Почти периодическая функция - Almost periodic function

В математика, почти периодическая функция является, грубо говоря, функцией действительного числа, которое периодический с любым желаемым уровнем точности, учитывая подходящие длинные, хорошо распределенные "почти периоды". Концепция была впервые изучена Харальд Бор а затем обобщен Вячеслав Степанов, Герман Вейль и Абрам Самойлович Безикович, среди других. Есть также понятие почти периодических функций на локально компактные абелевы группы, впервые изученный Джон фон Нейман.

Почти периодичность является собственностью динамические системы которые, кажется, прослеживают свой путь через фазовое пространство, но не совсем. Примером может быть планетная система, с участием планеты в орбиты двигаясь с периоды это не соизмеримый (т.е. с вектором периодов, который не пропорциональный к вектор из целые числа ). А теорема Кронекера из диофантово приближение может использоваться, чтобы показать, что любая конкретная конфигурация, которая возникает однажды, будет повторяться с любой указанной точностью: если мы подождем достаточно долго, мы сможем наблюдать, как все планеты возвращаются в пределах определенного секунда дуги на позиции, в которых они когда-то были.

Мотивация

Существует несколько неэквивалентных определений почти периодических функций. Первый был дан Харальд Бор. Его интерес изначально был конечным Серия Дирихле. Фактически, усекая ряд для Дзета-функция Римана ζ(s), чтобы сделать его конечным, получаются конечные суммы слагаемых типа

${ Displaystyle е ^ {( sigma + it) журнал п} ,}$

с s написано как (σ + Это) - сумма его действительной части σ и мнимая часть Это. Фиксация σ, поэтому, ограничивая внимание одной вертикальной линией в комплексной плоскости, мы можем видеть это также как

${ displaystyle n ^ { sigma} e ^ {( log n) it}. ,}$

Принимая конечный сумма таких условий позволяет избежать трудностей аналитическое продолжение в область σ <1. Здесь «частоты» logп не все будут соизмеримыми (они так же линейно независимы от рациональных чисел, как и целые числа п мультипликативно независимы - что сводится к их разложению на простые множители).

С этой первоначальной мотивацией рассмотреть типы тригонометрический полином с независимыми частотами, математический анализ был применен, чтобы обсудить закрытие этого набора основных функций в различных нормы.

Теория была разработана с использованием других норм. Безикович, Степанов, Weyl, фон Нейман, Тьюринг, Бохнер и другие в 1920-х и 1930-х годах.

Равномерные или почти периодические функции Бора или Бохнера

Бор (1925) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFBohr1925 (Помогите) определил равномерно почти периодические функции как замыкание тригонометрических полиномов по единая норма

${ Displaystyle | е | _ { infty} = sup _ {x} | е (х) |}$

(об ограниченных функциях ж на р). Другими словами, функция ж равномерно почти периодичен, если для каждого ε > 0 существует конечная линейная комбинация синусоидальных и косинусоидальных волн, расстояние между которыми меньше ε из ж относительно равномерной нормы. Бор доказал, что это определение эквивалентно существованию относительно плотный набор из ε почти периоды, для всех ε > 0: то есть переводы Т(ε) = Т переменной т изготовление

${ Displaystyle влево | е (т + Т) -f (т) вправо | < varepsilon.}$

Альтернативное определение, данное Бохнером (1926), эквивалентно определению Бора, и его относительно просто сформулировать:

Функция ж почти периодичен, если каждый последовательность {ƒ(т + Т_п)} переводов ж имеет подпоследовательность это сходится равномерно за т в (−∞, + ∞).

Почти периодические функции Бора по существу то же самое, что и непрерывные функции на Компактификация Бора реалов.

Степанов почти периодические функции

Космос S^п почти периодических функций Степанова (для п ≥ 1) введен В.В. Степанов (1925) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFStepanov1925 (Помогите). Он содержит пространство почти периодических функций Бора. Это замыкание тригонометрических полиномов по норме

${ displaystyle | е | _ {S, r, p} = sup _ {x} left ({1 over r} int _ {x} ^ {x + r} | f (s) | ^ {p} , ds right) ^ {1 / p}}$

для любого фиксированного положительного значения р; для разных значений р эти нормы дают одну и ту же топологию и, следовательно, одно и то же пространство почти периодических функций (хотя норма в этом пространстве зависит от выборар).

