Эргодичность - Ergodicity

В математика, эргодичность выражает идею о том, что точка движущейся системы либо динамическая система или случайный процесс, в конечном итоге посетит все части пространства, в котором движется система, в единообразном и случайном смысле. Это означает, что среднее поведение системы можно вывести из траектория «типовой» точки. Точно так же достаточно большой набор случайных выборок из процесса может представлять среднестатистические свойства всего процесса. Эргодичность - свойство системы; это заявление о том, что система не может быть сокращена или разложена на более мелкие компоненты. Эргодическая теория это исследование систем, обладающих эргодичностью.

Эргодические системы встречаются в широком диапазоне систем в физика И в геометрия. Грубо говоря, это связано с общим явлением: движением частиц, то есть геодезические на гиперболическое многообразие расходятся; когда это многообразие компактный, то есть конечного размера, эти орбиты вернуться в то же место, в итоге заполняя все пространство.

Эргодические системы улавливают здравые повседневные представления о случайности, например, что дым может заполнять всю задымленную комнату, или что металлический блок может в конечном итоге иметь одинаковую температуру повсюду, или что честная монета может выпадать орлом и решкой в ​​половине случаев. Более сильное понятие, чем эргодичность, - это понятие смешивание, цель которого - математически описать общие понятия смешивания, такие как смешивание напитков или смешивание ингредиентов для приготовления пищи.

Правильная математическая формулировка эргодичности основана на формальных определениях теория меры и динамические системы, а точнее, о понятии сохраняющая меру динамическая система. Истоки эргодичности лежат в статистическая физика, куда Людвиг Больцманн сформулировал эргодическая гипотеза.

Неформальное объяснение

Эргодичность возникает в широких пределах в физика и математика. Все эти настройки объединены общим математическим описанием сохраняющая меру динамическая система. Неформальное описание этого и определение эргодичности по отношению к нему дается непосредственно ниже. Далее следует описание эргодичности в случайные процессы. Это одно и то же, несмотря на то, что в них используются совершенно разные обозначения и язык. Обзор эргодичности в физике и в геометрия следует. Во всех случаях понятие эргодичности точно то же, что и для динамических систем; нет никакой разницы, за исключением мировоззрения, обозначений, стиля мышления и журналов, в которых публикуются результаты.

Сохраняющие меру динамические системы

Математическое определение эргодичности направлено на улавливание обычных повседневных представлений о случайность. Сюда входят идеи о системах, которые движутся таким образом, чтобы (в конечном итоге) заполнять все пространство, например распространение и Броуновское движение, а также здравые понятия о смешивании, такие как смешивание красок, напитков, ингредиентов для приготовления пищи, смешивание в промышленных процессах, дым в задымленном помещении, пыль в Кольца Сатурна и так далее. Чтобы обеспечить прочную математическую основу, описание эргодических систем начинается с определения сохраняющая меру динамическая система. Это записывается как ${ displaystyle (X, { mathcal {A}}, mu, T).}$

Набор ${ displaystyle X}$ под общим объемом заполняемого пространства: чаша для смешивания, задымленная комната, и Т. Д. В мера ${ displaystyle mu}$ понимается как определение естественного объем пространства ${ displaystyle X}$ и его подпространств. Набор подпространств обозначается ${ displaystyle { mathcal {A}}}$, и размер любого заданного подмножество ${ Displaystyle A подмножество X}$ является ${ Displaystyle му (А)}$; размер - это его объем. Наивно можно было представить ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ быть набор мощности из ${ displaystyle X}$; это не совсем работает, поскольку не все подмножества пространства имеют том (как известно, Парадокс Банаха-Тарского ). Таким образом, условно ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ состоит из измеримых подмножеств - подмножеств, у которых есть объем. Всегда считается Набор Бореля - набор подмножеств, которые можно построить, взяв перекрестки, союзы и набор дополнений; их всегда можно измерить.

Временная эволюция системы описывается карта ${ displaystyle T: X to X}$. Учитывая некоторое подмножество ${ Displaystyle A подмножество X}$, его карта ${ Displaystyle Т (А)}$ будет вообще деформированной версией ${ displaystyle A}$ - он раздавлен или растянут, сложен или разрезан на части. Математические примеры включают карта пекаря и карта подковы оба вдохновлены хлеб -изготовление. Набор ${ Displaystyle Т (А)}$ должен иметь такой же объем, как ${ displaystyle A}$; сжатие / растяжение не изменяет объем пространства, а только его распределение. Такая система «сохраняет меру» (сохраняет площадь, сохраняет объем).

Формальная трудность возникает, когда кто-то пытается согласовать объем множеств с необходимостью сохранить их размер под картой. Проблема возникает из-за того, что, как правило, несколько разных точек в области определения функции могут отображаться в одну и ту же точку в ее диапазоне; то есть может быть ${ Displaystyle х neq y}$ с ${ Displaystyle Т (х) = Т (у)}$. Хуже того, одна точка ${ displaystyle x in X}$ не имеет размера. Этих трудностей можно избежать, работая с обратной картой. ${ displaystyle T ^ {- 1}: { mathcal {A}} to { mathcal {A}}}$; он отобразит любое заданное подмножество ${ Displaystyle A подмножество X}$ к деталям, которые были собраны, чтобы сделать это: эти части ${ displaystyle T ^ {- 1} (A) in { mathcal {A}}}$. У него есть важное свойство - не терять из виду, откуда пришли вещи. Более того, он обладает важным свойством: любой (сохраняющая меру) карта ${ displaystyle { mathcal {A}} to { mathcal {A}}}$ является инверсией некоторого отображения ${ displaystyle X to X}$. Правильное определение карты, сохраняющей объем, - это такое, для которого ${ Displaystyle му (А) = му (T ^ {- 1} (А))}$ потому что ${ displaystyle T ^ {- 1} (А)}$ описывает все части-части, которые ${ displaystyle A}$ пришли из.

