Квантовый хаос - Quantum chaos

Часть серии на
Квантовая механика
${ displaystyle i hbar { frac { partial} { partial t}} | psi (t) rangle = { hat {H}} | psi (t) rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  (отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Candlin Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика

Квантовый хаос - это область физики, пытающаяся преодолеть теории квантовая механика и классическая механика. На рисунке показаны основные идеи, развивающиеся в каждом направлении.

Квантовый хаос это филиал физика который изучает как хаотичный классический динамические системы можно описать в терминах квантовой теории. Основной вопрос, на который пытается ответить квантовый хаос: «Какова связь между квантовой механикой и классический хаос ? " принцип соответствия утверждает, что классическая механика - это классический предел квантовой механики, в частности, в пределе как отношение Постоянная Планка к действие системы стремится к нулю. Если это правда, то должны быть квантовые механизмы, лежащие в основе классического хаоса (хотя это может быть неэффективным способом изучения классического хаоса). Если квантовая механика не демонстрирует экспоненциальную чувствительность к начальным условиям, как может экспоненциальная чувствительность к начальным условиям возникнуть в классическом хаосе, который должен быть пределом принципа соответствия квантовой механики?^[1][2]

В поисках решения основного вопроса о квантовом хаосе было использовано несколько подходов:

1. Разработка методов решения квантовых задач, в которых возмущение нельзя считать малым в теория возмущений и где квантовые числа велики.
2. Сопоставление статистических описаний собственных значений (уровней энергии) с классическим поведением того же Гамильтониан (система).
3. Полуклассические методы такие как теория периодических орбит, связывающая классические траектории динамической системы с квантовыми свойствами.
4. Прямое применение принципа соответствия.

История

Экспериментальные спектры повторяемости лития в электрическом поле, показывающие рождение квантовых повторений, соответствующих бифуркации классических орбит.^[3]

В первой половине двадцатого века в механике было признано хаотическое поведение (как и в проблема трех тел в небесная механика ), но не совсем понятный. В этот период были заложены основы современной квантовой механики, по сути оставив в стороне вопрос о квантово-классическом соответствии в системах, классический предел которых демонстрирует хаос.

Подходы

Сравнение экспериментальных и теоретических спектров повторяемости лития в электрическом поле при приведенной энергии ${ displaystyle epsilon = -3,0}$.^[4]

Вопросы, связанные с принципом соответствия, возникают во многих областях физики, начиная от ядерный к атомный, молекулярный и физика твердого тела и даже акустика, микроволны и оптика. Важные наблюдения, часто связанные с классическими хаотическими квантовыми системами, являются спектральными. уровень отталкивания, динамическая локализация во временной эволюции (например, скорости ионизации атомов) и повышенная интенсивность стационарных волн в областях пространства, где классическая динамика демонстрирует только нестабильные траектории (как в рассеяние ).

В полуклассическом подходе квантового хаоса явления идентифицируются в спектроскопия анализируя статистическое распределение спектральных линий и связывая спектральные периодичности с классическими орбитами. Другие явления обнаруживаются в эволюция во времени квантовой системы или в ее реакции на различные типы внешних сил. В некоторых контекстах, таких как акустика или микроволны, волновые структуры наблюдаются напрямую и демонстрируют нерегулярные амплитуда раздачи.

Квантовый хаос обычно имеет дело с системами, свойства которых необходимо вычислить с использованием численных методов или схем аппроксимации (см., Например, Серия Дайсон ). Простые и точные решения исключаются из-за того, что компоненты системы либо влияют друг на друга сложным образом, либо зависят от меняющихся во времени внешних сил.

