Экспоненциальный спад - Exponential decay

Величина, подверженная экспоненциальному убыванию. Чем больше константа распада, тем быстрее величина исчезает. Этот график показывает затухание постоянной затухания (λ) 25, 5, 1, 1/5 и 1/25 для x от 0 до 5.

Количество зависит от экспоненциальный спад если он уменьшается со скоростью пропорциональный к его текущему значению. Символически этот процесс можно выразить следующим дифференциальным уравнением, где N это количество и λ (лямбда) - это положительный коэффициент, называемый постоянная экспоненциального затухания:

{ displaystyle { frac {dN} {dt}} = - lambda N.}

Решение этого уравнения (см. происхождение ниже) это:

{ Displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- lambda t},}

куда N(т) - количество во время т, N₀ = N(0) - начальная величина, то есть величина в момент времени т = 0, а постоянная λ называется постоянная распада, постоянная дезинтеграции,^[1] константа скорости,^[2] или же постоянная трансформации.^[3]

Измерение скорости распада

Средняя продолжительность жизни

Если убывающее количество, N(т), - количество дискретных элементов в некотором набор, можно вычислить среднюю продолжительность времени, в течение которого элемент остается в наборе. Это называется средняя продолжительность жизни (или просто продолжительность жизни), где экспоненциальный постоянная времени, ${ Displaystyle тау}$ , связана со скоростью распада λ следующим образом:

{ displaystyle tau = { frac {1} { lambda}}.}

Среднее время жизни можно рассматривать как «масштабное время», потому что уравнение экспоненциального распада можно записать в терминах среднего времени жизни: ${ Displaystyle тау}$ вместо постоянной распада λ:

{ Displaystyle N (т) = N_ {0} е ^ {- т / тау},}

и это ${ Displaystyle тау}$ это время, когда население сборки сокращается до 1/е ≈ 0.367879441 умноженное на его начальное значение.

Например, если начальное заполнение сборки, N(0), равно 1000, то численность населения в момент времени ${ Displaystyle тау}$ , ${ Displaystyle N ( тау)}$ , это 368.

Очень похожее уравнение будет показано ниже, которое возникает, когда основание экспоненты выбирается равным 2, а не е. В этом случае время масштабирования - это «период полураспада».

Период полураспада

Более интуитивной характеристикой экспоненциального убывания для многих людей является время, необходимое для того, чтобы распадающаяся величина упала до половины своего первоначального значения. Это время называется период полураспада, и часто обозначается символом т_1/2. Период полураспада может быть записан в терминах постоянной распада или среднего времени жизни как:

{ displaystyle t_ {1/2} = { frac { ln (2)} { lambda}} = tau ln (2).}

Когда это выражение вставлено для ${ Displaystyle тау}$ в экспоненциальном уравнении, приведенном выше, и ln 2 поглощается базой, это уравнение принимает вид:

{ Displaystyle N (т) = N_ {0} 2 ^ {- т / т_ {1/2}}. ,}

Таким образом, осталось 2 штуки.⁻¹ = 1/2, возведенное в число (целое или дробное) количество прошедших периодов полураспада. Таким образом, после 3 периодов полураспада будет 1/2³ = 1/8 оставшегося исходного материала.

Следовательно, среднее время жизни ${ Displaystyle тау}$ равно периоду полураспада, деленному на натуральный логарифм 2, или:

{ displaystyle tau = { frac {t_ {1/2}} { ln (2)}} приблизительно 1,44 cdot t_ {1/2}.}

Например. полоний -210 имеет период полураспада 138 дней и средний срок жизни 200 дней.

Решение дифференциального уравнения

Уравнение, описывающее экспоненциальный распад:

{ displaystyle { frac {dN} {dt}} = - lambda N}

или, переставляя (применяя технику, называемую разделение переменных ),

{ displaystyle { frac {dN} {N}} = - lambda dt.}

Интегрируя, мы имеем

{ Displaystyle пер N = - лямбда т + С ,}

где C - постоянная интеграции, и поэтому

{ Displaystyle N (T) = e ^ {C} e ^ {- lambda t} = N_ {0} e ^ {- lambda t} ,}

где заключительная замена, N₀ = е^C, получается вычислением уравнения при т = 0, поскольку N₀ определяется как количество при т = 0.