Теперь каждый заинтересован в изучении эволюции системы во времени. Если набор ${ displaystyle A in { mathcal {A}}}$ в конце концов приходит, чтобы заполнить все ${ displaystyle X}$ в течение длительного периода времени (то есть, если ${ Displaystyle Т ^ {п} (А)}$ подходит ко всем ${ displaystyle X}$ для больших ${ displaystyle n}$) система называется эргодический. Если каждый набор ${ displaystyle A}$ ведет себя таким образом, система является консервативная система, помещенный в отличие от диссипативная система, где некоторые подмножества ${ displaystyle A}$ блуждать, к которому никогда не нужно возвращаться. Примером может быть вода, текущая под гору - если она стечет, она никогда больше не вернется. Однако озеро, которое образуется на дне этой реки, может быть хорошо перемешанным. В теорема об эргодическом разложении утверждает, что каждая эргодическая система может быть разделена на две части: консервативную часть и диссипативную часть.

Смешивание более сильное утверждение, чем эргодичность. Смешивание требует, чтобы это эргодическое свойство сохранялось между любыми двумя наборами. ${ displaystyle A, B}$, а не только между набором ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle X}$. То есть, учитывая любые два набора ${ displaystyle A, B in { mathcal {A}}}$, система называется (топологически) перемешивающей, если существует целое число ${ displaystyle N}$ такое, что для всех ${ displaystyle A, B}$ и ${ displaystyle n> N}$, есть это ${ displaystyle T ^ {n} (A) cap B neq varnothing}$. Здесь, ${ displaystyle cap}$ обозначает установить пересечение и ${ displaystyle varnothing}$ это пустой набор. Другие понятия перемешивания включают сильное и слабое перемешивание, которые описывают представление о том, что смешанные вещества смешиваются повсюду в равных пропорциях. Это может быть нетривиально, как показывает практический опыт попыток смешивания липких, липких веществ.

Эргодические процессы

Приведенное выше обсуждение обращается к физическому смыслу объема. Объем не обязательно должен быть буквально какой-то частью 3D пространство; это может быть какой-то абстрактный объем. Обычно это имеет место в статистических системах, где объем (мера) определяется вероятностью. Общий объем соответствует единице вероятности. Это соответствие работает, потому что аксиомы из теория вероятности идентичны таковым из теория меры; эти Аксиомы Колмогорова.

Идея тома может быть очень абстрактной. Рассмотрим, например, множество всех возможных подбрасываний монеты: множество бесконечных последовательностей орла и решки. Присваивая этому пространству объем 1, становится ясно, что половина всех таких последовательностей начинается с орла, а половина - с решки. Можно разрезать этот объем и другими способами: можно сказать: «Меня не волнует первый ${ displaystyle n-1}$ монетки; но я хочу ${ displaystyle n}$'th из них быть головами, и тогда меня не волнует, что будет после этого ". Это можно записать как набор ${ displaystyle (*, cdots, *, h, *, cdots)}$ куда ${ displaystyle *}$ это "все равно" и ${ displaystyle h}$ это «головы». Объем этого пространства снова (очевидно!) Половинный.

Сказанного выше достаточно, чтобы построить динамическую систему, сохраняющую меру, в целом. Наборы ${ displaystyle h}$ или же ${ displaystyle t}$ происходящее в ${ displaystyle n}$ое место называется комплекты цилиндров. Множество всех возможных пересечений, объединений и дополнений наборов цилиндров затем образуют Набор Бореля ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ определено выше. Формально цилиндрические наборы образуют основание для топология на Космос ${ displaystyle X}$ всех возможных монеток бесконечной длины. Мера ${ displaystyle mu}$ обладает всеми свойствами здравого смысла, на которые можно надеяться: мера набора цилиндров с ${ displaystyle h}$ в ${ displaystyle m}$позиция, и ${ displaystyle t}$ в ${ displaystyle k}$Очевидно, что позиция 1/4 и так далее. Эти свойства здравого смысла сохраняются для набора-дополнения и набора-объединения: все, кроме ${ displaystyle h}$ и ${ displaystyle t}$ в местах ${ displaystyle m}$ и ${ displaystyle k}$ очевидно имеет объем 3/4. Все вместе они составляют аксиомы сигма-аддитивная мера; динамические системы, сохраняющие меру, всегда используют сигма-аддитивные меры. Для подбрасывания монеты эта мера называется Мера Бернулли.

Для процесса подбрасывания монеты оператор временной эволюции ${ displaystyle T}$ это оператор смены который гласит: «выбросьте первый подбрасывание монеты, а остальные оставьте себе». Формально, если ${ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, cdots)}$ последовательность подбрасываний монеты, то ${ Displaystyle T (x_ {1}, x_ {2}, cdots) = (x_ {2}, x_ {3}, cdots)}$. Мера, очевидно, инвариантна относительно сдвига: пока мы говорим о некотором множестве ${ displaystyle A in { mathcal {A}}}$ где первый подбрасывание монеты ${ displaystyle x_ {1} = *}$ значение "безразлично", тогда громкость ${ Displaystyle му (А)}$ не меняется: ${ Displaystyle му (А) = му (Т (А))}$. Чтобы не говорить о первом подбрасывании монеты, проще определить ${ displaystyle T ^ {- 1}}$ как вставку значения "безразлично" в первую позицию: ${ displaystyle T ^ {- 1} (x_ {1}, x_ {2}, cdots) = (*, x_ {1}, x_ {2}, cdots)}$. С этим определением очевидно, что ${ Displaystyle му (Т ^ {- 1} (А)) = му (А)}$ без ограничений на ${ displaystyle A}$. Это снова пример того, почему ${ displaystyle T ^ {- 1}}$ используется в формальных определениях.

