2015ЛМАФ.105.1703К. Дои:10.1007 / s11005-015-0800-z. S2CID 119326497.

[1]

[2]

[3]