Это форма уравнения, которая чаще всего используется для описания экспоненциального затухания. Для характеристики распада достаточно любого из значений постоянной распада, среднего времени жизни или периода полураспада. Обозначение λ для постоянной распада является остатком обычных обозначений для собственное значение. В этом случае λ - собственное значение отрицательный из дифференциальный оператор с N(т) как соответствующий собственная функция. Единицы постоянной распада: s⁻¹^{[нужна цитата ]}.

Вывод среднего срока службы

Учитывая набор элементов, количество которых в конечном итоге уменьшается до нуля, средняя продолжительность жизни, ${ Displaystyle тау}$ , (также называемый просто продолжительность жизни) это ожидаемое значение количества времени до удаления объекта из сборки. В частности, если индивидуальная жизнь элемента сборки - это время, прошедшее между некоторым эталонным временем и удалением этого элемента из сборки, средний срок службы - это среднее арифметическое индивидуальных жизней.

Исходя из формулы численности населения

{ Displaystyle N = N_ {0} e ^ {- lambda t}, ,}

сначала позвольте c быть нормализующим коэффициентом для преобразования в функция плотности вероятности:

{ displaystyle 1 = int _ {0} ^ { infty} c cdot N_ {0} e ^ {- lambda t} , dt = c cdot { frac {N_ {0}} { lambda }}}

или, при перестановке,

{ displaystyle c = { frac { lambda} {N_ {0}}}.}

Экспоненциальный спад - это скалярное кратное из экспоненциальное распределение (т.е. индивидуальное время жизни каждого объекта распределено экспоненциально), который имеет известное ожидаемое значение. Мы можем вычислить это здесь, используя интеграция по частям.

{ displaystyle tau = langle t rangle = int _ {0} ^ { infty} t cdot c cdot N_ {0} e ^ {- lambda t} , dt = int _ {0 } ^ { infty} lambda te ^ {- lambda t} , dt = { frac {1} { lambda}}.}.}

Распад двумя или более процессами

Количество может распадаться одновременно в результате двух или более различных процессов. В общем, эти процессы (часто называемые "режимами распада", "каналами распада", "путями распада" и т. Д.) Имеют разные вероятности протекания и, таким образом, происходят с разной скоростью с разными периодами полураспада, параллельно. Суммарная скорость распада количестваN дается сумма путей распада; таким образом, в случае двух процессов:

{ displaystyle - { frac {dN (t)} {dt}} = N lambda _ {1} + N lambda _ {2} = ( lambda _ {1} + lambda _ {2}) N .}

Решение этого уравнения дано в предыдущем разделе, где сумма ${ displaystyle lambda _ {1} + lambda _ {2} ,}$ рассматривается как новая постоянная полного распада ${ displaystyle lambda _ {c}}$ .

{ Displaystyle N (T) = N_ {0} e ^ {- ( lambda _ {1} + lambda _ {2}) t} = N_ {0} e ^ {- ( lambda _ {c}) t}.}

Частично средняя жизнь связанных с отдельными процессами, по определению мультипликативный обратный соответствующей парциальной постоянной распада: ${ Displaystyle тау = 1 / лямбда}$ . Комбинированный ${ displaystyle tau _ {c}}$ может быть дано в терминах ${ displaystyle lambda}$ s:

{ displaystyle { frac {1} { tau _ {c}}} = lambda _ {c} = lambda _ {1} + lambda _ {2} = { frac {1} { tau _ {1}}} + { frac {1} { tau _ {2}}}}

{ displaystyle tau _ {c} = { frac { tau _ {1} tau _ {2}} { tau _ {1} + tau _ {2}}}.}

Поскольку период полураспада отличается от средней продолжительности жизни ${ Displaystyle тау}$ с постоянным коэффициентом то же самое уравнение выполняется в терминах двух соответствующих периодов полураспада:

{ displaystyle T_ {1/2} = { frac {t_ {1} t_ {2}} {t_ {1} + t_ {2}}}}

куда ${ displaystyle T_ {1/2}}$ это комбинированный или общий период полураспада для процесса, ${ displaystyle t_ {1}}$ и ${ displaystyle t_ {2}}$ так называемые частичный период полураспада соответствующих процессов. Термины «частичный период полураспада» и «частичный средний срок жизни» обозначают количества, полученные из константы распада, как если бы данная мода распада была единственной модой распада для количества. Термин «частичный период полураспада» вводит в заблуждение, поскольку его нельзя измерить как интервал времени, в течение которого определенная величина вдвое.