Приведенная выше разработка берет случайный процесс, процесс Бернулли, и преобразует его в сохраняющую меру динамическую систему. ${ displaystyle (X, { mathcal {A}}, mu, T).}$ Такое же преобразование (эквивалентность, изоморфизм) можно применить к любому случайный процесс. Таким образом, неформальное определение эргодичности состоит в том, что последовательность эргодична, если она посещает все ${ displaystyle X}$; такие последовательности «типичны» для процесса. Другой заключается в том, что его статистические свойства могут быть выведены из единственной достаточно длинной случайной выборки процесса (таким образом, равномерно выборка всех ${ displaystyle X}$), или что любой набор случайных выборок из процесса должен представлять средние статистические свойства всего процесса (то есть выборки, взятые единообразно из ${ displaystyle X}$ являются представителями ${ displaystyle X}$ в целом.) В данном примере последовательность подбрасываний монеты, где половина - орел, а половина - решка, является «типичной» последовательностью.

В отношении процесса Бернулли необходимо сделать несколько важных моментов. Если написать 0 для решки и 1 для орла, получится набор всех бесконечных строк двоичных цифр. Они соответствуют разложению по основанию два действительные числа. Явно, учитывая последовательность ${ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, cdots)}$, соответствующее действительное число

${ displaystyle y = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x_ {n}} {2 ^ {n}}}}$

Утверждение, что процесс Бернулли эргодичен, эквивалентно утверждению, что действительные числа распределены равномерно. Набор всех таких строк можно записать разными способами: ${ Displaystyle {ч, т } ^ { infty} = {ч, т } ^ { omega} = {0,1 } ^ { omega} = 2 ^ { omega} = 2 ^ { mathbb {N}}.}$ Этот набор является Кантор набор, иногда называемый Канторовское пространство чтобы избежать путаницы с функцией Кантора

${ displaystyle C (x) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x_ {n}} {3 ^ {n}}}}$

В конце концов, это все «одно и то же».

Набор Кантора играет ключевую роль во многих областях математики. В развлекательной математике он лежит в основе фракталы удвоения периода; в анализ, он фигурирует в большом количестве теорем. Ключевым для случайных процессов является Разложение Вольда, в котором говорится, что любой стационарный процесс можно разложить на пару некоррелированных процессов, один из которых детерминирован, а другой процесс скользящего среднего.

В Теорема об изоморфизме Орнштейна утверждает, что любой стационарный случайный процесс эквивалентен Схема Бернулли (процесс Бернулли с Nодносторонний (и, возможно, несправедливый) игра умирает ). Другие результаты включают в себя то, что каждая недиссипативная эргодическая система эквивалентна Марковский одометр, иногда называемый «счетной машиной», потому что он выглядит как дополнение начальной школы, то есть взятие базовогоN последовательность цифр, добавление единицы и распространение битов переноса. Доказательство эквивалентности очень абстрактно; понимания результата нет: добавляя единицу на каждом временном шаге, проверяется каждое возможное состояние одометра, пока он не перевернется и не запустится снова. Точно так же эргодические системы единообразно посещают каждое состояние, переходя к следующему, пока все они не будут посещены.

Системы, порождающие (бесконечные) последовательности N буквы изучаются с помощью символическая динамика. Важные особые случаи включают подсдвиги конечного типа и мягкие системы.

Эргодичность в физике

Физические системы можно разделить на три категории: классическая механика, который описывает машины с конечным числом движущихся частей, квантовая механика, описывающий структуру атомов, и статистическая механика, который описывает газы, жидкости, твердые тела; Это включает в себя физика конденсированного состояния. Случай классической механики обсуждается в следующем разделе, посвященном эргодичности геометрии. Что же касается квантовой механики, хотя существует концепция квантовый хаос, нет четкого определения эргодичности; что это могло быть, горячо обсуждается. В этом разделе рассматривается эргодичность статистической механики.

Приведенное выше абстрактное определение объема требуется как подходящая установка для определений эргодичности в физика. Рассмотрим контейнер жидкость, или же газ, или же плазма, или другой сборник атомы или же частицы. Каждая частица ${ displaystyle x_ {i}}$ имеет трехмерное положение и трехмерную скорость и, таким образом, описывается шестью числами: точка в шестимерном пространстве ${ displaystyle mathbb {R} ^ {6}.}$ Если есть ${ displaystyle N}$ этих частиц в системе полное описание требует ${ displaystyle 6N}$ числа. Любая система - это всего лишь одна точка в ${ displaystyle mathbb {R} ^ {6N}.}$ Физическая система - это еще не все ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {6N}}$, конечно; если это коробка ширины, высоты и длины ${ Displaystyle W раз H раз L}$ тогда точка в ${ displaystyle (W times H times L times mathbb {R} ^ {3}) ^ {N}.}$ Скорости не могут быть бесконечными: они масштабируются некоторой вероятностной мерой, например Мера Больцмана – Гиббса для газа. Тем не менее, для ${ displaystyle N}$ рядом с Число Авогадро, это, очевидно, очень большое пространство. Это пространство называется канонический ансамбль.

