Динамическая система Адамара - Википедия - Hadamards dynamical system

В физика и математика, то Динамическая система Адамара (также называемый Бильярд Адамара или Модель Адамара – Гуцвиллера^[1]) это хаотичный динамическая система, тип динамический бильярд. Представлен Жак Адамар в 1898 г.,^[2] и изучен Мартин Гуцвиллер в 80-е годы^[3][4] это первая динамическая система, которая будет доказана хаотичный.

Система учитывает движение свободного (без трения ) частица на Поверхность Больца, т.е. двумерная поверхность рода два (бублик с двумя дырками) и постоянная отрицательная кривизна; это компактный Риманова поверхность. Адамару удалось показать, что траектории каждой частицы удаляются друг от друга: что все траектории имеют положительный Показатель Ляпунова.

Франк Штайнер утверждает, что исследование Адамара следует рассматривать как первое в истории исследование хаотической динамической системы и что Адамара следует рассматривать как первого исследователя хаоса.^[5] Он отмечает, что исследование получило широкое распространение, и рассматривает влияние идей на мышление людей. Альберт Эйнштейн и Эрнст Мах.

Система особенно важна тем, что в 1963 г. Яков Синай, в изучении Бильярд Синая в качестве модели классического ансамбля газа Больцмана – Гиббса, смог показать, что движение атомов в газе следует траекториям в динамической системе Адамара.

Экспозиция

Исследуемое движение представляет собой движение свободной частицы, скользящей по поверхности без трения, а именно частицы, имеющей Гамильтониан

${ displaystyle H (p, q) = { frac {1} {2m}} p_ {i} p_ {j} g ^ {ij} (q)}$

куда м - масса частицы, ${ Displaystyle д ^ {я}}$, ${ displaystyle i = 1,2}$ - координаты на многообразии, ${ displaystyle p_ {i}}$ являются сопряженные импульсы:

${ displaystyle p_ {i} = mg_ {ij} { frac {dq ^ {j}} {dt}}}$

и

${ displaystyle ds ^ {2} = g_ {ij} (q) dq ^ {i} dq ^ {j} ,}$

это метрический тензор на коллекторе. Поскольку это гамильтониан свободных частиц, решение Уравнения движения Гамильтона – Якоби. просто даны геодезические на коллекторе.

Адамару удалось показать, что все геодезические нестабильны, поскольку все они экспоненциально расходятся друг от друга, как ${ displaystyle e ^ { lambda t}}$ с положительным Показатель Ляпунова

${ displaystyle lambda = { sqrt { frac {2E} {mR ^ {2}}}}}$

с E энергия траектории, и ${ Displaystyle К = -1 / R ^ {2}}$ постоянная отрицательная кривизна поверхности.

Рекомендации