С точки зрения отдельных констант распада общий период полураспада ${ displaystyle T_ {1/2}}$ можно показать как

{ displaystyle T_ {1/2} = { frac { ln 2} { lambda _ {c}}} = { frac { ln 2} { lambda _ {1} + lambda _ {2} }}.}

Для распада в результате трех одновременных экспоненциальных процессов общий период полураспада можно вычислить, как указано выше:

{ displaystyle T_ {1/2} = { frac { ln 2} { lambda _ {c}}} = { frac { ln 2} { lambda _ {1} + lambda _ {2} + lambda _ {3}}} = { frac {t_ {1} t_ {2} t_ {3}} {(t_ {1} t_ {2}) + (t_ {1} t_ {3}) + (t_ {2} t_ {3})}}.}

Серия распадов / спаренный распад

В ядерная наука и фармакокинетика, интересующий агент может быть расположен в цепочке распада, где накопление регулируется экспоненциальным распадом исходного агента, в то время как сам интересующий агент распадается посредством экспоненциального процесса.

Эти системы решаются с помощью Уравнение Бейтмана.

В условиях фармакологии некоторые проглоченные вещества могут всасываться в организм в результате процесса, который можно обоснованно смоделировать как экспоненциальный распад, или могут быть преднамеренно сформулирован иметь такой профиль выпуска.

Приложения и примеры

Экспоненциальное затухание происходит в самых разных ситуациях. Большинство из них относятся к сфере естественные науки.

Многие процессы распада, которые часто рассматриваются как экспоненциальные, на самом деле являются только экспоненциальными, пока образец большой и закон больших чисел держит. Для небольших образцов необходим более общий анализ с учетом Пуассоновский процесс.

Естественные науки

Химические реакции: В тарифы некоторых видов химические реакции зависят от концентрации того или иного реагент. Реакции, скорость которых зависит только от концентрации одного реагента (известных как реакции первого порядка ), следовательно, следует экспоненциальному убыванию. Например, многие фермент -катализированный реакции ведут себя так.
Электростатика: В электрический заряд (или, что то же самое, потенциал ) содержится в конденсатор (емкость C) изменяется экспоненциально, если конденсатор испытывает постоянное внешняя нагрузка (сопротивление р). Экспоненциальная постоянная времени τ для процесса равна р C, поэтому период полураспада р C ln2. Это относится как к зарядке, так и к разрядке, т. Е. Конденсатор заряжается или разряжается по одному и тому же закону. Те же уравнения можно применить к току в катушке индуктивности. (Более того, частный случай, когда конденсатор или катушка индуктивности меняются через несколько параллельно резисторы представляет собой интересный пример множественных процессов распада, когда каждый резистор представляет отдельный процесс. Фактически, выражение для эквивалентное сопротивление двух резисторов, включенных параллельно, отражает уравнение для периода полураспада с двумя процессами распада.)
Геофизика: Атмосферное давление уменьшается примерно экспоненциально с увеличением высоты над уровнем моря со скоростью около 12% на 1000 м.^{[нужна цитата ]}
Теплопередача: Если объект в одном температура подвергается воздействию среды с другой температурой, разница температур между объектом и средой следует экспоненциальному спаду (в пределе медленных процессов; эквивалент «хорошей» теплопроводности внутри объекта, так что его температура остается относительно однородной по всему объему ). Смотрите также Закон охлаждения Ньютона.
Люминесценция: После возбуждения интенсивность излучения люминесцентного материала, пропорциональная количеству возбужденных атомов или молекул, спадает экспоненциально. В зависимости от числа задействованных механизмов распад может быть моно- или многоэкспоненциальным.
Фармакология и токсикология: Установлено, что многие вводимые вещества распределяются и метаболизируется (видеть оформление ) по экспоненциальной схеме затухания. В биологический период полураспада "Период полураспада альфа" и "период полураспада бета" вещества измеряет, насколько быстро вещество распределяется и выводится.
Физическая оптика: Интенсивность электромагнитное излучение такие как свет, рентгеновские лучи или гамма-лучи в поглощающей среде, следует экспоненциальному уменьшению с расстоянием до поглощающей среды. Это известно как Бир-Ламберт закон.
Радиоактивность: В образце радионуклид что проходит радиоактивный распад В другое состояние количество атомов в исходном состоянии следует экспоненциальному распаду, пока оставшееся количество атомов велико. Продукт распада называется радиогенный нуклид.
Термоэлектричество: Снижение сопротивления отрицательного температурного коэффициента Термистор при повышении температуры.
Вибрации: Некоторые колебания могут затухать экспоненциально; эта характеристика часто встречается в демпфированные механические осцилляторы, и используется при создании Конверты ADSR в синтезаторы. An чрезмерно демпфированный система просто вернется в состояние равновесия через экспоненциальный спад.
Пивная пена: Арнд Лейке из Мюнхенский университет Людвига-Максимилиана, выиграл Шнобелевская премия для демонстрации этого пиво пена подчиняется закону экспоненциального затухания.^[4]