Физическая система называется эргодической, если какая-либо репрезентативная точка системы в конечном итоге посещает весь объем системы. В приведенном выше примере это означает, что любой данный атом не только посещает каждую часть коробки. ${ Displaystyle W раз H раз L}$ с равномерной вероятностью, но он делает это со всеми возможными скоростями, с вероятностью, заданной распределением Больцмана для этой скорости (то есть однородным по этой мере). В эргодическая гипотеза утверждает, что физические системы на самом деле эргодичны. Действуют множественные временные шкалы: газы и жидкости кажутся эргодичными в коротких временных масштабах. Эргодичность твердого тела можно рассматривать с точки зрения колебательные режимы или же фононы, поскольку очевидно, что атомы в твердом теле не меняются местами. Очки бросить вызов эргодической гипотезе; Предполагается, что масштабы времени составляют миллионы лет, но результаты спорны. Спиновые очки представляют особые трудности.

Трудно найти формальные математические доказательства эргодичности статистической физики; большинство многомерных систем многих тел считается эргодическим без математических доказательств. Исключения включают динамический бильярд, какая модель бильярдный шар столкновения атомов в идеальный газ или плазма. Первая теорема об эргодичности твердых сфер была для Бильярд Синая, который рассматривает два шара, один из которых считается неподвижным, в начале координат. Когда второй шар сталкивается, он удаляется; применяя периодические граничные условия, он снова возвращается, чтобы столкнуться. Апеллируя к однородности, это возвращение «второго» шара вместо этого можно принять за «просто какой-то другой атом», который попал в зону действия и движется, чтобы столкнуться с атомом в начале координат (что можно считать просто «любой другой атом».) Это одно из немногих существующих формальных доказательств; нет эквивалентных заявлений например для атомов в жидкости, взаимодействующих через силы Ван дер Ваальса, даже если было бы разумно полагать, что такие системы эргодичны (и смешиваются). Однако можно привести более точные физические аргументы.

Эргодичность в геометрии

Эргодичность - широко распространенное явление при изучении Римановы многообразия. Краткая последовательность примеров, от простых до сложных, иллюстрирует этот момент. Все перечисленные ниже системы доказали свою эргодичность с помощью строгих формальных доказательств. В иррациональное вращение круга эргодичен: орбита точки такова, что в конечном итоге посещаются все остальные точки круга. Такие повороты являются частным случаем карта интервалов обмена. В бета-расширения числа являются эргодическими: бета-разложения действительного числа выполняются не в базовомN, но в базе-${ displaystyle beta}$ для некоторых ${ displaystyle beta.}$ Отраженная версия бета-расширения: карта палатки; существует множество других эргодических отображений единичного интервала. Переходя к двум измерениям, арифметический бильярд с иррациональными углами эргодичны. Можно также взять плоский прямоугольник, раздавить его, разрезать и собрать заново; это уже упомянутый карта пекаря. Его точки могут быть описаны набором бибесконечных строк из двух букв, то есть простирающихся как влево, так и вправо; как таковой, он выглядит как две копии процесса Бернулли. Если во время сдавливания деформируется вбок, получается Карта кошек Арнольда. В большинстве случаев карта кошки является прототипом любого другого подобного преобразования.

Для неплоских поверхностей имеем геодезический поток любой отрицательно изогнутой компактная риманова поверхность эргодичен. Поверхность «компактна» в том смысле, что она имеет конечную площадь поверхности. Геодезический поток - это обобщение идеи движения по "прямой линии" по искривленной поверхности: такие прямые геодезические. Один из самых ранних изученных случаев - Бильярд Адамара, описывающий геодезические на Поверхность Больца, топологически эквивалентен бублику с двумя дырками. Эргодичность можно продемонстрировать неформально, если у вас есть острие и какой-нибудь разумный пример бублика с двумя отверстиями: начиная с любого места и в любом направлении, человек пытается провести прямую линию; линейки для этого пригодятся. Не так уж и много времени, чтобы обнаружить, что человек не возвращается к исходной точке. (Конечно, это тоже можно объяснить кривым рисунком; поэтому у нас есть доказательства.)

Эти результаты распространяются на более высокие измерения. Геодезический поток для компактных с отрицательной кривизной Римановы многообразия эргодичен. Классическим примером этого является Аносов поток, какой поток орициклов на гиперболическое многообразие. Это можно рассматривать как своего рода Расслоение Хопфа. Такие потоки обычно возникают в классическая механика, что является исследованием в физика конечномерных движущихся машин, например то двойной маятник и так далее. Классическая механика построена на симплектические многообразия. Потоки в таких системах можно разложить на устойчивые и неустойчивые многообразия; как правило, когда это возможно, возникает хаотическое движение. Это общее можно увидеть, отметив, что котангенсный пучок из Риманово многообразие является (всегда) симплектическим многообразием; геодезический поток задается решением Уравнения Гамильтона – Якоби для этого коллектора. Что касается канонические координаты ${ Displaystyle (д, р)}$ на котангенсном многообразии Гамильтониан или же энергия дан кем-то

${ displaystyle H = { tfrac {1} {2}} sum _ {ij} g ^ {ij} (q) p_ {i} p_ {j}}$

с ${ displaystyle g ^ {ij}}$ (инверсия) метрический тензор и ${ displaystyle p_ {i}}$ то импульс. Сходство с кинетическая энергия ${ displaystyle E = { tfrac {1} {2}} мв ^ {2}}$ точечной частицы не случайно; в этом весь смысл называть такие вещи «энергией». В этом смысле хаотическое поведение с эргодическими орбитами является более или менее общим явлением на больших участках геометрии.