Квантовая механика в непертурбативных режимах

Вычисленное регулярное (не хаотическое) Атом Ридберга Спектры энергетических уровней водорода в электрическом поле вблизи n = 15. Обратите внимание, что уровни энергии могут пересекаться из-за симметрии динамического движения.^[4]

Вычисленный хаотичный Атом Ридберга Спектры энергетических уровней лития в электрическом поле вблизи n = 15. Обратите внимание, что уровни энергии не могут пересекаться из-за того, что ионный остов (и возникающий в результате квантовый дефект) нарушает симметрию динамического движения.^[4]

Для консервативных систем цель квантовой механики в непертурбативных режимах - найти собственные значения и собственные векторы гамильтониана вида

${ Displaystyle H = H_ {s} + varepsilon H_ {ns}, ,}$

куда ${ displaystyle H_ {s}}$ отделима в некоторой системе координат, ${ displaystyle H_ {ns}}$ неотделима в системе координат, в которой ${ displaystyle H_ {s}}$ отделен, и ${ displaystyle epsilon}$ - параметр, который нельзя считать малым. Исторически физики подходили к проблемам такого рода, пытаясь найти систему координат, в которой неразделимый гамильтониан является наименьшим, а затем рассматривая неразрывный гамильтониан как возмущение.

Нахождение констант движения, позволяющих выполнить это разделение, может быть сложной (иногда невозможной) аналитической задачей. Решение классической проблемы может дать ценное понимание решения квантовой проблемы. Если существуют регулярные классические решения одного и того же гамильтониана, то существуют (по крайней мере) приблизительные постоянные движения, и, решая классическую задачу, мы получаем подсказки, как их найти.

В последние годы были разработаны и другие подходы. Один состоит в том, чтобы выразить гамильтониан в различных системах координат в разных областях пространства, минимизируя неотделимую часть гамильтониана в каждой области. В этих областях получаются волновые функции, а собственные значения получаются путем согласования граничных условий.

Другой подход - численная диагонализация матрицы. Если матрица гамильтониана вычисляется в любом полном базисе, собственные значения и собственные векторы получаются путем диагонализации матрицы. Однако все полные базисные наборы бесконечны, и нам нужно усечь базис, чтобы получить точные результаты. Эти методы сводятся к выбору усеченного базиса, на основе которого могут быть построены точные волновые функции. Вычислительное время, необходимое для диагонализации матрицы, масштабируется как ${ displaystyle N ^ {3}}$, куда ${ displaystyle N}$ - размер матрицы, поэтому важно выбрать наименьший возможный базис, на основе которого могут быть построены соответствующие волновые функции. Также удобно выбрать базис, в котором матрица является разреженной и / или матричные элементы задаются простыми алгебраическими выражениями, поскольку вычисление матричных элементов также может быть вычислительной нагрузкой.

Данный гамильтониан имеет одни и те же постоянные движения как для классической, так и для квантовой динамики. Квантовые системы также могут иметь дополнительные квантовые числа, соответствующие дискретным симметриям (таким как сохранение четности из симметрии отражения). Однако, если мы просто находим квантовые решения гамильтониана, недоступного для теории возмущений, мы можем многое узнать о квантовых решениях, но мало узнали о квантовом хаосе. Тем не менее изучение того, как решать такие квантовые проблемы, является важной частью ответа на вопрос о квантовом хаосе.

Корреляция статистических описаний квантовой механики с классическим поведением

Распределение ближайшего соседа для Атом Ридберга спектры энергетических уровней в электрическом поле в виде квантового дефекта увеличиваются с 0,04 (а) до 0,32 (з). Система становится более хаотичной, поскольку динамические симметрии нарушаются из-за увеличения квантового дефекта; следовательно, распределение эволюционирует от почти пуассоновского (а) к распределению Предположение Вигнера (час).

Статистические меры квантового хаоса родились из желания количественно оценить спектральные характеристики сложных систем. Случайная матрица теория была разработана в попытке охарактеризовать спектры сложных ядер. Замечательный результат состоит в том, что статистические свойства многих систем с неизвестными гамильтонианами могут быть предсказаны с использованием случайных матриц класса проперсимметрии. Кроме того, теория случайных матриц также правильно предсказывает статистические свойства собственных значений многих хаотических систем с известными гамильтонианами. Это делает его полезным в качестве инструмента для характеристики спектров, для вычисления которых требуются большие численные усилия.

