Динамический бильярд - Dynamical billiards

Частица движется внутри стадиона Бунимовича, известного хаотичного бильярда. См. Раздел «Программное обеспечение» для создания такой анимации.

А динамический бильярд это динамическая система в котором частица чередуется между свободным движением (обычно по прямой) и зеркальные отражения от границы. Когда частица попадает в границу, она отражается от нее. без утрата скорость (т.е. упругие столкновения). Бильярд Гамильтониан идеализации игра в бильярд, но область, ограниченная границей, может иметь форму, отличную от прямоугольной, и даже быть многомерной. Динамический бильярд также можно изучать на неевклидовы геометрии; действительно, первые исследования бильярда установили их эргодическое движение на поверхности постоянного отрицательного кривизна. Изучение бильярда, которое держат вне региона, а не хранят в регионе, известно как внешний бильярд теория.

Движение частицы в биллиарде представляет собой прямую линию с постоянной энергией между отражениями от границы (a геодезический если Риманова метрика бильярдного стола не плоский). Все размышления находятся зеркальный: the угол падения непосредственно перед столкновением равно угол отражения сразу после столкновения. В последовательность отражений описывается бильярдная карта что полностью характеризует движение частицы.

Бильярд отражает всю сложность гамильтоновых систем, начиная с интегрируемость к хаотическое движение, без трудностей интеграции уравнения движения определить ее Карта Пуанкаре. Биркофф показал, что бильярдная система с эллиптический стол интегрируемый.

Уравнения движения

В Гамильтониан для частицы массы м свободное движение без трения о поверхность:

{ Displaystyle H (p, q) = { frac {p ^ {2}} {2m}} + V (q)}

куда ${ Displaystyle V (q)}$ потенциал, рассчитанный на нуль внутри области ${ displaystyle Omega}$ в котором частица может двигаться, и бесконечность в противном случае:

{ Displaystyle V (q) = { begin {cases} 0 & q in Omega infty & q notin Omega end {cases}}}

Такая форма потенциала гарантирует зеркальное отражение на границе. Кинетический термин гарантирует, что частица движется по прямой линии без каких-либо изменений энергии. Если частица должна двигаться по неевклидовой многообразие, то гамильтониан заменяется на:

{ Displaystyle H (p, q) = { frac {1} {2m}} p ^ {i} p ^ {j} g_ {ij} (q) + V (q)}

куда ${ displaystyle g_ {ij} (q)}$ это метрический тензор в точке ${ Displaystyle д ; в ; Омега}$ . Из-за очень простой структуры этого гамильтониана уравнения движения для частицы Уравнения Гамильтона – Якоби, не что иное, как геодезические уравнения на многообразии: частица движется по геодезические.

Известные классы бильярда и бильярда

Бильярд Адамара

Биллиарды Адамара касаются движения точечной свободной частицы по поверхности постоянной отрицательной кривизны, в частности, простейшего компактного Риманова поверхность с отрицательной кривизной - поверхность рода 2 (бублик с двумя отверстиями). Модель точно решаемый, и задается геодезический поток на поверхности. Это самый ранний пример детерминированный хаос когда-либо изучал, был введен Жак Адамар в 1898 г.

Бильярд Артина

Бильярд Артина рассматривает свободное движение точечной частицы по поверхности постоянной отрицательной кривизны, в частности, простейшее некомпактное Риманова поверхность, поверхность с одним выступом. Он отличается точностью решения, но не только эргодический но также сильно перемешивая. Это пример Система Аносова. Эта система была впервые изучена Эмиль Артин в 1924 г.

