Генератор Ван дер Поля - Van der Pol oscillator

Фазовый портрет ненагруженного осциллятора Ван дер Поля, показывающего предельный цикл и поле направления

Эволюция предельного цикла на фазовой плоскости. Предельный цикл начинается с круга и, с изменением μ, становятся все более резкими. Пример Осциллятор релаксации.

В динамика, то Генератор Ван дер Поля это неконсервативный осциллятор с нелинейный демпфирование. Он развивается во времени по второму порядку. дифференциальное уравнение:

${ displaystyle {d ^ {2} x over dt ^ {2}} - mu (1-x ^ {2}) {dx over dt} + x = 0,}$

куда Икс это позиция координировать —Которая функция времени т, и μ это скаляр параметр, указывающий на нелинейность и силу демпфирования.

История

Генератор Ван дер Поля был первоначально предложен голландцами. инженер-электрик и физик Бальтазар ван дер Поль пока он работал на Philips.^[1] Ван дер Поль обнаружил устойчивые колебания,^[2] который он впоследствии назвал релаксационные колебания^[3] и теперь известны как тип предельный цикл в электрические схемы использование вакуумные трубки. Когда эти цепи были проложены рядом с предельный цикл, они становятся увлеченный, т.е. вождение сигнал тянет за собой ток. Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили в сентябрьском номере журнала 1927 г. Природа^[4] что на определенном драйве частоты нерегулярный шум был услышан, что позже было установлено, что детерминированный хаос.^[5]

Уравнение Ван дер Поля уже давно используется как в физический и биологический науки. Например, в биологии Фитцхью^[6] и Нагумо^[7] расширил уравнение в плоское поле как модель за потенциалы действия из нейроны. Уравнение также использовалось в сейсмология смоделировать две пластины в геологический разлом,^[8] и в исследованиях звучание моделировать правую и левую голосовая связка генераторы.^[9]

Двумерная форма

Теорема Льенара может использоваться для доказательства того, что система имеет предельный цикл. Применение преобразования Льенара ${ displaystyle y = x-x ^ {3} / 3 - { dot {x}} / mu}$, где точка указывает производную по времени, осциллятор Ван дер Поля можно записать в его двумерной форме:^[10]

${ displaystyle { dot {x}} = mu left (x - { tfrac {1} {3}} x ^ {3} -y right)}$

${ displaystyle { dot {y}} = { frac {1} { mu}} x}$.

Еще одна часто используемая форма, основанная на преобразовании ${ displaystyle y = { dot {x}}}$ приводит к:

${ displaystyle { dot {x}} = y}$

${ displaystyle { dot {y}} = mu (1-x ^ {2}) y-x}$.

Результаты для невынужденного осциллятора

Релаксационные колебания в генераторе Ван дер Поля без внешнего воздействия. Параметр нелинейного затухания равен μ = 5.

Два интересных режима характеристик ненастроенного осциллятора:^[11]

• Когда μ = 0, т.е. нет функции демпфирования, уравнение принимает следующий вид:

${ displaystyle {d ^ {2} x over dt ^ {2}} + x = 0.}$

Это форма простой гармонический осциллятор, и всегда есть сохранение энергии.

• Когда μ > 0, система войдет в предельный цикл. Рядом с источником Икс = dx/dt = 0, система неустойчива, и вдали от начала координат система затухает.
• Осциллятор Ван дер Поля не имеет точного аналитического решения.^[12] Такое решение существует для предельного цикла, если ж(Икс) в Уравнение Лиенара - постоянная кусочно-размерная функция.

Гамильтониан для осциллятора Ван дер Поля

Также можно написать не зависящий от времени Гамильтониан формализм для осциллятора Ван дер Поля путем дополнения его до четырехмерной автономной динамической системы с использованием вспомогательного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка следующим образом:

${ displaystyle { ddot {x}} - mu (1-x ^ {2}) { dot {x}} + x = 0,}$

${ displaystyle { ddot {y}} + mu (1-x ^ {2}) { dot {y}} + y = 0.}$

Обратите внимание, что динамика оригинального осциллятора Ван-дер-Поля не изменяется из-за односторонней связи между временными изменениями Икс и у переменные. Гамильтониан ЧАС для этой системы уравнений можно показать, что^[13]

${ Displaystyle H (х, y, p_ {x}, p_ {y}) = p_ {x} p_ {y} + xy- mu (1-x ^ {2}) yp_ {y},}$

куда ${ displaystyle p_ {x} = { dot {y}} + mu (1-x ^ {2}) y}$ и ${ displaystyle p_ {y} = { dot {x}}}$ являются сопряженные импульсы соответствующий Икс и у, соответственно. В принципе, это может привести к квантованию осциллятора Ван-дер-Поля. Такой гамильтониан также связывает^[14] то геометрическая фаза системы предельного цикла, имеющей зависящие от времени параметры с Угол Ханнея соответствующей гамильтоновой системы.

Принудительный осциллятор Ван дер Поля

Хаотическое поведение в генераторе Ван дер Поля с синусоидальным воздействием. Параметр нелинейного затухания равен μ = 8,53, а амплитуда воздействия А = 1,2 и угловая частота ω = 2π / 10.

Принудительный, или ведомый, осциллятор Ван дер Поля берет на себя «исходную» функцию и добавляет функцию возбуждения. Агрех (ωt) дать дифференциальное уравнение вида:

${ displaystyle {d ^ {2} x over dt ^ {2}} - mu (1-x ^ {2}) {dx over dt} + x-A sin ( omega t) = 0,}$

куда А это амплитуда, или же смещение, из волновая функция и ω это его угловая скорость.

Популярная культура

Электрическая цепь с участием триод, в результате чего возникает форсированный осциллятор Ван дер Поля.^[15] Схема содержит: триод, резистор р, а конденсатор C, парный индуктор -установить с собственная индуктивность L и взаимная индуктивность M. В сериале Схема RLC есть ток я, а в сторону триода анод («тарелка») ток я_а, пока есть напряжение ты_грамм на триоде сетка управления. Осциллятор Ван дер Поля приводится в действие переменным током. источник напряжения E_s.

Автор Джеймс Глейк описал вакуумная труба Осциллятор Ван дер Поля в его книге 1987 года Хаос: создание новой науки.^[16] Согласно Нью-Йорк Таймс статья,^[17] Глейк получил современный электронный генератор Ван дер Поля от ридера в 1988 году.

Смотрите также

• Мэри Картрайт, Британский математик, одним из первых изучивший теорию детерминированного хаоса, в частности применительно к этому осциллятору.^[18]
• Был предложен квантовый осциллятор Ван-дер-Поля, который является квантовой версией классического осциллятора Ван-дер-Поля. ^[19][20] с помощью Уравнение Линдблада формализм для изучения квантовая синхронизация.

Рекомендации

внешняя ссылка

• «Уравнение Ван дер Поля», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Осциллятор Ван дер Поля в Scholarpedia
• Интерактивные демонстрации осциллятора Ван дер Поля