Для простой количественной оценки спектральных характеристик доступен ряд статистических показателей. Очень интересно, существует ли универсальное статистическое поведение классически хаотических систем. Упомянутые здесь статистические тесты универсальны, по крайней мере, для систем с несколькими степенями свободы (ягода и Табор^[5] выдвинули веские аргументы в пользу распределения Пуассона в случае регулярного движения, а Heusler et al.^[6] представить полуклассическое объяснение так называемой гипотезы Бохигаса – Джаннони – Шмита, утверждающей универсальность спектральных флуктуаций в хаотической динамике). Распределение ближайших соседей (NND) уровней энергии относительно просто интерпретировать, и оно широко используется для описания квантового хаоса.

Качественные наблюдения отталкивания уровней могут быть количественно определены и связаны с классической динамикой с использованием NND, который считается важным признаком классической динамики в квантовых системах. Считается, что регулярная классическая динамика проявляется распределение Пуассона уровней энергии:

${ Displaystyle P (s) = е ^ {- s}. }$

Кроме того, ожидается, что системы, демонстрирующие хаотическое классическое движение, будут характеризоваться статистикой ансамблей случайных матричных собственных значений. Было показано, что для систем, инвариантных относительно обращения времени, статистика уровней энергии ряда хаотических систем хорошо согласуется с предсказаниями гауссовского ортогонального ансамбля (GOE) случайных матриц, и было высказано предположение, что это явление является общий для всех хаотических систем с этой симметрией. Если нормализованное расстояние между двумя уровнями энергии равно ${ displaystyle s}$, нормированное распределение расстояний хорошо аппроксимируется формулой

${ displaystyle P (s) = { frac { pi} {2}} se ^ {- pi s ^ {2} / 4}.}$

Было обнаружено, что многие гамильтоновы системы, которые являются классически интегрируемыми (не хаотическими), имеют квантовые решения, которые дают распределения ближайших соседей, которые следуют распределениям Пуассона. Точно так же многие системы, демонстрирующие классический хаос, были обнаружены с квантовыми решениями, дающими Распределение Вигнера-Дайсона, таким образом поддерживая вышеизложенные идеи. Заметным исключением является диамагнитный литий, который, хотя и демонстрирует классический хаос, демонстрирует вигнеровскую (хаотическую) статистику для уровней энергии с четной четностью и почти пуассоновскую (регулярную) статистику для распределения уровней энергии с нечетной четностью.^[7]

Полуклассические методы

Теория периодической орбиты

Спектр повторения четности (преобразование Фурье из плотность состояний ) диамагнитного водорода с пиками, соответствующими периодическим орбитам классической системы. Спектр имеет масштабированную энергию -0,6. Пики, обозначенные R и V, являются повторением замкнутой орбиты, перпендикулярной и параллельной полю, соответственно. Пики, обозначенные буквой O, соответствуют почти круговой периодической орбите, которая вращается вокруг ядра.

Относительные амплитуды повторяемости четных и нечетных повторений ближней круговой орбиты. Ромбы и знаки плюс обозначают нечетные и четные периоды соответственно. Сплошная линия - A / ch (nX / 8). Пунктирная линия - A / sinh (nX / 8), где A = 14,75 и X = 1,18.

Теория периодических орбит дает рецепт для вычисления спектров по периодическим орбитам системы. В отличие от Метод Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера. квантования действия, которое применяется только к интегрируемым или почти интегрируемым системам и вычисляет индивидуальные собственные значения для каждой траектории, теория периодической орбиты применима как к интегрируемым, так и к неинтегрируемым системам и утверждает, что каждая периодическая орбита производит синусоидальную флуктуацию плотности состояния.

Главный результат этого развития - выражение для плотности состояний, которая является следом полуклассической функции Грина и дается формулой следа Гутцвиллера:

${ displaystyle g_ {c} (E) = sum _ {k} T_ {k} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 sinh {( chi _ { nk} / 2)}}} , e ^ {i (nS_ {k} - alpha _ {nk} pi / 2)}.}.}$

