Эргодический поток - Ergodic flow

В математика, эргодические потоки происходить в геометрия, сквозь геодезический и орицикл потоки закрытых гиперболические поверхности. Оба этих примера были поняты с точки зрения теории унитарные представления из локально компактные группы: если Γ фундаментальная группа из закрытая поверхность, рассматриваемую как дискретную подгруппу Группа Мебиуса G = PSL (2,р), то поток геодезических и орициклов можно отождествить с естественными действиями подгрупп А вещественных положительных диагональных матриц и N нижних унитреугольных матриц на единице касательный пучок г / Γ. Теорема Амброуза-Какутани выражает каждый эргодический поток как поток, построенный из обратимого эргодического преобразования на измерить пространство с использованием потолочной функции. На случай, если геодезический поток, эргодическое преобразование можно понять в терминах символическая динамика; и в терминах эргодических действий группы Γ на границе S¹ = г / AN и г / А = S¹ × S¹ diag S¹. Эргодические потоки также естественным образом возникают как инварианты при классификации алгебры фон Неймана: поток весов для фактора типа III₀ является эргодическим потоком на измерить пространство.

Теорема Хедлунда: эргодичность геодезических и орициклических потоков

Метод, использующий теорию представлений, основан на следующих двух результатах:^[1]

• Если г = SL (2, R) действует унитарно в гильбертовом пространстве ЧАС и ξ - единичный вектор, фиксированный подгруппой N верхних унитреугольных матриц, то ξ фиксируется г.
• Если г = SL (2, R) действует унитарно в гильбертовом пространстве ЧАС и ξ - единичный вектор, фиксированный подгруппой А диагональных матриц определителя 1, тогда ξ фиксируется г.

(1) Как топологическое пространство однородное пространство Икс = г / N можно отождествить с р² \ {0} со стандартным действием г так как 2 × 2 матрицы. Подгруппа N имеет два вида орбит: орбиты, параллельные Икс-ось с у ≠ 0; и указывает на Икс-ось. Непрерывная функция на Икс это постоянно на NСледовательно, орбиты должны быть постоянными на действительной оси с удаленным началом. Таким образом, матричный коэффициент ψ (Икс) = (Иксξ, ξ) удовлетворяет ψ (г) = 1 для г в А · N. По унитарности ||гξ - ξ||² = 2 - ψ (г) - ψ (г^–1) = 0, так что гξ = ξ для всех г в B = А · N = N · А. Теперь позвольте s быть матрицей ${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}}$. Тогда, как легко проверить, двойной класс смежности BSB плотно в г; это частный случай Разложение Брюа. поскольку ξ фиксируется B, матричный коэффициент ψ (г) постоянно на BSB. По плотности, ψ (г) = 1 для всех г в г. Тот же аргумент, что и выше, показывает, что гξ = ξ для всех г в г.

(2) Предположим, что ξ фиксируется А. Для унитарной 1-параметрической группы N ≅ р, позволять п[а,б] быть спектральное подпространство соответствующий интервалу [а,б]. Позволять г(s) - диагональная матрица с элементами s и s⁻¹ для |s| > 1. потом г(s)п[а,б]г(s)⁻¹ = п[s²а, s²а]. Как |s| стремится к бесконечности, последние проекции стремятся к 0 в сильной операторной топологии, если 0< а < б или а < б < 0. поскольку г(s) ξ = ξ, следует п[а,б] ξ = 0 в любом случае. По спектральной теореме следует, что ξ находится в спектральном подпространстве п({0}); другими словами ξ фиксируется N. Но тогда по первому результату ξ должен быть исправлен г.