Результаты эргодичности представлены в поверхности перевода, гиперболические группы и систолическая геометрия. Методы включают изучение эргодические потоки, то Разложение Хопфа, а Теорема Амвросия – Какутани – Кренгеля – Кубо. Важным классом систем являются Аксиома А системы.

Получен ряд как классификационных, так и «антиклассификационных» результатов. В Теорема об изоморфизме Орнштейна применимо и здесь; опять же, он утверждает, что большинство этих систем изоморфны некоторым Схема Бернулли. Это довольно четко связывает эти системы с определением эргодичности, данным для случайного процесса в предыдущем разделе. В результатах антиклассификации указано, что существует более счетно бесконечный число неэквивалентных эргодических динамических систем, сохраняющих меру. Возможно, это не совсем неожиданно, поскольку можно использовать точки из набора Кантора для построения похожих, но разных систем. Видеть сохраняющая меру динамическая система для краткого обзора некоторых антиклассификационных результатов.

Историческое развитие

Идея эргодичности зародилась в области термодинамика, где необходимо было связать отдельные состояния молекул газа с температурой газа в целом и ее временной эволюцией. Для этого необходимо было указать, что именно означает хорошее смешивание газов, чтобы термодинамическое равновесие можно определить с помощью математическая строгость. Когда теория была хорошо развита в физика, он был быстро формализован и расширен, так что эргодическая теория долгое время была самостоятельной областью математики. В рамках этой прогрессии сосуществуют несколько несколько отличающихся друг от друга определений эргодичности и множество интерпретаций концепции в разных областях.

Например, в классическая физика термин означает, что система удовлетворяет эргодическая гипотеза из термодинамика,^[1] соответствующее пространство состояний позиция и импульсное пространство. В теория динамических систем пространство состояний обычно считается более общим фазовое пространство. С другой стороны, в теория кодирования пространство состояний часто дискретно как по времени, так и по состоянию, с менее сопутствующей структурой. Во всех этих областях идеи среднее время и средний по ансамблю также может перевозить дополнительный багаж - как и в случае со многими возможными термодинамически значимыми функции раздела используется для определения средние по ансамблю снова в физике. Таким образом, теоретико-мерная формализация концепции также служит объединяющей дисциплиной.

Этимология

Период, термин эргодический обычно считается происходящим от Греческий слова ἔργον (эргон: "работа и ὁδός (годос: "путь", "путь") по выбору Людвиг Больцманн пока он работал над проблемой в статистическая механика.^[2] В то же время он также считается производным от эргомонода, придуманный Больцманом в относительно малоизвестной статье 1884 года. Этимология, похоже, оспаривается и другими способами.^[3]

Определение для систем с дискретным временем

Формальное определение

Позволять ${ displaystyle (X, { mathcal {B}})}$ быть измеримое пространство. Если ${ displaystyle T}$ является измеримой функцией из ${ displaystyle X}$ себе и ${ displaystyle mu}$ а вероятностная мера на ${ displaystyle (X, { mathcal {B}})}$ тогда мы говорим, что ${ displaystyle T}$ является ${ displaystyle mu}$-эргодический или же ${ displaystyle mu}$ является эргодической мерой для ${ displaystyle T}$ если ${ displaystyle T}$ сохраняет ${ displaystyle mu}$ и выполняется следующее условие:

Для любого ${ displaystyle A in { mathcal {B}}}$ такой, что ${ displaystyle T ^ {- 1} (A) подмножество A}$ либо ${ Displaystyle му (А) = 0}$ или же ${ Displaystyle му (А) = 1}$.

Другими словами, нет ${ displaystyle T}$-инвариантные подмножества до меры 0 (относительно ${ displaystyle mu}$). Напомним, что ${ displaystyle T}$ сохранение ${ displaystyle mu}$ (или же ${ displaystyle mu}$ существование ${ displaystyle T}$-инвариантный ) Значит это ${ Displaystyle му (Т ^ {- 1} (А)) = му (А)}$ для всех ${ displaystyle A in { mathcal {B}}}$ (смотрите также Сохраняющая меру динамическая система ).

Примеры

Самый простой пример - когда ${ displaystyle X}$ - конечное множество и ${ displaystyle mu}$ то счетная мера. Тогда автокарта ${ displaystyle X}$ сохраняет ${ displaystyle mu}$ тогда и только тогда, когда это биекция, и она эргодична тогда и только тогда, когда ${ displaystyle T}$ есть только один орбита (то есть для каждого ${ displaystyle x, y in X}$ Существует ${ Displaystyle к в mathbb {N}}$ такой, что ${ Displaystyle у = Т ^ {к} (х)}$). Например, если ${ Displaystyle Х = {1,2, ldots, п }}$ затем цикл ${ Displaystyle (1 , 2 , cdots , п)}$ эргодичен, но перестановка ${ Displaystyle (1 , 2) (3 , 4 , cdots п)}$ не является (он имеет два инвариантных подмножества ${ displaystyle {1,2 }}$ и ${ Displaystyle {3,4, ldots, п }}$).

Эквивалентные составы

Приведенное выше определение допускает следующие немедленные переформулировки:

• для каждого ${ displaystyle A in { mathcal {B}}}$ с ${ displaystyle mu (T ^ {- 1} (A) bigtriangleup A) = 0}$ у нас есть ${ Displaystyle му (А) = 0}$ или же ${ Displaystyle му (А) = 1 ,}$ (куда ${ displaystyle bigtriangleup}$ обозначает симметричная разница );
• для каждого ${ displaystyle A in { mathcal {B}}}$ с положительной мерой мы имеем ${ displaystyle mu left ( bigcup _ {n = 1} ^ { infty} T ^ {- n} (A) right) = 1}$;
• за каждые два комплекта ${ displaystyle A, B in { mathcal {B}}}$ положительной меры существует ${ displaystyle n> 0}$ такой, что ${ displaystyle mu ((T ^ {- n} (A)) cap B)> 0}$;
• Каждая измеримая функция ${ displaystyle f: X to mathbb {R}}$ с ${ displaystyle f circ T = f}$ постоянна на подмножестве полной меры.

