Уравнение Абеля - Abel equation

В Уравнение Абеля, названный в честь Нильс Хенрик Абель, это тип функциональное уравнение который можно записать в виде

${displaystyle f (h (x)) = h (x + 1)}$

или, что то же самое,

${displaystyle alpha (f (x)) = alpha (x) +1}$

и контролирует итерацию ж.

Эквивалентность

Эти уравнения эквивалентны. При условии, что α является обратимая функция, второе уравнение можно записать как

${displaystyle alpha ^ {- 1} (alpha (f (x))) = alpha ^ {- 1} (alpha (x) +1) ,.}$

Принимая Икс = α⁻¹(y), уравнение можно записать как

${displaystyle f (alpha ^ {- 1} (y)) = alpha ^ {- 1} (y + 1) ,.}$

Для функции ж(Икс) считается известным, задача состоит в решении функционального уравнения для функции α⁻¹≡час, возможно удовлетворяющие дополнительным требованиям, таким как α⁻¹(0) = 1.

Замена переменных s^α(Икс) = Ψ (Икс), для реального параметра s, переносит уравнение Авеля в знаменитый Уравнение Шредера, Ψ (ж(Икс)) = s Ψ (Икс) .

Дальнейшее изменение F(Икс) = ехр (s^α(Икс)) в Уравнение Бёттхера, F(ж(Икс)) = F(Икс)^s.

Уравнение Абеля является частным случаем (и легко обобщается на него) уравнение переноса,^[1]

${displaystyle omega (omega (x, u), v) = omega (x, u + v) ~,}$

например, для ${displaystyle omega (x, 1) = f (x)}$,

${displaystyle omega (x, u) = альфа ^ {- 1} (альфа (x) + u)}$. (Обратите внимание ω(Икс,0) = Икс.)

Функция Абеля α(Икс) далее предоставляет каноническую координату для Адвективные потоки Ли (один параметр Группы Ли ).

История

Первоначально уравнение в более общем виде^[2][3]Сообщалось. Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и допускает специальный анализ.^[4][5][6]

В случае линейной передаточной функции решение выразимо компактно. ^[7]

Особые случаи

Уравнение тетрация является частным случаем уравнения Абеля, причем ж = exp.

В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует повторяющуюся процедуру, например,

${displaystyle alpha (f (f (x))) = alpha (x) + 2 ~,}$

и так далее,

${displaystyle alpha (f_ {n} (x)) = alpha (x) + n ~.}$

Решения

• формальное решение: единственное (до константы)^[8] (Не уверен, потому что если ${displaystyle u}$ это решение, тогда ${displaystyle v (x) = u (x) + Omega (u (x))}$, где ${displaystyle Omega (x + 1) = Omega (x)}$, также решение^[9].)
• аналитические решения (координаты Фату) = аппроксимация асимптотическое разложение функции, определяемой степенной ряд в секторах вокруг параболическая фиксированная точка^[10]

• Существование: уравнение Абеля имеет хотя бы одно решение на ${displaystyle E}$ если и только если ${displaystyle forall xin E, forall nin mathbb {N}, f ^ {(n)} (x) eq x}$, где ${displaystyle f ^ {(n)} = fcirc fcirc ... circ f}$, n раз.^[11]

Координаты Фату описывают локальную динамику дискретной динамической системы вблизи параболическая фиксированная точка.

Смотрите также

• Функциональное уравнение
  • Уравнение Шредера
  • Уравнение Бёттхера
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Итерированная функция
• Оператор сдвига
• Суперфункция

использованная литература