Недавно было обобщение этой формулы для произвольных матричных гамильтонианов, которое включает Ягодная фаза -подобный термин, происходящий от вращения или других внутренних степеней свободы.^[8] Индекс ${ displaystyle k}$ отличает примитивный периодические орбиты: орбиты с наименьшим периодом для данного набора начальных условий. ${ displaystyle T_ {k}}$ - период примитивной периодической орбиты и ${ displaystyle S_ {k}}$ это его классическое действие. Каждая примитивная орбита повторяется, приводя к новой орбите с действием. ${ displaystyle nS_ {k}}$ и период, являющийся целым кратным ${ displaystyle n}$ первобытного периода. Следовательно, каждое повторение периодической орбиты является другой периодической орбитой. Эти повторы отдельно классифицируются промежуточной суммой по показателям ${ displaystyle n}$. ${ displaystyle alpha _ {nk}}$ орбита Индекс Маслова.Амплитудный коэффициент, ${ Displaystyle 1 / зп {( чи _ {нк} / 2)}}$, представляет собой квадратный корень из плотности соседних орбит. Соседние траектории неустойчивой периодической орбиты экспоненциально расходятся во времени от периодической орбиты. Количество ${ displaystyle chi _ {nk}}$ характеризует нестабильность орбиты. Стабильная орбита движется по тор в фазовом пространстве, а соседние траектории наматываются вокруг него. Для стабильных орбит ${ Displaystyle зп {( чи _ {нк} / 2)}}$ становится ${ Displaystyle грех {( ​​чи _ {nk} / 2)}}$, куда ${ displaystyle chi _ {nk}}$ - номер витка периодической орбиты. ${ Displaystyle чи _ {нк} = 2 пи м}$, куда ${ displaystyle m}$ - количество раз, когда соседние орбиты пересекают периодическую орбиту за один период. Это представляет трудность, потому что ${ Displaystyle грех {( ​​чи _ {nk} / 2)} = 0}$ на классическом бифуркация. Это приводит к тому, что вклад этой орбиты в плотность энергии расходится. Это также происходит в контексте фото-спектр поглощения.

Использование формулы следа для вычисления спектра требует суммирования по всем периодическим орбитам системы. Это создает несколько трудностей для хаотических систем: 1) Число периодических орбит увеличивается экспоненциально в зависимости от действия. 2) Существует бесконечное число периодических орбит, и свойства сходимости теории периодических орбит неизвестны. Эта трудность также присутствует при применении теории периодических орбит к регулярным системам. 3) Длиннопериодические орбиты трудно вычислить, поскольку большинство траекторий нестабильны и чувствительны к ошибкам округления и деталям численного интегрирования.

Гуцвиллер применил формулу следа, чтобы приблизиться к анизотропный Кеплер проблема (отдельная частица в ${ displaystyle 1 / r}$ потенциал с анизотропной массой тензор ) полуклассически. Он обнаружил согласие с квантовыми вычислениями для низколежащих (до ${ displaystyle n = 6}$) состояний для малых анизотропий с использованием только небольшого набора легко вычисляемых периодических орбит, но согласие было плохим для больших анизотропий.

На рисунках выше используется перевернутый подход к проверке теории периодических орбит. Формула следа утверждает, что каждая периодическая орбита вносит синусоидальный член в спектр. Вместо того, чтобы решать вычислительные трудности, связанные с долгопериодическими орбитами, чтобы попытаться найти плотность состояний (уровни энергии), можно использовать стандартную квантово-механическую теорию возмущений для вычисления собственных значений (уровней энергии) и использовать преобразование Фурье для поиска периодических модуляции спектра, которые являются сигнатурой периодических орбит. Тогда интерпретация спектра сводится к нахождению орбит, соответствующих пикам в преобразовании Фурье.

Грубый набросок того, как прийти к формуле следа Гуцвиллера

1. Начнем с полуклассического приближения зависящей от времени функции Грина (пропагатор Ван Флека).
2. Поймите, что для каустик описание расходится, и используйте понимание Маслова (приближенное преобразование Фурье в импульсное пространство (приближение стационарной фазы с малым параметром ha), чтобы избежать таких точек, а затем преобразование обратно в пространство позиций, может исправить такое расхождение, однако дает фазу фактор).
3. Преобразуйте функцию Грина в пространство энергии, чтобы получить функцию Грина, зависящую от энергии (снова аппроксимируйте преобразование Фурье, используя приближение стационарной фазы). Могут появиться новые расхождения, которые необходимо устранить тем же методом, что и на шаге 3.
4. Использовать ${ displaystyle d (E) = - { frac {1} { pi}} Im ( operatorname {Tr} (G (x, x ^ { prime}, E))}$ (отслеживая позиции) и вычислите его снова в приближении стационарной фазы, чтобы получить приближение для плотности состояний ${ displaystyle d (E)}$.