Диспергирующий и полурассеивающий бильярд

Позволять M полное гладкое риманово многообразие без края, максимальное секционная кривизна из которых не больше K и с радиус приемистости ${ displaystyle rho> 0}$ . Рассмотрим набор п геодезически выпуклый подмножества (стены) ${ displaystyle B_ {i} subset M}$ , ${ Displaystyle я = 1, ldots, п}$ , такие, что их границы являются гладкими подмногообразиями коразмерности один. Позволять ${ displaystyle B = M ( bigcup _ {i = 1} ^ {n} operatorname {Int} (B_ {i}))}$ , куда ${ displaystyle operatorname {Int} (B_ {i})}$ обозначает внутренность множества ${ displaystyle B_ {i}}$ . Набор ${ displaystyle B subset M}$ назовем бильярдным столом. Рассмотрим теперь частицу, которая движется внутри множества B с единичной скоростью по геодезической, пока не достигнет одного из множеств B_я (такое событие называется столкновением), когда оно отражается по закону «угол падения равен углу отражения» (если он достигает одного из множеств ${ displaystyle B_ {i} cap B_ {j}}$ , ${ displaystyle i neq j}$ , после этого момента траектория не определяется). Такая динамическая система называется полурассеивающий бильярд. Если стенки строго выпуклые, то бильярд называется рассеивание. Название мотивировано наблюдением, что локально параллельный пучок траекторий рассеивается после столкновения со строго выпуклой частью стены, но остается локально параллельным после столкновения с плоским участком стены.

Граница рассеяния играет для бильярда ту же роль, что и отрицательная кривизна делает для геодезический потоки, вызывающие экспоненциальные нестабильность динамики. Именно этот механизм диспергирования придает диспергирующим бильярдам самые сильные хаотичный свойства, как это было установлено Яков Георгиевич Синай.^[1] А именно бильярд - это эргодический, смешивание, Бернулли, имеющий положительную Колмогоровско-Синайскую энтропия и экспоненциальный спад из корреляции.

Хаотические свойства обычных полурассеивающих бильярдов изучены не так хорошо, однако, как свойства одного важного типа полурассеивающих биллиардов, твердый шаровой газ некоторые детали изучались с 1975 г. (см. следующий раздел).

Общие результаты Дмитрий Бураго и Серж Ферлегер ^[2] по равномерной оценке числа столкновений в невырожденном полудисперсионном биллиарде позволяют установить конечность его топологическая энтропия и не более чем экспоненциальный рост периодических траекторий.^[3] В отличие, выродиться полудисперсные биллиарды могут иметь бесконечную топологическую энтропию.^[4]

Газ Лоренца, он же Синайский бильярд

Частица, движущаяся внутри бильярда Синая, также известная как газ Лоренца.

Таблица Газ Лоренца (также известный как бильярд Синая) представляет собой квадрат с удаленным от его центра диском; стол плоский, без кривизны. Бильярд возникает в результате изучения поведения двух взаимодействующих дисков, подпрыгивающих внутри квадрата, отражаясь от границ квадрата и друг от друга. Исключив центр масс как переменную конфигурации, динамика двух взаимодействующих дисков сводится к динамике бильярда на Синае.

Бильярд был представлен Яков Георгиевич Синай как пример взаимодействующего Гамильтонова система который проявляет физические термодинамические свойства: почти все (с точностью до нуля) его возможные траектории являются эргодический и в нем есть положительный Показатель Ляпунова.

Большим достижением Синая с этой моделью было показать, что классический Ансамбль Больцмана – Гиббса для идеальный газ по сути является максимально хаотическим биллиардом Адамара.

Бунимович стадион

Таблица называется Бунимович стадион представляет собой прямоугольник, ограниченный полукругами, форма, называемая стадион. Пока он не был представлен Леонид Бунимович, бильярд с плюсом Показатели Ляпунова считалось, что для экспоненциального расхождения орбит требовались выпуклые рассеиватели, такие как диск в биллиарде на Синае. Бунимович показал, что, рассматривая орбиты за точкой фокусировки вогнутой области, можно получить экспоненциальную расходимость.

Магнитный бильярд

Движение заряженной частицы внутри бильярда на Синае с перпендикулярным магнитным полем.

Магнитный бильярд представляет собой бильярд, в котором заряжен частица распространяется под действием перпендикулярного магнитного поля. В результате траектория частицы меняется с прямой на дугу окружности. Радиус этого круга обратно пропорционален напряженности магнитного поля. Такой бильярд был полезен в реальных приложениях бильярда, обычно в моделировании. наноустройства (см. Приложения).