Социальные науки

Финансы: пенсионный фонд будет экспоненциально распадаться из-за дискретных сумм выплат, обычно ежемесячных, и постоянной процентной ставки. Дифференциальное уравнение dA / dt = вход - выход может быть записано и решено, чтобы найти время для достижения любой суммы A, остающейся в фонде.
В простом глоттохронология, То (спорно) предположение о скорости затухания постоянной в языках позволяет оценить возраст отдельных языков. (Чтобы вычислить время разделения между два языков требует дополнительных предположений, независимых от экспоненциального убывания).

Информатика

Ядро протокол маршрутизации на Интернет, BGP, должен поддерживать таблица маршрутизации чтобы запомнить пути пакет можно отклониться на. Когда один из этих путей неоднократно меняет свое состояние с имеется в наличии к нет в наличии (и наоборот), BGP маршрутизатор контроль этого пути должен многократно добавлять и удалять запись пути из своей таблицы маршрутизации (закрылки путь), тратя таким образом местные ресурсы, такие как ЦПУ и баран и, более того, широковещательная передача бесполезной информации одноранговым маршрутизаторам. Чтобы предотвратить такое нежелательное поведение, алгоритм под названием демпфирование колебаний маршрута присваивает каждому маршруту вес, который увеличивается каждый раз, когда маршрут меняет свое состояние, и экспоненциально затухает со временем. Когда вес достигает определенного предела, взмахи больше не производятся, тем самым подавляя маршрут.

Графики, сравнивающие времена удвоения и периоды полураспада экспоненциального роста (жирные линии) и распада (слабые линии), и их 70 /т и 72 /т приближения. в Версия SVG, наведите указатель мыши на график, чтобы выделить его и его дополнение.

Смотрите также

Экспоненциальная формула
Экспоненциальный рост
Радиоактивный распад для математики цепочек экспоненциальных процессов с разными константами

Примечания

^ Сервей (1989, п. 384)
^ Симмонс (1972), п. 15)
^ Макгроу-Хилл (2007)
^ Лейке, А. (2002). «Демонстрация экспоненциального закона затухания на пивной пене». Европейский журнал физики. 23 (1): 21–26. Bibcode:2002EJPh ... 23 ... 21л. CiteSeerX 10.1.1.693.5948. Дои:10.1088/0143-0807/23/1/304.

внешняя ссылка

[1] Сервей (1989, п. 384)

[2] Симмонс (1972), п. 15)

[3] Макгроу-Хилл (2007)

[4] Лейке, А. (2002). «Демонстрация экспоненциального закона затухания на пивной пене». Европейский журнал физики. 23 (1): 21–26. Bibcode:2002EJPh ... 23 ... 21л. CiteSeerX 10.1.1.693.5948. Дои:10.1088/0143-0807/23/1/304.

[1]

[2]

[3]

[4]