Примечание. Трассировка показывает, что вклад вносят только замкнутые орбиты, приближение стационарной фазы дает вам ограничительные условия каждый раз, когда вы это делаете. На шаге 4 он ограничивает вас орбитами, где начальный и конечный импульс одинаковы, то есть периодическими орбитами. Часто бывает полезно выбрать систему координат, параллельную направлению движения, как это делается во многих книгах.

Теория замкнутой орбиты

Экспериментальный спектр повторяемости (кружки) сравнивается с результатами теории замкнутой орбиты Джона Делоса и Цзин Гао для лития. Ридберговские атомы в электрическом поле. Пики, обозначенные 1–5, представляют собой повторение орбиты электрона, параллельной полю, идущей от ядра к классической точке поворота в восходящем направлении.

Теорию замкнутой орбиты разработали Дж.Б. Делос, М.Л. Ду, Дж. Гао и Дж. Шоу. Она похожа на теорию периодической орбиты, за исключением того, что теория замкнутой орбиты применима только к атомным и молекулярным спектрам и дает плотность силы осциллятора (наблюдаемый спектр фото-поглощения) из заданного начального состояния, тогда как теория периодической орбиты дает плотность состояний .

В теории замкнутой орбиты важны только орбиты, которые начинаются и заканчиваются в ядре. Физически они связаны с выходящими волнами, которые генерируются, когда сильно связанный электрон переводится в высоколежащее состояние. За Ридберговские атомы и молекулы, каждая орбита, которая замыкается у ядра, также является периодической орбитой, период которой равен либо времени закрытия, либо удвоенному времени закрытия.

Согласно теории замкнутой орбиты, средняя плотность силы осциллятора при постоянном ${ displaystyle epsilon}$ задается гладким фоном и колебательной суммой вида

${ displaystyle f (w) = sum _ {k} sum _ {n = 1} ^ { infty} D _ { it {nk}} ^ {i} sin (2 pi nw { tilde { S_ {k}}} - phi _ { it {nk}}).}$

${ displaystyle phi _ { it {nk}}}$ - это фаза, которая зависит от индекса Маслова и других деталей орбит. ${ displaystyle D _ { it {nk}} ^ {i}}$ - амплитуда повторения замкнутой орбиты для данного начального состояния (помечена ${ displaystyle i}$). Он содержит информацию об устойчивости орбиты, ее начальном и конечном направлениях, а также о матричном элементе дипольного оператора между начальным состоянием и кулоновской волной нулевой энергии. Для систем масштабирования, таких как Ридберговские атомы в сильных полях преобразование Фурье спектра силы осциллятора, вычисленного при фиксированной ${ displaystyle epsilon}$ как функция ${ displaystyle w}$ называется спектром повторения, потому что он дает пики, которые соответствуют масштабному действию замкнутых орбит и чьи высоты соответствуют ${ displaystyle D _ { it {nk}} ^ {i}}$.

Теория замкнутой орбиты нашла широкое согласие с рядом хаотических систем, включая диамагнитный водород, водород в параллельных электрическом и магнитном полях, диамагнитный литий, литий в электрическом поле, ${ displaystyle H ^ {-}}$ ион в скрещенных и параллельных электрическом и магнитном полях, барий в электрическом поле и гелий в электрическом поле.

Одномерные системы и потенциал

Для случая одномерной системы с граничным условием ${ Displaystyle у (0) = 0}$ плотность состояний, полученная по формуле Гутцвиллера, связана с обратной величиной потенциала классической системы соотношением ${ displaystyle { frac {d ^ {1/2}} {dx ^ {1/2}}} V ^ {- 1} (x) = 2 { sqrt { pi}} { frac {dN ( x)} {dx}}}$ Вот ${ displaystyle { frac {dN (x)} {dx}}}$ - плотность состояний, а V (x) - классический потенциал частицы, половинная производная обратного потенциала связан с плотностью состояний, как в Потенциал Ву-Спрунга.