Обобщенный бильярд

Обобщенные биллиарды (ОБ) описывают движение материальной точки (частицы) внутри замкнутой области ${ Displaystyle Пи , подмножество , mathbb {R} ^ {п}}$ с кусочно-гладкой границей ${ displaystyle Gamma}$ . На границе ${ displaystyle Gamma}$ скорость точки изменяется по мере того, как частица подвергается действию обобщенного биллиардного закона. GB были представлены Лев Дмитриевич Пустыльников в общем случае^[5] а в случае, когда ${ displaystyle Pi}$ это параллелепипед^[6] в связи с обоснованием второй закон термодинамики. С физической точки зрения ГБ описывают газ, состоящий из конечного числа частиц, движущихся в сосуде, при этом стенки сосуда нагреваются или охлаждаются. Суть обобщения заключается в следующем. Когда частица попадает в границу ${ displaystyle Gamma}$ , его скорость преобразуется с помощью заданной функции ${ Displaystyle е ( гамма, , т)}$ , определенный на прямом продукте ${ Displaystyle Gamma , times , mathbb {R} ^ {1}}$ (куда ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {1}}$ это настоящая линия, ${ Displaystyle gamma , in , Gamma}$ точка границы и ${ Displaystyle т , ин , mathbb {R} ^ {1}}$ время), согласно следующему закону. Предположим, что траектория частицы, движущейся со скоростью ${ displaystyle v}$ , пересекает ${ displaystyle Gamma}$ в момент ${ Displaystyle gamma , in , Gamma}$ вовремя ${ Displaystyle т ^ {*}}$ . Тогда во время ${ Displaystyle т ^ {*}}$ частица приобретает скорость ${ displaystyle v ^ {*}}$ , как если бы он испытал упругий толчок от бесконечно тяжелой плоскости ${ displaystyle Gamma ^ {*}}$ , касающийся ${ displaystyle Gamma}$ в момент ${ displaystyle gamma}$ , и в то время ${ Displaystyle т ^ {*}}$ движется по нормали к ${ displaystyle Gamma}$ в ${ displaystyle gamma}$ со скоростью ${ displaystyle textstyle { frac { partial f} { partial t}} ( gamma, , t ^ {*})}$ . Подчеркнем, что позиция самой границы фиксируется, а ее действие на частицу определяется через функцию ${ displaystyle f}$ .

Берем положительное направление движения самолета ${ displaystyle Gamma ^ {*}}$ быть к интерьер из ${ displaystyle Pi}$ . Таким образом, если производная ${ displaystyle textstyle { frac { partial f} { partial t}} ( gamma, , t) ;> ; 0}$ , то после удара частица ускоряется.

Если скорость ${ displaystyle v ^ {*}}$ приобретенная частицей в результате указанного закона отражения, направлена внутрь области ${ displaystyle Pi}$ , то частица выйдет за границу и продолжит движение в ${ displaystyle Pi}$ до следующего столкновения с ${ displaystyle Gamma}$ . Если скорость ${ displaystyle v ^ {*}}$ направлен наружу ${ displaystyle Pi}$ , то частица остается на ${ displaystyle Gamma}$ в момент ${ displaystyle gamma}$ пока в какое-то время ${ Displaystyle { тильда {т}} ;> ; т ^ {*}}$ взаимодействие с границей заставит частицу покинуть ее.

Если функция ${ Displaystyle е ( гамма, , т)}$ не зависит от времени ${ displaystyle t}$ ; т.е. ${ displaystyle textstyle { frac { partial f} { partial t}} ; = ; 0}$ , обобщенный биллиард совпадает с классическим.

Этот обобщенный закон отражения очень естественен. Во-первых, это отражает очевидный факт, что стенки сосуда с газом неподвижны. Во-вторых, действие стенки на частицу по-прежнему является классическим упругим толчком. По сути, мы рассматриваем бесконечно движущиеся границы с заданными скоростями.

Считается отражением от границы ${ displaystyle Gamma}$ как в рамках классической механики (ньютоновский случай), так и теории относительности (релятивистский случай).

Основные результаты: в ньютоновском случае энергия частицы ограничена, энтропия Гиббса является постоянной,^[6]^[7]^[8] (в Примечаниях), а в релятивистском случае энергия частицы, энтропия Гиббса, энтропия относительно фазового объема растут до бесконечности,^[6]^[8] (в Примечаниях), ссылки на обобщенные биллиарды.