Что важно для приложений, условие в последней характеристике может быть ограничено квадратично интегрируемые функции Только:

• Если ${ displaystyle f in L ^ {2} (X, mu)}$ и ${ displaystyle f circ T = f}$ тогда ${ displaystyle f}$ постоянно почти везде.

Дальнейшие примеры

Бернулли сдвиги и подмены

Позволять ${ displaystyle S}$ - конечное множество и ${ Displaystyle X = S ^ { mathbb {Z}}}$ с ${ displaystyle mu}$ то мера продукта (каждый фактор ${ displaystyle S}$ наделен его счетной мерой). Тогда оператор смены ${ displaystyle T}$ определяется ${ displaystyle T left ((s_ {k}) _ {k in mathbb {Z}}) right) = (s_ {k + 1}) _ {k in mathbb {Z}}}$ является ${ displaystyle mu}$-эргодический.^[4]

Есть еще много эргодических мер для карты сдвига. ${ displaystyle T}$ на ${ displaystyle X}$. Периодические последовательности дают меры с конечным носителем. Что еще более интересно, есть бесконечно поддерживаемые, которые подсдвиги конечного типа.

Иррациональные вращения

Позволять ${ displaystyle X}$ быть единичным кругом ${ Displaystyle {г в mathbb {C}, , | г | = 1 }}$, с мерой Лебега ${ displaystyle mu}$. Для любого ${ displaystyle theta in mathbb {R}}$ вращение ${ displaystyle X}$ угла ${ displaystyle theta}$ дан кем-то ${ Displaystyle R _ { theta} (z) = e ^ {2i pi theta} z}$. Если ${ displaystyle theta in mathbb {Q}}$ тогда ${ displaystyle T _ { theta}}$ не эргодичен для меры Лебега, поскольку имеет бесконечно много конечных орбит. С другой стороны, если ${ displaystyle theta}$ иррационально тогда ${ displaystyle T _ { theta}}$ эргодичен.^[5]

Карта кошек Арнольда

Позволять ${ Displaystyle X = mathbb {R} ^ {2} / mathbb {Z} ^ {2}}$ - 2-тор. Тогда любой элемент ${ Displaystyle г в mathrm {SL} _ {2} ( mathbb {Z})}$ определяет самокарту ${ displaystyle X}$ поскольку ${ Displaystyle г ( mathbb {Z} ^ {2}) = mathbb {Z} ^ {2}}$. Когда ${ displaystyle g = left ({ begin {array} {cc} 2 & 1 1 & 1 end {array}} right)}$ получается так называемое отображение кошки Арнольда, которое эргодично для меры Лебега на торе.

Эргодические теоремы

Если ${ displaystyle mu}$ является вероятностной мерой на пространстве ${ displaystyle X}$ что эргодично для преобразования ${ displaystyle T}$ поточечная эргодическая теорема Дж. Биркгофа утверждает, что для любых измеримых функций ${ displaystyle f: X to mathbb {R}}$ и для ${ displaystyle mu}$-почти каждая точка ${ displaystyle x in X}$ среднее время на орбите ${ displaystyle x}$ сходится к среднему пространственному значению ${ displaystyle f}$. Формально это означает, что

В средняя эргодическая теорема Дж. фон Неймана представляет собой аналогичное, более слабое утверждение об усредненных сдвигах интегрируемых с квадратом функций.

Связанные свойства

Плотные орбиты

Непосредственным следствием определения эргодичности является то, что на топологическом пространстве ${ displaystyle X}$, и если ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ является σ-алгеброй Наборы Бореля, если ${ displaystyle T}$ является ${ displaystyle mu}$-эргодичный тогда ${ displaystyle mu}$-почти на каждой орбите ${ displaystyle T}$ плотно поддерживает ${ displaystyle mu}$.

Это не эквивалентность, поскольку для преобразования, которое не является однозначно эргодическим, но для которого существует эргодическая мера с полным носителем ${ displaystyle mu _ {0}}$, для любой другой эргодической меры ${ displaystyle mu _ {1}}$ мера ${ textstyle { frac {1} {2}} ( mu _ {0} + mu _ {1})}$ не эргодичен для ${ displaystyle T}$ но его орбиты плотны в опоре. Явные примеры можно построить с помощью мер, инвариантных к сдвигу.^[6]

Смешивание

Преобразование ${ displaystyle T}$ пространства вероятностной меры ${ Displaystyle (Х, му)}$ называется смешивающим для меры ${ displaystyle mu}$ если для любых измеримых множеств ${ displaystyle A, B subset X}$ имеет место следующее:

Непосредственно преобразование перемешивания также является эргодическим (принимая ${ displaystyle A}$ быть ${ displaystyle T}$-стабильное подмножество и ${ displaystyle B}$ его дополнение). Обратное неверно, например, поворот окружности с иррациональным углом (который является эргодическим в приведенных выше примерах) не является перемешивающим (для достаточно малого интервала его последовательные изображения не будут пересекаться большую часть времени). Сдвиги Бернулли смешиваются, как и кошачья карта Арнольда.

