Сдвиг пробела - Shift space

В символическая динамика и смежные отрасли математика, а сдвинуть пространство или субдвиг это набор бесконечный слова которые представляют собой эволюцию дискретная система. Фактически, сдвиг пробелов и символические динамические системы часто считаются синонимы. Наиболее изученными пространствами сдвигов являются подсдвиги конечного типа.

Обозначение

Позволять А - конечный набор состояний. An бесконечный (соответственно би-бесконечный) слово над А это последовательность ${ displaystyle mathbf {x} = (x_ {n}) _ {n in M}}$ , где ${ Displaystyle M = mathbb {N}}$ (соответственно ${ Displaystyle M = mathbb {Z}}$ ) и ${ displaystyle x_ {n}}$ в А для любого ${ displaystyle n in M}$ . оператор смены ${ displaystyle sigma}$ действует на бесконечное или би-бесконечное слово, сдвигая все символы влево, т.е.

{ displaystyle sigma ( mathbf {x}) _ {n} = x_ {n + 1}}

для всех п.

Далее мы выбираем ${ Displaystyle M = mathbb {N}}$ и таким образом говорят о бесконечном количестве слов, но все определения естественно обобщаются на бибесконечный случай.

Определение

Набор бесконечных слов над А это сдвинуть пространство (или субдвиг) если это закрыто по отношению к естественным топология продукта из ${ Displaystyle А ^ { mathbb {N}}}$ и инвариантен относительно оператора сдвига. Таким образом, набор ${ Displaystyle S substeq A ^ { mathbb {N}}}$ это субсдвиг если и только если

для любого (точечно ) сходящаяся последовательность ${ displaystyle ( mathbf {x} _ {k}) _ {k geq 0}}$ элементов S, то предел ${ Displaystyle lim _ {к к infty} mathbf {x} _ {k}}$ также принадлежит S; и
${ Displaystyle sigma (S) = S}$ .

Сменное пространство S иногда обозначается как ${ displaystyle (S, sigma)}$ чтобы подчеркнуть роль оператора сдвига.

Некоторые авторы^[1] использовать термин субдвиг для набора бесконечных слов, который просто инвариантен относительно сдвига, и зарезервируйте термин сдвинуть пространство для тех, которые тоже закрыты.

Характеристика и софические подмены

Подмножество S из ${ Displaystyle А ^ { mathbb {N}}}$ является пространством сдвига тогда и только тогда, когда существует набор Икс из конечные слова такой, что S совпадает с множеством всех бесконечных слов над А не имея фактор (подстрока) в Икс.

В частности, если Икс конечно, то S называется поддвиг конечного типа и вообще когда Икс это обычный язык, соответствующий подсдвиг называется мягкий. Название «софик» было придумано Вайс (1973), на основе иврит слово סופי, означающее «конечный», для обозначения того факта, что это обобщение свойства конечности.^[2]

Примеры

Первый тривиальный пример пространства сдвигов (конечного типа) - это полная смена ${ Displaystyle А ^ { mathbb {N}}}$ .

Позволять ${ Displaystyle А = {а, Ь }}$ . Набор всех бесконечных слов над А содержащий не более одного б - софический подсдвиг не конечного типа. Набор всех бесконечных слов над А чья б блоки простой длины не являются софичными (это можно показать, используя лемма о накачке ).

Пространство бесконечных строк из двух букв, ${ Displaystyle {0,1 } ^ { mathbb {N}}}$ называется Процесс Бернулли. Он изоморфен Кантор набор.

Би-бесконечное пространство строк из двух букв, ${ Displaystyle {0,1 } ^ { mathbb {Z}}}$ широко известен как Карта Бейкера, точнее, гомоморфно отображению Бейкера.

Смотрите также

использованная литература

^ Томсен, К. (2004). «О структуре софического сдвигового пространства» (Перепечатка PDF). Труды Американского математического общества. 356 (9): 3557–3619. Дои:10.1090 / S0002-9947-04-03437-3. Получено 2012-01-27.
^ Вайс, Бенджамин (1973), "Подсмещения конечного типа и софические системы", Монатш. Математика., 77 (5): 462–474, Дои:10.1007 / bf01295322, Г-Н 0340556. Вайс не описывает происхождение слова, кроме как неологизм; однако его еврейское происхождение указано MathSciNet Рецензент Р. Л. Адлер.

дальнейшее чтение

Линд, Дуглас; Маркус, Брайан (1995). Введение в символическую динамику и кодирование. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-55900-6.
Лотэр, М. (2002). «Конечные и бесконечные слова». Алгебраическая комбинаторика слов. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-81220-8. Получено 2008-01-29.
Морс, Марстон; Хедлунд, Густав А. (1938). «Символическая динамика». Американский журнал математики. 60 (4): 815–866. Дои:10.2307/2371264. JSTOR 2371264.
Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8328-0.

[1] Томсен, К. (2004). «О структуре софического сдвигового пространства» (Перепечатка PDF). Труды Американского математического общества. 356 (9): 3557–3619. Дои:10.1090 / S0002-9947-04-03437-3. Получено 2012-01-27.

[2] Вайс, Бенджамин (1973), "Подсмещения конечного типа и софические системы", Монатш. Математика., 77 (5): 462–474, Дои:10.1007 / bf01295322, Г-Н 0340556. Вайс не описывает происхождение слова, кроме как неологизм; однако его еврейское происхождение указано MathSciNet Рецензент Р. Л. Адлер.

[1]

[2]