Квантовый хаос

Квантовая версия бильярда легко изучается несколькими способами. Приведенный выше классический гамильтониан биллиарда заменяется стационарным. Уравнение Шредингера ${ Displaystyle H psi ; = ; E psi}$ или, точнее,

{ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} nabla ^ {2} psi _ {n} (q) = E_ {n} psi _ {n} (q)}

куда ${ displaystyle nabla ^ {2}}$ это Лапласиан. Потенциал, бесконечный за пределами региона ${ displaystyle Omega}$ но ноль внутри него означает Граничные условия Дирихле:

{ displaystyle psi _ {n} (q) = 0 quad { mbox {for}} quad q notin Omega}

Как обычно, волновые функции считаются ортонормированный:

{ displaystyle int _ { Omega} { overline { psi _ {m}}} (q) psi _ {n} (q) , dq = delta _ {mn}}

Любопытно, что уравнение Шредингера в свободном поле совпадает с уравнением Уравнение Гельмгольца,

{ displaystyle left ( nabla ^ {2} + k ^ {2} right) psi = 0}

с

{ displaystyle k ^ {2} = { frac {1} { hbar ^ {2}}} 2mE_ {n}}

Это означает, что двух- и трехмерный квантовый бильярд можно моделировать классическими резонансными модами полость радара заданной формы, открывая тем самым дверь для экспериментальной проверки. (Изучение мод резонатора радара должно быть ограничено поперечный магнитный (TM), так как они подчиняются граничным условиям Дирихле).

Полуклассический предел соответствует ${ Displaystyle hbar ; к ; 0}$ что можно рассматривать как эквивалент ${ Displaystyle м ; к ; infty}$ , масса увеличивается и ведет себя классически.

В качестве общего утверждения можно сказать, что всякий раз, когда классические уравнения движения интегрируемый (например, прямоугольные или круглые бильярдные столы), то квантово-механическая версия бильярда полностью разрешима. Когда классическая система хаотична, тогда квантовая система, как правило, не является точно решаемой и представляет многочисленные трудности при ее квантовании и оценке. Общее изучение хаотических квантовых систем известно как квантовый хаос.

Особенно яркий пример рубцевания на эллиптическом столе дает наблюдение так называемого квантовый мираж.

Приложения

Бильярд, как квантовый, так и классический, применялся в нескольких областях физики для моделирования весьма разнообразных систем реального мира. Примеры включают лучевая оптика,^[9] лазеры,^[10]^[11] акустика,^[12] оптические волокна (например, волокна с двойной оболочкой ^[13]^[14]), или квантово-классическое соответствие.^[15] Одно из наиболее частых их применений - моделирование частиц, движущихся внутри наноустройств, например квантовые точки,^[16]^[17] pn-переходы,^[18] сверхрешетки антиточек,^[19]^[20] среди прочего. Причина такой широко распространенной эффективности бильярда как физических моделей кроется в том факте, что в ситуациях с небольшим количеством беспорядка или шума движение, например Такие частицы, как электроны или световые лучи, очень похожи на движение точечных частиц в бильярде. Кроме того, энергосберегающий характер столкновений частиц является прямым отражением сохранения энергии гамильтоновой механики.

Программного обеспечения

Программное обеспечение с открытым исходным кодом для моделирования бильярда существует для различных языков программирования. От самого последнего к самому старому из существующих программ относятся: DynamicalBilliards.jl (Юля), Bill2D (C ++) и Симулятор бильярда (Матлаб). Анимации, представленные на этой странице, были созданы с помощью DynamicalBilliards.jl.

Смотрите также

Модель Ферми – Улама (бильярд с колеблющийся стены)
Алгоритм Любачевского – Стиллингера сжатия имитирует твердые сферы сталкиваясь не только с границами, но и между собой при увеличении размеров^[14]
Арифметический бильярд

