Неравенство Громова для комплексного проективного пространства - Википедия - Gromovs inequality for complex projective space

В Риманова геометрия, Громов оптимальная конюшня 2-систолический неравенство - это неравенство

${ displaystyle mathrm {stsys} _ {2} {} ^ {n} leq n! ; mathrm {vol} _ {2n} ( mathbb {CP} ^ {n})}$,

справедливо для произвольной римановой метрики на сложное проективное пространство, где оптимальная оценка достигается симметричным Метрика Фубини – Этюд, обеспечивая естественную геометризацию квантовая механика. Здесь ${ displaystyle operatorname {stsys_ {2}}}$ является стабильной 2-систолой, которую в данном случае можно определить как нижнюю грань площадей рациональных 2-циклов, представляющих класс комплексной проективной прямой ${ Displaystyle mathbb {CP} ^ {1} subset mathbb {CP} ^ {n}}$ в 2-мерных гомологиях.

Неравенство впервые появилось в Громов (1981) как теорема 4.36.

Доказательство неравенства Громова опирается на Неравенство Виртингера для внешних 2-форм.

Проективные плоскости над алгебрами с делением ${ Displaystyle mathbb {R, C, H}}$

В частном случае n = 2 неравенство Громова принимает вид ${ Displaystyle mathrm {stsys} _ {2} {} ^ {2} leq 2 mathrm {vol} _ {4} ( mathbb {CP} ^ {2})}$. Это неравенство можно рассматривать как аналог Неравенство Пу для вещественной проективной плоскости ${ displaystyle mathbb {RP} ^ {2}}$. В обоих случаях граничный случай равенства достигается симметричной метрикой проективной плоскости. Между тем, в кватернионном случае симметричная метрика на ${ displaystyle mathbb {HP} ^ {2}}$ не является его систолически оптимальной метрикой. Другими словами, многообразие ${ displaystyle mathbb {HP} ^ {2}}$ допускает римановы показатели с более высоким систолическим соотношением ${ displaystyle mathrm {stsys} _ {4} {} ^ {2} / mathrm {vol} _ {8}}$ чем для его симметричной метрики (Bangert et al. 2009 г. ).

Смотрите также

• Неравенство тора Лёвнера
• Неравенство Пу
• Неравенство Громова (значения)
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий
• Систолическая геометрия

Рекомендации

• Бангерт, Виктор; Кац, Михаил Г .; Шнидер, Стив; Вайнбергер, Шмуэль (2009). "E₇, Неравенства Виртингера, 4-форма Кэли и гомотопия ». Математический журнал герцога. 146 (1): 35–70. arXiv:math.DG / 0608006. Дои:10.1215/00127094-2008-061. МИСТЕР  2475399.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Громов, Михаил (1981). Ж. Лафонтен; П. Пансу. (ред.). Structures métriques pour les Varétés riemanniennes [Метрические структуры для римановых многообразий]. Textes Mathématiques (на французском языке). 1. Париж: CEDIC. ISBN  2-7124-0714-8. МИСТЕР  0682063.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Кац, Михаил Г. (2007). Систолическая геометрия и топология. Математические обзоры и монографии. 137. С приложением Джейка П. Соломона. Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество. п. 19. Дои:10.1090 / Surv / 137. ISBN  978-0-8218-4177-8. МИСТЕР  2292367.