Арнольд язык - Arnold tongue

Число вращения для разных значений двух параметров карты окружности: Ω на Иксось и K на у-ось. Видны некоторые формы языка.

В математика, особенно в динамические системы, Языки Арнольда (названный в честь Владимир Арнольд )^[1]^[2] являются живописным явлением, возникающим при визуализации того, как номер вращения динамической системы или других связанных инвариантное свойство из них изменяется в зависимости от двух или более параметров. Области постоянного числа вращения наблюдались для некоторых динамических систем, чтобы сформировать геометрические фигуры напоминающие языки, в этом случае их называют языками Арнольда.^[3]

Языки Арнольда наблюдаются в большом количестве разнообразных природных явлений, которые связаны с колеблющимися величинами, такими как концентрация ферментов и субстратов в биологических процессах.^[4] и сердечные электрические волны. Иногда частота колебаний зависит от или ограничена (т. Е. с фазовой синхронизацией или же режим блокировки, в некоторых контекстах) на основе некоторого количества, и часто бывает интересно изучить эту связь. Например, начало опухоль вызывает в области серию колебаний вещества (в основном белков), которые взаимодействуют друг с другом; Моделирование показывает, что эти взаимодействия вызывают появление языков Арнольда, то есть частота одних колебаний ограничивает другие, и это можно использовать для контроля роста опухоли.^[3]

Другие примеры, где можно найти языки Арнольда, включают негармоничность музыкальных инструментов, орбитальный резонанс и приливная блокировка орбитальных спутников, синхронизация мод в волоконная оптика и петли фазовой автоподстройки частоты и другие электронные генераторы, а также в сердечные ритмы, сердечные аритмии и клеточный цикл.^[5]

Одна из простейших физических моделей с синхронизацией мод состоит из двух вращающихся дисков, соединенных слабой пружиной. Один диск может свободно вращаться, а другой приводится в движение двигателем. Синхронизация мод происходит, когда свободно вращающийся диск вращается с частотой, равной рациональный в несколько раз больше, чем у ведомого ротатора.

Простейшей математической моделью, демонстрирующей синхронизацию мод, является круговая карта, которая пытается зафиксировать движение вращающихся дисков через дискретные промежутки времени.

Стандартная круговая карта

Бифуркационная диаграмма за

{displaystyle Omega}

фиксируется на

{displaystyle 1/3}

.

{displaystyle K}

идет от

{displaystyle 0}

внизу к

{displaystyle 4pi}

вверху, а орбиты показаны в интервале

{displaystyle [-0,5,0,5]}

вместо

{displaystyle [0,1]}

. Черные области соответствуют языкам Арнольда.

Языки Арнольда чаще всего появляются при изучении взаимодействия между генераторы, особенно в случае, когда один осциллятор диски еще один. То есть один осциллятор зависит от другого, но не наоборот, поэтому они не влияют друг на друга, как это происходит в Курамото модели, Например. Это частный случай управляемые генераторы, с движущей силой, которая имеет периодическое поведение. В качестве практического примера клетки сердца (внешний осциллятор) генерируют периодические электрические сигналы для стимуляции сердечных сокращений (ведомый осциллятор); здесь может быть полезно определить соотношение между частотами осцилляторов, возможно, чтобы лучше спроектировать искусственные кардиостимуляторы. Семейство круговых карт служит полезной математической моделью для этого биологического явления, а также многих других.^[6]

Семейство круговых карт - это функции (или эндоморфизмы ) круга к себе. Математически проще рассматривать точку в круге как точку ${displaystyle x}$ в реальной строке, которую следует интерпретировать по модулю ${displaystyle 2pi}$ , представляющий угол, под которым точка находится в окружности. Когда по модулю берется значение, отличное от ${displaystyle 2pi}$ , результат по-прежнему представляет собой угол, но его необходимо нормализовать, чтобы весь диапазон ${displaystyle [0,2pi]}$ могут быть представлены. Имея это в виду, семья круговые карты дан кем-то:^[7]