Это понятие перемешивания иногда называют сильным перемешиванием, в отличие от слабого перемешивания, что означает, что

Правильная эргодичность

Преобразование ${ displaystyle T}$ как говорят правильно эргодичный если у него нет орбиты полной меры. В дискретном случае это означает, что мера ${ displaystyle mu}$ не поддерживается на конечной орбите ${ displaystyle T}$.

Определение динамических систем с непрерывным временем

Определение по сути то же самое для динамические системы с непрерывным временем что касается однократного преобразования. Позволять ${ displaystyle (X, { mathcal {B}})}$ быть измеримым пространством и для каждого ${ Displaystyle т ин mathbb {R} _ {+}}$, то такую ​​систему дает семейство ${ displaystyle T_ {t}}$ измеримых функций из ${ displaystyle X}$ себе, так что для любого ${ displaystyle t, s in mathbb {R} _ {+}}$ Соотношение ${ Displaystyle T_ {s + t} = T_ {s} circ T_ {t}}$ выполняется (обычно также просят, чтобы карта орбиты из ${ displaystyle mathbb {R} _ {+} times X to X}$ также измеримо). Если ${ displaystyle mu}$ является вероятностной мерой на ${ displaystyle (X, { mathcal {B}})}$ тогда мы говорим, что ${ displaystyle T_ {t}}$ является ${ displaystyle mu}$-эргодический или же ${ displaystyle mu}$ является эргодической мерой для ${ displaystyle T}$ если каждый ${displaystyle T_{t}}$ сохраняет ${displaystyle mu }$ and the following condition holds:

For any ${displaystyle Ain {mathcal {B}}}$, if for all ${displaystyle tin mathbb {R} _{+}}$ у нас есть ${displaystyle T_{t}^{-1}(A)subset A}$ then either ${displaystyle mu (A)=0}$ или же ${displaystyle mu (A)=1}$.

Examples

As in the discrete case the simplest example is that of a transitive action, for instance the action on the circle given by ${displaystyle T_{t}(z)=e^{2ipi t}z}$ is ergodic for Lebesgue measure.

An example with infinitely many orbits is given by the flow along an irrational slope on the torus: let ${displaystyle X=mathbb {S} ^{1} imes mathbb {S} ^{1}}$ и ${displaystyle alpha in mathbb {R} }$. Позволять ${displaystyle T_{t}(z_{1},z_{2})=(e^{2ipi t}z_{1},e^{2alpha ipi t}z_{2})}$; тогда если ${displaystyle alpha ot in mathbb {Q} }$ this is ergodic for the Lebesgue measure.

Ergodic flows

Further examples of ergodic flows are:

• Бильярд in convex Euclidean domains;
• то geodesic flow of a negatively curved Riemannian manifold of finite volume is ergodic (for the normalised volume measure);
• то horocycle flow on a hyperbolic manifold of finite volume is ergodic (for the normalised volume measure)

Ergodicity in compact metric spaces

Если ${ displaystyle X}$ это компактный метрическое пространство it is naturally endowed with the σ-algebra of Borel sets. The additional structure coming from the topology then allows a much more detailed theory for ergodic transformations and measures on ${ displaystyle X}$.

Functional analysis interpretation

A very powerful alternate definition of ergodic measures can be given using the theory of Банаховы пространства. Radon measures на ${ displaystyle X}$ form a Banach space of which the set ${displaystyle {mathcal {P}}(X)}$ of probability measures on ${ displaystyle X}$ это выпуклый subset. Given a continuous transformation ${ displaystyle T}$ из ${ displaystyle X}$ the subset ${displaystyle {mathcal {P}}(X)^{T}}$ из ${ displaystyle T}$-invariant measures is a closed convex subset, and a measure is ergodic for ${ displaystyle T}$ if and only if it is an extreme point of this convex.^[7]

Existence of ergodic measures

In the setting above it follows from the Banach-Alaoglu theorem that there always exists extremal points in ${displaystyle {mathcal {P}}(X)^{T}}$. Hence a transformation of a compact metric space always admits ergodic measures.

Ergodic decomposition

In general an invariant measure need not be ergodic, but as a consequence of Choquet theory it can always be expressed as the barycenter of a probability measure on the set of ergodic measures. This is referred to as the ergodic decomposition of the measure.^[8]

Пример

В случае ${displaystyle X={1,ldots ,n}}$ и ${displaystyle T=(1,2)(3,4,cdots n)}$ the counting measure is not ergodic. The ergodic measures for ${ displaystyle T}$ являются uniform measures ${displaystyle mu _{1},mu _{2}}$ supported on the subsets ${displaystyle {1,2}}$ и ${displaystyle {3,ldots ,n}}$ and every ${ displaystyle T}$-invariant probability measure can be written in the form ${displaystyle tmu _{1}+(1-t)mu _{2}}$ для некоторых ${displaystyle tin [0,1]}$. In particular ${ extstyle {frac {2}{n}}mu _{1}+{frac {n-2}{n}}mu _{2}}$ is the ergodic decomposition of the counting measure.

Continuous systems

Everything in this section transfers verbatim to continuous actions of ${displaystyle mathbb {R} }$ или же ${displaystyle mathbb {R} _{+}}$ on compact metric spaces.

Unique ergodicity

The transformation ${ displaystyle T}$ is said to be uniquely ergodic if there is a unique Borel probability measure ${displaystyle mu }$ на ${ displaystyle X}$ which is ergodic for ${ displaystyle T}$.

In the examples considered above, irrational rotations of the circle are uniquely ergodic;^[9] shift maps are not.

