Классификация компонентов Fatou - Википедия - Classification of Fatou components

В математика, Компоненты Fatou являются составные части из Набор Fatou. Они были названы в честь Пьер Фату.

Рациональный случай

Если f является рациональная функция

${ Displaystyle е = { гидроразрыва {P (z)} {Q (z)}}}$

определено в расширенная комплексная плоскость, а если это нелинейная функция (степень> 1)

${ Displaystyle д (е) = макс ( град (P), , градус (Q)) geq 2,}$

то для периодического компонент ${ displaystyle U}$ из Набор Fatou, выполняется ровно одно из следующего:

1. ${ displaystyle U}$ содержит притягивающая периодическая точка
2. ${ displaystyle U}$ является параболический^[1]
3. ${ displaystyle U}$ это Диск Зигеля: односвязный компонент Фату, на котором ж(z) аналитически сопряжена с евклидовым поворотом единичного диска на себя на иррациональный угол поворота.
4. ${ displaystyle U}$ это Кольцо Германа: двусвязная компонента Фату ( кольцо ) на котором ж(z) аналитически сопряжена с евклидовым поворотом круглого кольца, опять же на иррациональный угол поворота.

• 

  Набор Julia (белый) и набор Fatou (темно-красный / зеленый / синий) для ${ displaystyle f: z mapsto z - { frac {g} {g '}} (z)}$ с ${ displaystyle g: z mapsto z ^ {3} -1}$ в комплексной плоскости.

• 

  Множество Жюлиа с суперпритягивающими циклами (гиперболическими) внутри и снаружи

• 

  Кривые уровня и лучи в сверхпритягивающем корпусе

• 

  Юля набор с параболическим циклом

• 

  Набор Джулии с диском Зигеля (эллиптический корпус)

• 

  Комплект Julia с кольцом Herman

Привлекающая периодическая точка

Компоненты карты ${ Displaystyle е (г) = г- (г ^ {3} -1) / 3z ^ {2}}$ содержат точки притяжения, которые являются решениями ${ displaystyle z ^ {3} = 1}$. Это потому, что карта - это та карта, которую можно использовать для поиска решений уравнения ${ displaystyle z ^ {3} = 1}$ к Ньютон-Рафсон формула. Решения, естественно, должны привлекать неподвижные точки.

Кольцо Германа

Карта

${ Displaystyle f (z) = e ^ {2 pi it} z ^ {2} (z-4) / (1-4z)}$

и t = 0,6151732 ... даст кольцо Германа.^[2] Это показано Шишикура что степень такой карты должна быть не менее 3, как в этом примере.

Более одного типа компонентов

Если степень d больше 2, то существует более одной критической точки, а затем может быть более одного типа компонентов.

• 

  Герман + Параболик

• 

  Период 3 и 105

• 

  притягивающий и параболический

• 

  период 1 и период 1

Трансцендентный случай

Бейкер домен

В случае трансцендентные функции существует еще один тип периодических компонентов Фату, называемый Бейкер домен: это "домены на котором итерации стремятся к существенная особенность (невозможно для многочленов и рациональных функций) "^[3][4] Пример функции:^[5]

${ Displaystyle е (г) = г-1 + (1-2z) е ^ {г}}$

Блуждающая область

Трансцендентные карты могут иметь блуждающие владения: это компоненты Fatou, которые в конечном итоге не являются периодическими.

Смотрите также

• Теорема об отсутствии блуждающей области
• Теорема Монтеля
• Джон Домены^[6]

Рекомендации

• Леннарт Карлесон и Теодор В. Гамелен, Сложная динамика, Springer 1993.
• Алан Ф. Бирдон Итерация рациональных функций, Springer 1991.