{displaystyle heta _ {i + 1} = g (heta _ {i}) + Omega}

куда ${displaystyle Omega}$ - "собственная" частота генератора, а ${displaystyle g (heta _ {i})}$ является периодической функцией, которая дает влияние, вызванное внешним осциллятором. Обратите внимание, что если ${displaystyle g (heta _ {i}) = heta _ {i}}$ частица просто ходит по кругу в ${displaystyle Omega}$ единицы за раз; в частности, если ${displaystyle Omega}$ иррационально, отображение сводится к иррациональное вращение.

Конкретная карта круга, первоначально изученная Арнольдом,^[8] и который продолжает приносить пользу даже в наши дни:

{displaystyle heta _ {i + 1} = heta _ {i} + Omega + {frac {K} {2pi}} sin (2pi heta _ {i})}

куда ${displaystyle K}$ называется сила сцепления, и ${displaystyle heta _ {i}}$ следует интерпретировать по модулю ${displaystyle 1}$ . Эта карта показывает очень разнообразное поведение в зависимости от параметров ${displaystyle K}$ и ${displaystyle Omega}$ ; если мы исправим ${displaystyle Omega = 1/3}$ и варьировать ${displaystyle K}$ , то бифуркационная диаграмма вокруг этого абзаца получается, где мы можем наблюдать периодические орбиты, бифуркации удвоения периода как можно лучше хаотичное поведение.

Получение круговой карты

Изображение простой модели, в которой круговая карта возникает «естественно». Красная линия

{displaystyle y (t)}

и сбрасывается каждый раз, когда достигает синусоидальной черной линии.

Другой способ просмотра круговой карты следующий. Рассмотрим функцию ${displaystyle y (t)}$ который линейно убывает с наклоном ${displaystyle a}$ . Как только он достигает нуля, его значение сбрасывается до определенного колеблющегося значения, описываемого функцией ${displaystyle z (t) = c + bsin (2pi t)}$ . Теперь нас интересует последовательность времен ${displaystyle {t_ {n}}}$ при котором y (t) достигает нуля.

Эта модель говорит нам, что в свое время ${displaystyle t_ {n-1}}$ действительно, что ${displaystyle y (t_ {n-1}) = c + bsin (2pi t_ {n-1})}$ . С этого момента ${displaystyle y}$ затем будет линейно уменьшаться, пока ${displaystyle t_ {n}}$ , где функция ${displaystyle y}$ равно нулю, что дает:

{displaystyle {egin {align} 0 & = y (t_ {n-1}) - acdot (t_ {n} -t_ {n-1}) [0.5em] 0 & = left [c + bsin (2pi t_ {n -1}) ight] -at_ {n} + at_ {n-1} [0.5em] t_ {n} & = {frac {1} {a}} left [c + bsin (2pi t_ {n-1 }) ight] + t_ {n-1} [0.5em] t_ {n} & = t_ {n-1} + {frac {c} {a}} + {frac {b} {a}} sin ( 2pi t_ {n-1}) конец {выровнено}}}

и выбрав ${displaystyle Omega = c / a}$ и ${displaystyle K = 2pi b / a}$ мы получаем карту круга, о которой говорилось ранее:

{displaystyle t_ {n} = t_ {n-1} + Omega + {frac {K} {2pi}} sin (2pi t_ {n-1}).}

Гласс, Л. (2001) утверждает, что эта простая модель применима к некоторым биологическим системам, таким как регулирование концентрации вещества в клетках или крови, с ${displaystyle y (t)}$ выше представляет концентрацию определенного вещества.