Probabilistic interpretation: ergodic processes

Если ${displaystyle (X_{n})_{ngeq 1}}$ is a discrete-time stochastic process on a space ${ displaystyle Omega}$, it is said to be ergodic if the joint distribution of the variables on ${displaystyle Omega ^{mathbb {N} }}$ is invariant under the shift map ${displaystyle (x_{n})_{ngeq 1}mapsto (x_{n+1})_{ngeq 1}}$. This is a particular case of the notions discussed above.

The simplest case is that of an независимые и одинаково распределенные process which corresponds to the shift map described above. Another important case is that of a Markov chain which is discussed in detail below.

A similar interpretation holds for continuous-time stochastic processes though the construction of the measurable structure of the action is more complicated.

Ergodicity of Markov chains

The dynamical system associated with a Markov chain

Позволять ${ displaystyle S}$ be a finite set. А Markov chain на ${ displaystyle S}$ is defined by a matrix ${displaystyle Pin [0,1]^{S imes S}}$, куда ${displaystyle P(s_{1},s_{2})}$ is the transition probability from ${displaystyle s_{1}}$ к ${displaystyle s_{2}}$, так ${displaystyle sum _{s'in s}P(s,s')=1}$. А stationary measure за ${displaystyle P}$ is a probability measure ${displaystyle u }$ на ${ displaystyle S}$ такой, что ${displaystyle u P= u }$ ; то есть ${displaystyle sum _{s'in S} u (s')P(s',s)= u (s)}$ for all ${displaystyle sin S}$.

Using this data we can define a probability measure ${displaystyle mu _{ u }}$ on the set ${displaystyle X=S^{mathbb {Z} }}$ with its product σ-algebra by giving the measures of the цилиндры as follows:

Stationarity of ${displaystyle u }$ then means that the measure ${displaystyle mu _{ u }}$ is invariant under the shift map ${displaystyle Tleft((s_{k})_{kin mathbb {Z} }) ight)=(s_{k+1})_{kin mathbb {Z} }}$.

Criterion for ergodicity

The measure ${displaystyle mu _{ u }}$ is always ergodic for the shift map if the associated Markov chain is irreducible (any state can be reached with positive probability from any other state in a finite number of steps).^[10]

The hypotheses above imply that there is a unique stationary measure for the Markov chain. In terms of the matrix ${displaystyle P}$ a sufficient condition for this is that 1 be a simple eigenvalue of the matrix ${displaystyle P}$ and all other eigenvalues of ${displaystyle P}$ (в ${displaystyle mathbb {C} }$) are of modulus <1.

Note that in probability theory the Markov chain is called эргодический if in addition each state is aperiodic (the times where the return probability is positive are not multiples of a single integer >1). This is not necessary for the invariant measure to be ergodic; hence the notions of "ergodicity" for a Markov chain and the associated shift-invariant measure are different (the one for the chain is strictly stronger).^[11]

Moreover the criterion is an "if and only if" if all communicating classes in the chain are recurrent and we consider all stationary measures.

Examples

Counting measure

Если ${displaystyle P(s,s')=1/|S|}$ for all ${displaystyle s,s'in S}$ then the stationary measure is the counting measure, the measure ${displaystyle mu _{P}}$ is the product of counting measures. The Markov chain is ergodic, so the shift example from above is a special case of the criterion.

Non-ergodic Markov chains

Markov chains with recurring communicating classes are not irreducible are not ergodic, and this can be seen immediately as follows. Если ${displaystyle S_{1}subsetneq S}$ are two distinct recurrent communicating classes there are nonzero stationary measures ${displaystyle u _{1}, u _{2}}$ supported on ${displaystyle S_{1},S_{2}}$ respectively and the subsets ${displaystyle S_{1}^{mathbb {Z} }}$ и ${displaystyle S_{2}^{mathbb {Z} }}$ are both shift-invariant and of measure 1.2 for the invariant probability measure ${displaystyle {frac {1}{2}}( u _{1}+ u _{2})}$. A very simple example of that is the chain on ${displaystyle S={1,2}}$ given by the matrix ${ extstyle left({egin{array}{cc}1&0�&1end{array}} ight)}$ (both states are stationary).

A periodic chain

The Markov chain on ${displaystyle S={1,2}}$ given by the matrix ${ extstyle left({egin{array}{cc}0&11&0end{array}} ight)}$ is irreducible but periodic. Thus it is not ergodic in the sense of Markov chain though the associated measure ${displaystyle mu }$ на ${displaystyle {1,2}^{mathbb {Z} }}$ is ergodic for the shift map. However the shift is not mixing for this measure, as for the sets

и у нас есть ${displaystyle mu (A)=1/2=mu (B)}$ но

Generalisations

Ergodic group actions

The definition of ergodicity also makes sense for group actions. The classical theory (for invertible transformations) corresponds to actions of ${displaystyle mathbb {Z} }$ или же ${displaystyle mathbb {R} }$.

Quasi-invariant measures

For non-abelian groups there might not be invariant measures even on compact metric spaces. However the definition of ergodicity carries over unchanged if one replaces invariant measures by quasi-invariant measures.

Important examples are the action of a semisimple Lie group (or a решетка therein) on its Furstenberg boundary.

Ergodic relations

A measurable equivalence relation it is said to be ergodic if all saturated subsets are either null or conull.

Примечания

Рекомендации

• Walters, Peter (1982). An Introduction to Ergodic Theory. Springer. ISBN  0-387-95152-0.
• Brin, Michael; Garrett, Stuck (2002). Introduction to Dynamical Systems. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-80841-3.

внешняя ссылка

• Karma Dajani and Sjoerd Dirksin, "A Simple Introduction to Ergodic Theory"