Оператор сдвига - Shift operator

В математика, и в частности функциональный анализ, то оператор смены также известный как оператор перевода это оператор, который принимает функцию Икс ↦ ж(Икс)к его перевод Икс ↦ ж(Икс + а).^[1] В анализ временных рядов, оператор сдвига называется оператор запаздывания.

Операторы сдвига являются примерами линейные операторы, важна их простота и естественность. Действие оператора сдвига на функции действительной переменной играет важную роль в гармонический анализ, например, он появляется в определениях почти периодические функции, положительно определенные функции, и свертка.^[2] Сдвиги последовательностей (функции целочисленной переменной) появляются в различных областях, таких как Пространства Харди, теория абелевы разновидности, и теория символическая динамика, для чего карта пекаря является явным представлением.

Определение

Функции действительной переменной

Оператор сдвига Т^т (т ∈ р) принимает функцию ж на р к его переводу ж_т ,

${ Displaystyle T ^ {t} f (x) = f_ {t} (x) = f (x + t) ~.}$

Практическое представление линейного оператора Т^т в терминах простой производной ^d⁄_dx был представлен Лагранж,

который может быть интерпретирован операционально через его формальные Расширение Тейлора в т; и действие которого на одночлен Икс^п очевидно из биномиальная теорема, а значит, и на все серии в Икс, и так все функции ж(Икс) как указано выше.^[3] Таким образом, это формальная кодировка расширения Тейлора.

Таким образом, оператор предоставляет прототип^[4] для знаменитого адвективный поток для абелевых групп,

${ displaystyle e ^ {t beta (x) { frac {d} {dx}}} f (x) = e ^ {t { frac {d} {dh}}} F (h) = F ( h + t) = f (h ^ {- 1} (h (x) + t)),}$

где канонические координаты час (Функции Абеля ) определены, с.т.

${ Displaystyle h '(x) Equiv { frac {1} { beta (x)}} ~, qquad f (x) Equiv F (h (x)).}$

Например, легко следует, что ${ Displaystyle бета (х) = х}$ дает масштабирование,

${ displaystyle e ^ {tx { frac {d} {dx}}} f (x) = f (e ^ {t} x)}$,

следовательно ${ Displaystyle е ^ {я пи х { гидроразрыва {d} {dx}}} е (х) = е (-x)}$ (паритет); так же, ${ Displaystyle бета (х) = х ^ {2}}$ дает^[5]

${ displaystyle e ^ {tx ^ {2} { frac {d} {dx}}} f (x) = f left ({ frac {1-tx} {x}} right)}$,

${ Displaystyle бета (х) = 1 / х}$ дает

${ displaystyle e ^ {{ frac {t} {x}} { frac {d} {dx}}} f (x) = f ({ sqrt {x ^ {2} + 2t}} ~)}$,

${ Displaystyle бета (х) = е ^ {х}}$ дает

${ displaystyle exp left (te ^ {x} { frac {d} {dx}} right) f (x) = f left ( ln left ({ frac {1} { exp ( -x) -t}} right) right)}$,

и Т. Д.

Начальное состояние потока и групповое свойство полностью определяют весь поток Ли, обеспечивая решение функционального уравнения сдвига^[6]

${ displaystyle f_ {t} (f _ { tau} (x)) = f_ {t + tau} (x).}$

Последовательности

В левый "шифт оператор действует односторонне бесконечная последовательность номеров по

${ displaystyle S ^ {*} :( a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots) mapsto (a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, ldots)}$

а на двусторонних бесконечных последовательностях -

${ displaystyle T: (a_ {k}) _ {k = - infty} ^ { infty} mapsto (a_ {k + 1}) _ {k = - infty} ^ { infty}.}$

В сдвиг вправо оператор действует односторонне бесконечная последовательность номеров по

${ displaystyle S: (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots) mapsto (0, a_ {1}, a_ {2}, ldots)}$

а на двусторонних бесконечных последовательностях -

${ displaystyle T ^ {- 1} :( a_ {k}) _ {k = - infty} ^ { infty} mapsto (a_ {k-1}) _ {k = - infty} ^ { infty}.}$

Операторы правого и левого сдвига, действующие на двусторонние бесконечные последовательности, называются двусторонний сдвиги.

Абелевы группы

В общем, как показано выше, если F является функцией на абелева группа грамм, и час является элементом грамм, оператор сдвига Т ^грамм карты F к^[6][7]

${ displaystyle F_ {g} (h) = F (h + g).}$

Свойства оператора сдвига

Оператор сдвига, действующий на действительные или комплексные функции или последовательности, является линейным оператором, который сохраняет большую часть стандартных нормы которые появляются в функциональном анализе. Поэтому обычно это непрерывный оператор с нормой один.

Действие на гильбертовых пространствах

Оператор сдвига, действующий на двусторонние последовательности, представляет собой унитарный оператор на ℓ₂(Z). Оператор сдвига, действующий на функции действительной переменной, является унитарным оператором на L₂(р).

В обоих случаях (левый) оператор сдвига удовлетворяет следующему коммутационному соотношению с преобразованием Фурье:

${ Displaystyle { mathcal {F}} T ^ {t} = M ^ {t} { mathcal {F}},}$

куда M^т это оператор умножения к exp (я т Икс). Следовательно, спектр Т^т - единичный круг.

Односторонний сдвиг S действующий на ℓ₂(N) это правильный изометрия с классифицировать равный всем векторов которые исчезают в первую очередь координировать. Оператор S это сжатие из Т⁻¹, в том смысле, что

${ displaystyle T ^ {- 1} y = Sx { text {для каждого}} x in ell ^ {2} ( mathbb {N}), ,}$

куда у вектор в ℓ₂(Z) с у_я = Икс_я за я ≥ 0 и у_я = 0 за я < 0. Это наблюдение лежит в основе построения многих унитарные дилатации изометрий.

Спектр S - единичный диск. Смена S является одним из примеров Фредгольмов оператор; он имеет индекс Фредгольма −1.

Обобщение

Жан Дельсарт ввел понятие оператор обобщенного сдвига (также называемый оператор обобщенного смещения); это было далее развито Борис Левитан.^[2][8][9]

Семья операторов {L^Икс}_{Икс ∈ Икс} действуя в пространстве Φ функций из набора Икс к C называется семейством операторов обобщенного сдвига, если выполняются следующие свойства:

1. Ассоциативность: пусть (р^уж)(Икс) = (L^Иксж)(у). потом L^Икср^у = р^уL^Икс (не понятно почему, так как это больше похоже на коммутативность).
2. Существует е в Икс такой, что L^е - тождественный оператор.

В этом случае набор Икс называется гипергруппа.

Смотрите также

• Арифметический сдвиг
• Логический сдвиг
• Конечная разница

Примечания

Библиография

• Партингтон, Джонатан Р. (15 марта 2004 г.). Линейные операторы и линейные системы. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / cbo9780511616693. ISBN  978-0-521-83734-7.
• Марвин Розенблюм и Джеймс Ровняк, Классы Харди и теория операторов(1985) Oxford University Press.