Примечания

^ «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 31 декабря 2013 г.. Получено 2014-06-06.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
^ Burago, D .; Ferleger, S .; Кононенко, А. (1 января 1998 г.). «Равномерные оценки числа столкновений в полудисперсных бильярдах». Анналы математики. 147 (3): 695–708. Дои:10.2307/120962. JSTOR 120962.
^ Burago, D .; Ферлегер, С. (26 мая 1997 г.). «Топологическая энтропия полудисперсного бильярда». Эргодическая теория и динамические системы. 18 (4): 791. Дои:10.1017 / S0143385798108246.
^ Бураго, Д. (1 февраля 2006 г.). «Полудисперсные биллиарды бесконечной топологической энтропии». Эргодическая теория и динамические системы. 26 (1): 45–52. Дои:10.1017 / S0143385704001002.
^ Пустыльников, Л. Д. (1999). «Закон увеличения энтропии и обобщенный биллиард». Российские математические обзоры. 54 (3): 650–651. Bibcode:1999RuMaS..54..650P. Дои:10.1070 / rm1999v054n03abeh000168.
^ ^а ^б ^c Пустыльников, Л. Д. (1995). «Модели Пуанкаре, робкое обоснование второго начала термодинамики из механики и механизм ускорения Ферми». Российские математические обзоры. 50 (1): 145–189. Bibcode:1995RuMaS..50..145P. Дои:10.1070 / rm1995v050n01abeh001663.
^ Пустыльников, Л. Д. (2005). «Обобщенный ньютоновский периодический биллиард в шаре». UMN. 60 (2): 171–172. Bibcode:2005RuMaS..60..365P. Дои:10.1070 / RM2005v060n02ABEH000839. Английский перевод в Российские математические обзоры, 60 (2), стр. 365-366 (2005).
^ ^а ^б Дерябин, Михаил В .; Пустыльников, Лев Д. (2007). «Неравновесный газ и обобщенный бильярд». Журнал статистической физики. 126 (1): 117–132. Bibcode:2007JSP ... 126..117D. Дои:10.1007 / s10955-006-9250-4.
^ Кузнецов Дмитрий; Молони, Джером В. (сентябрь 2004 г.). «Граничное поведение мод лапласиана Дирихле». Журнал современной оптики. 51 (13): 1955–1962. Bibcode:2004JMOp ... 51.1955K. Дои:10.1080/09500340408232504. ISSN 0950-0340.
^ Стоун, А. Дуглас (июнь 2010 г.). «Хаотические бильярдные лазеры». Природа. 465 (7299): 696–697. Дои:10.1038 / 465696a. ISSN 1476-4687. PMID 20535191.
^ Гмахл, К. (1998-06-05). «Направленное излучение большой мощности от микролазеров с хаотическими резонаторами». Наука. 280 (5369): 1556–1564. arXiv:cond-mat / 9806183. Bibcode:1998Sci ... 280.1556G. Дои:10.1126 / science.280.5369.1556. PMID 9616111.
^ Коянаги, Синитиро; Накано, Такеру; Кавабэ, Тетсудзи (1 августа 2008 г.). «Применение гамильтониана лучевого движения к акустике помещений». Журнал акустического общества Америки. 124 (2): 719–722. Bibcode:2008ASAJ..124..719K. Дои:10.1121/1.2946714. ISSN 0001-4966. PMID 18681564.
^ Leproux, P .; С. Феврие; В. Дойя; П. Рой; Д. Пагну (2003). «Моделирование и оптимизация волоконных усилителей с двойной оболочкой с использованием хаотического распространения накачки». Оптоволоконная технология. 7 (4): 324–339. Bibcode:2001OptFT ... 7..324L. Дои:10.1006 / оф.2001.0361.
^ ^а ^б Б. Д. Любачевский, Ф. Х. Стиллинджер, Геометрические свойства случайных дисковых упаковок, J. Статистическая физика 60 (1990), 561-583 http://www.princeton.edu/~fhs/geodisk/geodisk.pdf
^ Stöckmann, H.-J .; Стейн, Дж. (1990-05-07). "Квантовая хаос в бильярде изучается методом микроволнового поглощения ». Письма с физическими проверками. 64 (19): 2215–2218. Bibcode:1990ПхРвЛ..64.2215С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.64.2215. ISSN 0031-9007. PMID 10041617.
^ Пономаренко, Л. А .; Щедин, Ф .; Katsnelson, M. I .; Yang, R .; Hill, E.W .; Новоселов, К. С .; Гейм, А. К. (18 апреля 2008 г.). "Хаотический бильярд Дирака в графеновых квантовых точках". Наука. 320 (5874): 356–358. arXiv:0801.0160. Bibcode:2008Научный ... 320..356P. Дои:10.1126 / science.1154663. ISSN 0036-8075. PMID 18420930.
^ Берд, Джонатан П., изд. (2003). Электронный транспорт в квантовых точках. Дои:10.1007/978-1-4615-0437-5. ISBN 978-1-4020-7459-2.
^ Чен, Шаовэнь; Хан, Чжэн; Элахи, Мирза М .; Хабиб, К. М. Масум; Ван, Лэй; Вен, Бо; Гао, Юанда; Танигучи, Такаши; Ватанабэ, Кендзи; Хон, Джеймс; Гош, Авик В. (30 сентября 2016 г.). «Электронная оптика с p-n-переходами в баллистическом графене». Наука. 353 (6307): 1522–1525. arXiv:1602.08182. Bibcode:2016Научный ... 353.1522C. Дои:10.1126 / science.aaf5481. ISSN 0036-8075. PMID 27708099.
^ Weiss, D .; Roukes, M. L .; Меншиг, А .; Grambow, P .; von Klitzing, K .; Вейманн, Г. (1991-05-27). «Электронный пинбол и соразмерные орбиты в периодическом массиве рассеивателей» (PDF). Письма с физическими проверками. 66 (21): 2790–2793. Bibcode:1991PhRvL..66.2790W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.66.2790. ISSN 0031-9007. PMID 10043617.
^ Дацерис, Джордж; Гейзель, Тео; Флейшманн, Рагнар (30 апреля 2019 г.). «Устойчивость баллистического транспорта в сверхрешетках антиточек». Новый журнал физики. 21 (4): 043051. Bibcode:2019NJPh ... 21d3051D. Дои:10.1088 / 1367-2630 / ab19cc. ISSN 1367-2630.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. "Бильярд". MathWorld.
Статья из Академии динамического бильярда (Леонид Бунимович)
Введение в динамические системы с использованием бильярда, Институт физики сложных систем им. Макса Планка