В этой модели фазовая синхронизация ${displaystyle N: M}$ будет означать, что ${displaystyle y (t)}$ сброшен точно ${displaystyle N}$ раз каждый ${displaystyle M}$ периоды синусоидального ${displaystyle z (t)}$ . Число вращения, в свою очередь, будет частным ${displaystyle N / M}$ .^[7]

Характеристики

Рассмотрим общее семейство эндоморфизмов окружности:

{displaystyle heta _ {i + 1} = g (heta _ {i}) + Omega}

где для стандартной окружности мы имеем ${displaystyle g (heta) = heta + (K / 2pi) sin (2pi heta)}$ . Иногда также будет удобно представить карту круга в виде отображения ${displaystyle f (heta)}$ :

{displaystyle heta _ {i + 1} = f (heta _ {i}) = heta _ {i} + Omega + {frac {K} {2pi}} sin (2pi heta _ {i}).}

Перейдем к перечислению некоторых интересных свойств этих эндоморфизмов окружности.

P1. ${displaystyle f}$ монотонно возрастает при ${displaystyle K <1}$ , поэтому для этих значений ${displaystyle K}$ повторяет ${displaystyle heta _ {i}}$ двигайтесь только вперед по кругу, а не назад. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что производная от ${displaystyle f}$ является:

{displaystyle f '(heta) = 1 + Kcos (2pi heta)}

что положительно, пока ${displaystyle K <1}$ .

P2. Расширяя рекуррентное соотношение, получаем формулу для ${displaystyle heta _ {n}}$ :

{displaystyle heta _ {n} = heta _ {0} + nOmega + {frac {K} {2pi}} sum _ {i = 0} ^ {n} sin (2pi heta _ {i}).}

P3. Предположим, что ${displaystyle heta _ {n} = heta _ {0} {mod {1}}}$ , поэтому они являются периодическими неподвижными точками периода ${displaystyle n}$ . Поскольку синус колеблется с частотой 1 Гц, количество колебаний синуса за цикл составляет ${displaystyle heta _ {i}}$ будет ${displaystyle M = (heta _ {n} - heta _ {0}) cdot 1}$ , что характеризует фазовая синхронизация из ${displaystyle n: M}$ .^[7]

P4. Для любого ${displaystyle pin mathbb {N}}$ , правда, что ${displaystyle f (heta + p) = f (heta) + p}$ , что в свою очередь означает, что ${displaystyle f (heta + p) = f (heta) {mod {1}}}$ . Из-за этого для многих целей не имеет значения, повторяется ли ${displaystyle heta _ {i}}$ взяты по модулю ${displaystyle 1}$ или нет.

P5 (трансляционная симметрия).^[9]^[7] Предположим, что для данного ${displaystyle Omega}$ Существует ${displaystyle n: M}$ фазовая синхронизация в системе. Тогда для ${displaystyle Omega '= Omega + p}$ с целым числом ${displaystyle p}$ , будет ${displaystyle n: (M + np)}$ фазовая синхронизация. Это также означает, что если ${displaystyle heta _ {0}, dots, heta _ {n}}$ периодическая орбита для параметра ${displaystyle Omega}$ , то это тоже периодическая орбита для любого ${displaystyle Omega '= Omega + p, pin mathbb {N}}$ .

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что отношение рекурсии в свойстве 2 будет выглядеть следующим образом:

{displaystyle {egin {align} heta _ {n} '& = heta _ {0} + nOmega' + {frac {K} {2pi}} sum _ {i = 0} ^ {n} sin (2pi heta _ { i}) & = heta _ {0} + n (Omega + p) + {frac {K} {2pi}} sum _ {i = 0} ^ {n} sin (2pi heta _ {i}) & = heta _ {n} + np, конец {выровнен}}}

так с тех пор

{displaystyle heta _ {n} - heta _ {0} = M}

благодаря оригинальной фазовой синхронизации, теперь у нас будет

{displaystyle heta _ {n} '- heta _ {0} = heta _ {n} + np- heta _ {0} = M + np}

.

P6. За ${displaystyle K = 0}$ будет фазовая синхронизация всякий раз, когда ${displaystyle Omega}$ является рациональным. Кроме того, пусть ${displaystyle Omega = p / qin mathbb {Q}}$ , то фазовая синхронизация ${displaystyle q: p}$ .