Почти периодические функции Вейля

Космос W^п почти периодических функций Вейля (при п ≥ 1) был введен Вейль (1927) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFWeyl1927 (Помогите). Он содержит пространство S^п почти периодических функций Степанова. Это замыкание тригонометрических многочленов относительно полунормы

${ Displaystyle | е | _ {W, p} = lim _ {r to infty} | f | _ {S, r, p}}$

Предупреждение: есть ненулевые функции ƒ с ||ƒ||_W,п = 0, например, любая ограниченная функция с компактным носителем, поэтому, чтобы получить банахово пространство, нужно выделить фактор по этим функциям.

Почти периодические функции Безиковича

Космос B^п почти периодических функций Безиковича была введена Безикович (1926) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFBesicovitch1926 (Помогите)Это замыкание тригонометрических многочленов относительно полунормы.

${ displaystyle | е | _ {B, p} = limsup _ {x to infty} left ({1 over 2x} int _ {- x} ^ {x} | f (s) | ^ {p} , ds right) ^ {1 / p}}$

Предупреждение: есть ненулевые функции ƒ с ||ƒ||_B,п = 0, например, любая ограниченная функция с компактным носителем, поэтому, чтобы получить банахово пространство, нужно выделить фактор по этим функциям.

Почти периодические функции Безиковича в B² имеют расширение (не обязательно сходящееся) как

${ Displaystyle сумма а_ {п} е ^ {я лямбда _ {п} т}}$

с Σа²
_п конечный и λ_п настоящий. Наоборот, каждый такой ряд является разложением некоторой периодической функции Безиковича (которая не является единственной).

Космос B^п почти периодических функций Безиковича (для п ≥ 1) содержит пространство W^п почти периодических функций Вейля. Если выделить подпространство "нулевых" функций в частную, его можно отождествить с пространством L^п функции от боровской компактификации вещественных чисел.

Почти периодические функции на локально компактной абелевой группе

Благодаря этим теоретическим разработкам и появлению абстрактных методов ( Теорема Питера – Вейля, Понтрягинская двойственность и Банаховы алгебры ) стала возможной общая теория. Общая идея почти периодичности по отношению к локально компактная абелева группа г становится функцией F в L^∞(г), что переводится как г сформировать относительно компактный Эквивалентно пространство почти периодических функций является замыканием по норме конечных линейных комбинаций характеровг. Если г компактно, почти периодические функции такие же, как и непрерывные.

В Компактификация Бора из г компактная абелева группа всех, возможно, разрывных характеров двойственной группы г, и является компактной группой, содержащей г как плотная подгруппа. Пространство равномерных почти периодических функций на г можно отождествить с пространством всех непрерывных функций на боровской компактификацииг. В более общем смысле компактификация Бора может быть определена для любой топологической группыг, а пространства непрерывных или L^п функции на компактификации Бора можно рассматривать как почти периодические функции наг.Для локально компактных связных групп г карта из г своей боровской компактификации инъективно тогда и только тогда, когда г является центральным расширением компактной группы или, что эквивалентно, произведением компактной группы и конечномерного векторного пространства.

Квазипериодические сигналы в синтезе звука и музыки

В обработка речи, обработка аудиосигнала, и синтез музыки, а квазипериодический сигнал, иногда называемый квазигармонический сигнал, это форма волны это практически периодический микроскопически, но не обязательно периодически макроскопически. Это не дает квазипериодическая функция в смысле статьи в Википедии с таким названием, но что-то более похожее на почти периодическую функцию, являющуюся почти периодической функцией, где любой один период практически идентичен своим соседним периодам, но не обязательно похож на периоды, намного более далекие во времени. Это справедливо для музыкальных тонов (после переходного процесса начальной атаки), где все частичные или обертоны находятся гармонический (то есть все обертоны находятся на частотах, кратных целому числу основная частота тона).