[1] «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 31 декабря 2013 г.. Получено 2014-06-06.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)

[2] Burago, D .; Ferleger, S .; Кононенко, А. (1 января 1998 г.). «Равномерные оценки числа столкновений в полудисперсных бильярдах». Анналы математики. 147 (3): 695–708. Дои:10.2307/120962. JSTOR 120962.

[3] Burago, D .; Ферлегер, С. (26 мая 1997 г.). «Топологическая энтропия полудисперсного бильярда». Эргодическая теория и динамические системы. 18 (4): 791. Дои:10.1017 / S0143385798108246.

[4] Бураго, Д. (1 февраля 2006 г.). «Полудисперсные биллиарды бесконечной топологической энтропии». Эргодическая теория и динамические системы. 26 (1): 45–52. Дои:10.1017 / S0143385704001002.

[Pustyln1-5] Пустыльников, Л. Д. (1999). «Закон увеличения энтропии и обобщенный биллиард». Российские математические обзоры. 54 (3): 650–651. Bibcode:1999RuMaS..54..650P. Дои:10.1070 / rm1999v054n03abeh000168.

[Pustyln2-6] а ^б ^c Пустыльников, Л. Д. (1995). «Модели Пуанкаре, робкое обоснование второго начала термодинамики из механики и механизм ускорения Ферми». Российские математические обзоры. 50 (1): 145–189. Bibcode:1995RuMaS..50..145P. Дои:10.1070 / rm1995v050n01abeh001663.

[Pustyln3-7] Пустыльников, Л. Д. (2005). «Обобщенный ньютоновский периодический биллиард в шаре». UMN. 60 (2): 171–172. Bibcode:2005RuMaS..60..365P. Дои:10.1070 / RM2005v060n02ABEH000839. Английский перевод в Российские математические обзоры, 60 (2), стр. 365-366 (2005).

[Pustyln7-8] а ^б Дерябин, Михаил В .; Пустыльников, Лев Д. (2007). «Неравновесный газ и обобщенный бильярд». Журнал статистической физики. 126 (1): 117–132. Bibcode:2007JSP ... 126..117D. Дои:10.1007 / s10955-006-9250-4.

[9] Кузнецов Дмитрий; Молони, Джером В. (сентябрь 2004 г.). «Граничное поведение мод лапласиана Дирихле». Журнал современной оптики. 51 (13): 1955–1962. Bibcode:2004JMOp ... 51.1955K. Дои:10.1080/09500340408232504. ISSN 0950-0340.

[10] Стоун, А. Дуглас (июнь 2010 г.). «Хаотические бильярдные лазеры». Природа. 465 (7299): 696–697. Дои:10.1038 / 465696a. ISSN 1476-4687. PMID 20535191.