Учитывая рекуррентное соотношение в свойстве 2, рациональное

{displaystyle Omega = p / q}

подразумевает:

{displaystyle heta _ {n} = heta _ {0} + n {frac {p} {q}}}

и модуль равенства ${displaystyle 1}$ будет держать только когда ${displaystyle n (p / q)}$ является целым числом, а первое ${displaystyle n}$ это удовлетворяет это ${displaystyle n = q}$ . Как следствие:

{displaystyle heta _ {q} = heta _ {0} + p}

{displaystyle (heta _ {q} - heta _ {0}) = p}

имея в виду ${displaystyle q: p}$ фазовая синхронизация.

Для иррационального

{displaystyle Omega}

(что приводит к иррациональное вращение ) необходимо было бы иметь

{displaystyle nOmega = k}

для целых чисел

{displaystyle n}

и

{displaystyle k}

, но потом

{displaystyle Omega = k / n}

и

{displaystyle Omega}

рационально, что противоречит исходной гипотезе.

Блокировка режима

Некоторые из языков Арнольда для стандартной круговой карты, ε = K/2

π

Номер вращения как функция от Ω с K постоянным на K = 1

Для малых и средних значений K (то есть в диапазоне K = От 0 до примерно K = 1) и при определенных значениях Ω на карте наблюдается явление, называемое синхронизация режима или же фазовая синхронизация. В области фазовой синхронизации значения θ_п продвигаться по существу как рациональное множественное из п, хотя они могут делать это хаотично в небольших масштабах.

Предельное поведение в областях с синхронизацией мод определяется номер вращения.

{displaystyle omega = lim _ {n o infty} {frac {heta _ {n}} {n}}.}

^[10]

которую также иногда называют картой номер намотки.

Области с синхронизацией по фазе, или языки Арнольда, показаны желтым на рисунке справа. Каждая такая V-образная область достигает рационального значения Ω =п/q в пределах K → 0. Значения (K, Ω) в одной из этих областей все приведет к движению, при котором число вращения ω = п/q. Например, все значения (K, Ω) в большой V-образной области в центре нижней части рисунка соответствуют числу вращения ω = 1/2. Одна из причин, по которой используется термин «блокировка», заключается в том, что отдельные значения θ_п могут возмущаться довольно большими случайными возмущениями (вплоть до ширины языка при заданном значении K), не нарушая предельного числа оборотов. То есть последовательность остается "привязанной" к сигналу, несмотря на добавление значительного шума к серии. θ_п. Эта способность «захватывать» в присутствии шума является центральной для полезности электронной схемы фазовой автоподстройки частоты.^{[нужна цитата ]}

Для каждого рационального числа существует область с синхронизацией режима. п/q. Иногда говорят, что круговая карта отображает рациональные числа, набор измерять ноль в K = 0, к множеству ненулевой меры для K ≠ 0. Самые большие языки, отсортированные по размеру, встречаются в Фарея дроби. Фиксация K и сделав поперечный разрез этого изображения, чтобы ω изображен как функция от Ω, дает "лестницу Дьявола" форму, которая в целом похожа на Функция Кантора Это можно показать для К <1, отображение окружности является диффеоморфизмом, существует только одно устойчивое решение. Однако как К> 1 это больше не выполняется, и можно найти области двух перекрывающихся областей блокировки. Для круговой карты можно показать, что в этой области могут перекрываться не более двух областей стабильной синхронизации мод, но неизвестно, существует ли какое-либо ограничение на количество перекрывающихся языков Арнольда для общих синхронизированных систем.^{[нужна цитата ]}

На круговой карте также изображены субгармонические маршруты к хаосу, то есть удвоение периода в форме 3, 6, 12, 24, ....