Когда сигнал ${ Displaystyle х (т) }$ является полностью периодический с периодом ${ Displaystyle P }$, то сигнал в точности удовлетворяет

${ Displaystyle х (т) = х (т + п) qquad forall t in mathbb {R}}$

или

${ displaystyle { Big |} x (t) -x (t + P) { Big |} = 0 qquad forall t in mathbb {R}. }$

В Ряд Фурье представление было бы

${ displaystyle x (t) = a_ {0} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { big [} a_ {n} cos (2 pi nf_ {0} t) -b_ { n} sin (2 pi nf_ {0} t) { big]}}$

или

${ displaystyle x (t) = a_ {0} + sum _ {n = 1} ^ { infty} r_ {n} cos (2 pi nf_ {0} t + varphi _ {n})}$

где ${ displaystyle f_ {0} = { frac {1} {P}}}$ - основная частота, а коэффициенты Фурье равны

${ displaystyle a_ {0} = { frac {1} {P}} int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + P} x (t) , dt }$

${ displaystyle a_ {n} = r_ {n} cos left ( varphi _ {n} right) = { frac {2} {P}} int _ {t_ {0}} ^ {t_ { 0} + P} x (t) cos (2 pi nf_ {0} t) , dt qquad n geq 1}$

${ displaystyle b_ {n} = r_ {n} sin left ( varphi _ {n} right) = - { frac {2} {P}} int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + P} x (t) sin (2 pi nf_ {0} t) , dt }$

где ${ displaystyle t_ {0} }$ может быть в любое время: ${ displaystyle - infty$.

В основная частота ${ displaystyle f_ {0} }$, и Фурье коэффициенты ${ Displaystyle а_ {п} }$, ${ displaystyle b_ {n} }$, ${ displaystyle r_ {n} }$, или же ${ Displaystyle varphi _ {п} }$, являются константами, то есть не являются функциями времени. Частоты гармоник являются точными целыми кратными основной частоты.

Когда ${ Displaystyle х (т) }$ является квазипериодический тогда

${ Displaystyle х (т) приблизительно х { большой (} т + п (т) { большой)} }$

или

${ Displaystyle { Big |} x (t) -x { big (} t + P (t) { big)} { Big |} < varepsilon }$

где

${ displaystyle 0 < epsilon ll { big Vert} x { big Vert} = { sqrt { overline {x ^ {2}}}} = { sqrt { lim _ { tau в infty} { frac {1} { tau}} int _ {- tau / 2} ^ { tau / 2} x ^ {2} (t) , dt}}. }$

Теперь представление ряда Фурье было бы

${ Displaystyle x (t) = a_ {0} (t) + sum _ {n = 1} ^ { infty} left [a_ {n} (t) cos left (2 pi n int _ {0} ^ {t} f_ {0} ( tau) , d tau right) -b_ {n} (t) sin left (2 pi n int _ {0} ^ {t} f_ {0} ( tau) , d tau right) right]}$

или

${ displaystyle x (t) = a_ {0} (t) + sum _ {n = 1} ^ { infty} r_ {n} (t) cos left (2 pi n int _ {0} ^ {t} f_ {0} ( tau) , d tau + varphi _ {n} (t) right)}$

или

${ displaystyle x (t) = a_ {0} (t) + sum _ {n = 1} ^ { infty} r_ {n} (t) cos left (2 pi int _ {0}) ^ {t} f_ {n} ( tau) , d tau + varphi _ {n} (0) right)}$

где ${ displaystyle f_ {0} (t) = { frac {1} {P (t)}}}$ возможно изменяющийся во времени основная частота и изменяющийся во времени Коэффициенты Фурье равны

${ Displaystyle a_ {0} (t) = { frac {1} {P (t)}} int _ {tP (t) / 2} ^ {t + P (t) / 2} x ( tau ) , d тау }$

${ displaystyle a_ {n} (t) = r_ {n} (t) cos { big (} varphi _ {n} (t) { big)} = { frac {2} {P (t )}} int _ {tP (t) / 2} ^ {t + P (t) / 2} x ( tau) cos { big (} 2 pi nf_ {0} (t) tau { big)} , d tau qquad n geq 1}$

${ displaystyle b_ {n} (t) = r_ {n} (t) sin { big (} varphi _ {n} (t) { big)} = - { frac {2} {P ( t)}} int _ {tP (t) / 2} ^ {t + P (t) / 2} x ( tau) sin { big (} 2 pi nf_ {0} (t) tau { big)} , d tau }$