[11] Гмахл, К. (1998-06-05). «Направленное излучение большой мощности от микролазеров с хаотическими резонаторами». Наука. 280 (5369): 1556–1564. arXiv:cond-mat / 9806183. Bibcode:1998Sci ... 280.1556G. Дои:10.1126 / science.280.5369.1556. PMID 9616111.

[12] Коянаги, Синитиро; Накано, Такеру; Кавабэ, Тетсудзи (1 августа 2008 г.). «Применение гамильтониана лучевого движения к акустике помещений». Журнал акустического общества Америки. 124 (2): 719–722. Bibcode:2008ASAJ..124..719K. Дои:10.1121/1.2946714. ISSN 0001-4966. PMID 18681564.

[Doya-13] Leproux, P .; С. Феврие; В. Дойя; П. Рой; Д. Пагну (2003). «Моделирование и оптимизация волоконных усилителей с двойной оболочкой с использованием хаотического распространения накачки». Оптоволоконная технология. 7 (4): 324–339. Bibcode:2001OptFT ... 7..324L. Дои:10.1006 / оф.2001.0361.

[:0-14] а ^б Б. Д. Любачевский, Ф. Х. Стиллинджер, Геометрические свойства случайных дисковых упаковок, J. Статистическая физика 60 (1990), 561-583 http://www.princeton.edu/~fhs/geodisk/geodisk.pdf

[15] Stöckmann, H.-J .; Стейн, Дж. (1990-05-07). "Квантовая хаос в бильярде изучается методом микроволнового поглощения ». Письма с физическими проверками. 64 (19): 2215–2218. Bibcode:1990ПхРвЛ..64.2215С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.64.2215. ISSN 0031-9007. PMID 10041617.

[16] Пономаренко, Л. А .; Щедин, Ф .; Katsnelson, M. I .; Yang, R .; Hill, E.W .; Новоселов, К. С .; Гейм, А. К. (18 апреля 2008 г.). "Хаотический бильярд Дирака в графеновых квантовых точках". Наука. 320 (5874): 356–358. arXiv:0801.0160. Bibcode:2008Научный ... 320..356P. Дои:10.1126 / science.1154663. ISSN 0036-8075. PMID 18420930.

[17] Берд, Джонатан П., изд. (2003). Электронный транспорт в квантовых точках. Дои:10.1007/978-1-4615-0437-5. ISBN 978-1-4020-7459-2.

[18] Чен, Шаовэнь; Хан, Чжэн; Элахи, Мирза М .; Хабиб, К. М. Масум; Ван, Лэй; Вен, Бо; Гао, Юанда; Танигучи, Такаши; Ватанабэ, Кендзи; Хон, Джеймс; Гош, Авик В. (30 сентября 2016 г.). «Электронная оптика с p-n-переходами в баллистическом графене». Наука. 353 (6307): 1522–1525. arXiv:1602.08182. Bibcode:2016Научный ... 353.1522C. Дои:10.1126 / science.aaf5481. ISSN 0036-8075. PMID 27708099.

[19] Weiss, D .; Roukes, M. L .; Меншиг, А .; Grambow, P .; von Klitzing, K .; Вейманн, Г. (1991-05-27). «Электронный пинбол и соразмерные орбиты в периодическом массиве рассеивателей» (PDF). Письма с физическими проверками. 66 (21): 2790–2793. Bibcode:1991PhRvL..66.2790W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.66.2790. ISSN 0031-9007. PMID 10043617.

[20] Дацерис, Джордж; Гейзель, Тео; Флейшманн, Рагнар (30 апреля 2019 г.). «Устойчивость баллистического транспорта в сверхрешетках антиточек». Новый журнал физики. 21 (4): 043051. Bibcode:2019NJPh ... 21d3051D. Дои:10.1088 / 1367-2630 / ab19cc. ISSN 1367-2630.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

Динамический бильярд - Dynamical billiards

Содержание

Уравнения движения

Известные классы бильярда и бильярда

Бильярд Адамара

Бильярд Артина

Диспергирующий и полурассеивающий бильярд

Газ Лоренца, он же Синайский бильярд

Бунимович стадион

Магнитный бильярд

Обобщенный бильярд

Квантовый хаос

Приложения

Программного обеспечения

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Бильярд Синая

Странный бильярд

Стадион Бунимовича

Обобщенный бильярд

внешняя ссылка