Стандартная карта Чирикова

В Стандартная карта Чирикова связана с картой окружности, имея аналогичные рекуррентные соотношения, которые можно записать как

{displaystyle {egin {выровнено} heta _ {n + 1} & = heta _ {n} + p_ {n} + {frac {K} {2pi}} sin (2pi heta _ {n}) p_ {n + 1} & = heta _ {n + 1} - heta _ {n} конец {выровнено}}}

с обеими итерациями, взятыми по модулю 1. По сути, стандартное отображение вводит импульс п_п который может динамически изменяться, а не фиксироваться принудительно, как на карте круга. Стандартное отображение изучается в физика с помощью выбитый ротор Гамильтониан.

Приложения

Языки Арнольда применялись для изучения

Сердечные ритмы - видеть Glass, L. et al. (1983) и McGuinness, M. et al. (2004)
Синхронизация резонансного генераторы на туннельных диодах^[11]

Галерея

Круговая карта, показывающая регионы с заблокированным режимом или языки Арнольда черным цветом. Ω изменяется от 0 до 1 вдоль Икс-ось и K варьируется от 0 внизу до 4

π

на вершине. Чем краснее цвет, тем больше время повторения.

Номер вращения: черный соответствует 0, зеленый - 1/2 и красный до 1. Ω изменяется от 0 до 1 вдоль Икс-ось и K варьируется от 0 внизу до 2

π

на вершине.

Смотрите также

Штурмское слово

Примечания

^ Арнольд, В. (1961). «Малые знаменатели. I. Отображение круга на себя». Известия Российской Академии Наук. Серия Математическая. 25 (1): 21–86. В разделе 12 на странице 78 есть рисунок, показывающий языки Арнольда.
^ Перевод статьи Арнольда на английский язык: С. Аджан; В. И. Арнольд; С. П. Демушкин; Ju. С. Гуревич; С.С. Кемхадзе; Климов Н. И.; Ju. В. Линник; А. В. Малышев; Новиков П.С.; Д. А. Супруненко; В. А. Тартаковский; В. Ташбаев. Одиннадцать статей по теории чисел, алгебре и функциям комплексного переменного. 46. Переводы Американского математического общества, серия 2.
^ ^а ^б Jensen, M.H .; Кришна, С. (2012). «Вызвание фазовой синхронизации и хаоса в клеточных осцилляторах путем модуляции управляющих стимулов». Письма FEBS. 586 (11): 1664–1668. arXiv:1112.6093. Дои:10.1016 / j.febslet.2012.04.044. PMID 22673576. S2CID 2959093.
^ Gérard, C .; Гольдбетер, А. (2012). «Клеточный цикл - это предельный цикл». Математическое моделирование природных явлений. 7 (6): 126–166. Дои:10.1051 / mmnp / 20127607.
^ Nakao, M .; Энххудулмур, Т.Е .; Katayama, N .; Карашима, А. (2014). Увлекаемость моделей осцилляторов клеточного цикла с экспоненциальным ростом клеточной массы. Конференция инженерного общества медицины и биологии. IEEE. С. 6826–6829.
^ Гласс, Л. (2001). «Синхронизация и ритмические процессы в физиологии». Природа. 410 (6825): 277–284. Bibcode:2001Натура.410..277Г. Дои:10.1038/35065745. PMID 11258383. S2CID 4379463.
^ ^а ^б ^c ^d Стекло, л .; Перес, Р. (1982). «Тонкая структура фазовой синхронизации». Письма с физическими проверками. 48 (26): 1772. Bibcode:1982ПхРвЛ..48.1772Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.48.1772.
^ Он изучал это, используя косинус вместо синуса; см. страницу 78 из Арнольд, В. (1961).
^ Гевара, М.Р .; Гласс, Л. (1982). «Фазовая синхронизация, бифуркации удвоения периода и хаос в математической модели периодически управляемого осциллятора: теория увлечения биологических осцилляторов и генерации сердечных аритмий». Журнал математической биологии. 14 (1): 1–23. Дои:10.1007 / BF02154750. PMID 7077182. S2CID 2273911.
^ Вайсштейн, Эрик. "Число намотки карты". MathWorld. Получено 20 июн 2016.
^ Romeira, B .; Фигейредо, J.M .; Ironside, C.N .; Слайт, Т. (2009). «Хаотическая динамика в резонансно-туннельных оптоэлектронных генераторах, управляемых напряжением». Письма IEEE Photonics Technology. 21 (24): 1819–1821. Bibcode:2009IPTL ... 21.1819R. Дои:10.1109 / LPT.2009.2034129. S2CID 41327316.