и мгновенная частота для каждого частичный является

${ displaystyle f_ {n} (t) = nf_ {0} (t) + { frac {1} {2 pi}} varphi _ {n} ^ { prime} (t). ,}$

Тогда как в этом квазипериодическом случае основная частота ${ displaystyle f_ {0} (т) }$, гармонические частоты ${ Displaystyle е_ {п} (т) }$, а коэффициенты Фурье ${ Displaystyle а_ {п} (т) }$, ${ Displaystyle b_ {п} (т) }$, ${ Displaystyle r_ {п} (т) }$, или же ${ Displaystyle varphi _ {п} (т) }$ находятся нет обязательно постоянный, и находятся функции времени, хотя медленно меняющийся функции времени. Иначе говоря, эти функции времени ограниченный диапазон намного меньше основной частоты для ${ Displaystyle х (т) }$ считаться квазипериодическим.

Парциальные частоты ${ Displaystyle е_ {п} (т) }$ очень близки к гармонии, но не обязательно таковы. Производная по времени от ${ Displaystyle varphi _ {п} (т) }$, то есть ${ Displaystyle varphi _ {п} ^ { prime} (т) }$, имеет эффект отстройки частей от их точного целочисленного гармонического значения ${ Displaystyle NF_ {0} (т) }$. Быстро меняющийся ${ Displaystyle varphi _ {п} (т) }$ означает, что мгновенная частота для этого парциального сигнала сильно отстроена от целочисленного значения гармоники, что означало бы, что ${ Displaystyle х (т) }$ не является квазипериодическим.

Смотрите также

• Квазипериодическая функция
• Апериодическая функция
• Квазипериодическая мозаика
• Ряд Фурье
• Аддитивный синтез
• Гармонический ряд (музыка)
• Компьютерная музыка

Рекомендации

• Америо, Луиджи; Проуз, Джованни (1971), Почти периодические функции и функциональные уравнения, Университетская серия по высшей математике, Нью-Йорк – Цинциннати – Торонто – Лондон – Мельбурн: Ван Ностранд Рейнхольд, стр. viii + 184, ISBN  0-442-20295-4, Г-Н  0275061, Zbl  0215.15701.
• В КАЧЕСТВЕ. Безикович, "Об обобщенных почти периодических функциях", Тр. Лондонская математика. Soc. (2), 25 (1926) с. 495–512
• В КАЧЕСТВЕ. Безикович, "Почти периодические функции", Cambridge Univ. Пресса (1932)
• Бохнер, С. (1926), "Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen", Математика. Annalen, 96: 119–147, Дои:10.1007 / BF01209156
• С. Бохнер и Дж. Фон Нейман, "Почти периодическая функция в группе II", Trans. Амер. Математика. Soc., 37 вып. 1 (1935) стр. 21–50
• Х. Бор, "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I" Acta Math., 45 (1925), стр. 29–127
• Х. Бор, «Почти периодические функции», Челси, перепечатка (1947)
• Бредихина, Е.А. (2001) [1994], «Почти периодические функции», Энциклопедия математики, EMS Press
• Бредихина, Е.А. (2001) [1994], «Почти периодические функции Безиковича», Энциклопедия математики, EMS Press
• Бредихина, Е.А. (2001) [1994], «Почти периодические функции Бора», Энциклопедия математики, EMS Press
• Бредихина, Е.А. (2001) [1994], «Почти периодические функции Степанова», Энциклопедия математики, EMS Press
• Бредихина, Е.А. (2001) [1994], «Почти периодические функции Вейля», Энциклопедия математики, EMS Press
• Дж. Фон Нейман, "Почти периодические функции в группе I", Trans. Амер. Математика. Soc., 36, вып. 3 (1934) стр. 445–492
• В. Степанов (= В. В. Степанов), "Sur quelques généralisations des fonctions presque périodiques" C.R. Acad. Sci. Париж, 181 (1925), стр. 90–92.
• В. Степанов (= В. В. Степанов), "Ueber einige Verallgemeinerungen der fastperiodischen Funktionen" Math. Ann., 45 (1925), с. 473–498.
• H. Weyl, "Integralgleichungen und fastperiodische Funktionen" Math. Ann., 97 (1927) стр. 338–356.

внешняя ссылка

• «Почти периодическая функция (эквивалентное определение)». PlanetMath.