Последние направления

Остается открытым вопрос о понимании квантового хаоса в системах с конечномерными локальными Гильбертовы пространства для которых не применяются стандартные полуклассические ограничения. Недавние работы позволили аналитически изучить такие квантовые системы многих тел ^[9][10].

Традиционные темы квантового хаоса касаются спектральной статистики (универсальные и неуниверсальные свойства) и исследования собственных функций (Квантовая эргодичность, шрамы ) различных хаотических гамильтонианов ${ Displaystyle Н (х, р; R)}$.

Дальнейшие исследования касаются параметрических (${ displaystyle R}$) зависимость гамильтониана, что отражено, например, в статистика избегаемых пересечений и связанное с ними перемешивание, отраженное в (параметрической) локальной плотности состояний (LDOS).Существует обширная литература по динамике волновых пакетов, включая изучение флуктуаций, повторяемости, вопросов квантовой необратимости и т. Д. Особое место отведено изучению динамики квантованных отображений: стандартная карта и отбитый ротатор считаются проблемами прототипа.

Работы также сосредоточены на изучении управляемых хаотических систем,^[11] где гамильтониан ${ Displaystyle Н (х, р; R (т))}$ зависит от времени, в частности, в адиабатическом и линейном режимах отклика. Также значительные усилия сосредоточены на формулировании идей квантового хаоса для сильно взаимодействующих многотельный квантовые системы, далекие от полуклассических режимов.

Гипотеза Берри – Табора

В 1977 г. ягода и Табор сделал все еще открытую "общую" математическую гипотезу, которая, грубо сформулированная, такова: в "общем" случае квантовой динамики геодезического потока на компактной римановой поверхности собственные значения квантовой энергии ведут себя как последовательность независимых случайных величин при условии, что лежащая в основе классическая динамика полностью интегрируемый.^[12][13][14]

Смотрите также

• Шрам (физика)

Рекомендации

Дополнительные ресурсы

• Мартин К. Гуцвиллер (1971). «Периодические орбиты и классические условия квантования». Журнал математической физики. 12 (3): 343. Bibcode:1971JMP .... 12..343G. Дои:10.1063/1.1665596.
• Мартин К. Гуцвиллер, Хаос в классической и квантовой механике, (1990) Springer-Verlag, Нью-Йорк ISBN  0-387-97173-4.
• Ханс-Юрген Штёкманн, Квантовый хаос: введение, (1999) Издательство Кембриджского университета ISBN  0-521-59284-4.
• Юджин Поль Вигнер; Дирак, П.А. (1951). «О статистическом распределении ширин и расстояний ядерных резонансных уровней». Математические труды Кембриджского философского общества. 47 (4): 790. Bibcode:1951PCPS ... 47..790 Вт. Дои:10.1017 / S0305004100027237.
• Фриц Хааке, Квантовые сигнатуры хаоса 2-е изд., (2001) Springer-Verlag, New York ISBN  3-540-67723-2.
• Карл-Фредрик Берггрен и Свен Аберг, "Труды Нобелевского симпозиума 116 квантового хаоса 2000 года" (2001 г.) ISBN  978-981-02-4711-9
• Л. Э. Райхль, "Переход к хаосу: в консервативных классических системах: квантовые проявления", Springer (2004), ISBN  978-0387987880

внешняя ссылка

• Квантовый хаос к Мартин Гуцвиллер (1992 и 2008 гг., Scientific American)
• Квантовый хаос Мартин Гуцвиллер Scholarpedia 2(12):3146. DOI: 10.4249 / scholarpedia.3146
• Категория: Академия Квантового Хаоса
• Что такое ... квантовый хаос к Зеев Рудник (Январь 2008 г., Уведомления Американского математического общества )
• Брайан Хейс, «Спектр римания»; Американский ученый Том 91, номер 4, июль – август 2003 г., стр. 296–300. Обсуждает отношение к Дзета-функция Римана.
• Собственные функции в хаотических квантовых системах пользователя Arnd Bäcker.
• ChaosBook.org