внешняя ссылка

Карта круга с интерактивным Java-апплетом

[arnold-1] Арнольд, В. (1961). «Малые знаменатели. I. Отображение круга на себя». Известия Российской Академии Наук. Серия Математическая. 25 (1): 21–86. В разделе 12 на странице 78 есть рисунок, показывающий языки Арнольда.

[2] Перевод статьи Арнольда на английский язык: С. Аджан; В. И. Арнольд; С. П. Демушкин; Ju. С. Гуревич; С.С. Кемхадзе; Климов Н. И.; Ju. В. Линник; А. В. Малышев; Новиков П.С.; Д. А. Супруненко; В. А. Тартаковский; В. Ташбаев. Одиннадцать статей по теории чисел, алгебре и функциям комплексного переменного. 46. Переводы Американского математического общества, серия 2.

[jensen-3] а ^б Jensen, M.H .; Кришна, С. (2012). «Вызвание фазовой синхронизации и хаоса в клеточных осцилляторах путем модуляции управляющих стимулов». Письма FEBS. 586 (11): 1664–1668. arXiv:1112.6093. Дои:10.1016 / j.febslet.2012.04.044. PMID 22673576. S2CID 2959093.

[4] Gérard, C .; Гольдбетер, А. (2012). «Клеточный цикл - это предельный цикл». Математическое моделирование природных явлений. 7 (6): 126–166. Дои:10.1051 / mmnp / 20127607.

[5] Nakao, M .; Энххудулмур, Т.Е .; Katayama, N .; Карашима, А. (2014). Увлекаемость моделей осцилляторов клеточного цикла с экспоненциальным ростом клеточной массы. Конференция инженерного общества медицины и биологии. IEEE. С. 6826–6829.

[glass-synchronization-6] Гласс, Л. (2001). «Синхронизация и ритмические процессы в физиологии». Природа. 410 (6825): 277–284. Bibcode:2001Натура.410..277Г. Дои:10.1038/35065745. PMID 11258383. S2CID 4379463.

[glass-perez-7] а ^б ^c ^d Стекло, л .; Перес, Р. (1982). «Тонкая структура фазовой синхронизации». Письма с физическими проверками. 48 (26): 1772. Bibcode:1982ПхРвЛ..48.1772Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.48.1772.

[8] Он изучал это, используя косинус вместо синуса; см. страницу 78 из Арнольд, В. (1961).

[9] Гевара, М.Р .; Гласс, Л. (1982). «Фазовая синхронизация, бифуркации удвоения периода и хаос в математической модели периодически управляемого осциллятора: теория увлечения биологических осцилляторов и генерации сердечных аритмий». Журнал математической биологии. 14 (1): 1–23. Дои:10.1007 / BF02154750. PMID 7077182. S2CID 2273911.

[10] Вайсштейн, Эрик. "Число намотки карты". MathWorld. Получено 20 июн 2016.

[11] Romeira, B .; Фигейредо, J.M .; Ironside, C.N .; Слайт, Т. (2009). «Хаотическая динамика в резонансно-туннельных оптоэлектронных генераторах, управляемых напряжением». Письма IEEE Photonics Technology. 21 (24): 1819–1821. Bibcode:2009IPTL ... 21.1819R. Дои:10.1109 / LPT.2009.2034129. S2CID 41327316.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]