Классические теоремы Густав Хедлунд с начала 1930-х годов утверждают эргодичность потоков геодезических и орициклов, соответствующих компактным Римановы поверхности постоянной отрицательной кривизны. Теорема Хедлунда может быть переинтерпретирована в терминах унитарных представлений г и его подгруппы. Позволять Γ - кокомпактная подгруппа в PSL (2,р) = г / {±я}, для которого все нескалярные элементы являются гиперболическими. Позволять Икс = Γ г / K где K подгруппа поворотов ${ displaystyle { begin {pmatrix} cos theta & sin theta - sin theta & cos theta end {pmatrix}}}$. Единичный касательный пучок SX = Γ г, с геодезическим потоком, заданным правым действием А и поток орициклов за счет правильного действия N. Это действие, если эргодично, если L^∞(Γ г)^А = C, т.е. функции, фиксированные А являются просто постоянными функциями. поскольку Γ г компактно, это будет так, если L²(Γ г)^А = C. Позволять ЧАС = L²(Γ г). Таким образом г действует унитарно ЧАС справа. Любой ненулевой ξ в ЧАС фиксируется А должен быть исправлен г, по второму результату выше. Но в этом случае, если ж является непрерывной функцией на г компактной опоры с ∫ ж = 1, тогда ξ = ∫ ж(г) гξ dg. Правая часть равна ξ ∗ ж, непрерывная функция на г. поскольку ξ правоинвариантно относительно г, это следует из того ξ постоянно, если требуется. Следовательно, геодезический поток эргодичен. Замена А от N и используя первый результат выше, тот же аргумент показывает, что поток орициклов эргодичен.

Теорема Амвросия – Какутани – Кренгеля – Кубо

Индуцированные потоки

Примеры потоков, индуцированных неособыми обратимыми преобразованиями пространств с мерой, были определены формулой фон Нейман (1932) в его теоретико-операторном подходе к классическая механика и эргодическая теория. Позволять Т - неособое обратимое преобразование (Икс, μ), порождающие автоморфизм τ А = L^∞(Икс). Это приводит к обратимому преобразованию Т ⊗ id мерного пространства (Икс × р, μ × м), где м является мерой Лебега, а значит, автоморфизм τ ⊗ id группы A ⊗ L^∞(р). Перевод L_т определяет поток на р сохранение м а значит, поток λ_т на L^∞(р). Позволять S = L₁ с соответствующим автоморфизмом σ группы L^∞(р). Таким образом, τ ⊗ σ дает автоморфизм А ⊗ L^∞(р), который коммутирует с потоком id ⊗ λ_т. Пространство с индуцированной мерой Y определяется B = L^∞(Y) = L^∞(Икс × р)^{τ ⊗ σ}, функции, фиксируемые автоморфизмом τ ⊗ σ. Это признает индуцированный поток задается ограничением id ⊗ λ_т к B. Поскольку λ_т действует эргодически на L^∞(р), то фиксированные потоком функции можно отождествить с L^∞(Икс)^τ. В частности, если исходное преобразование эргодично, поток, который оно индуцирует, также эргодичен.

Потоки встроены в функцию потолка

Индуцированное действие также можно описать в терминах унитарных операторов, и именно этот подход поясняет обобщение на специальные потоки, то есть потоки, построенные под функциями потолка. Позволять р - преобразование Фурье на L²(р,м), унитарный оператор такой, что рλ (т)р^∗ = V_т где λ (т) является переводом т и V_т это умножение на e^itx. Таким образом V_т лежит в L^∞(р). Особенно V₁ = р S р^∗. Функция потолка час функция в А с участием час ≥ ε1 при ε> 0. Тогда e^ihx дает унитарное представление р в А, непрерывный в сильной операторной топологии и, следовательно, унитарный элемент W из А ⊗ L^∞(р), действующий на L²(Икс, μ) ⊗ L²(р). Особенно W ездит с я ⊗V_т. Так W₁ = (я ⊗ р^∗) W (я ⊗ р) ездит с я ⊗ λ (т). Действие Т на L^∞(Икс) индуцирует унитарную U на L²(Икс) с использованием квадратного корня из Производная Радона-Никодима из μ ∘ Т по μ. Индуцированная алгебра B определяется как подалгебра в А ⊗ L^∞(р) добираясь до Т ⊗ S. Индуцированный поток σ_т дан кем-то σ_т (б) = (я ⊗ λ (т)) б (я ⊗ λ (-т)).

В специальный поток, соответствующий потолочной функции час с базовой трансформацией Т определена на алгебре B(ЧАС), задаваемые элементами в А ⊗ L^∞(р) добираясь до (Т ⊗ я) W₁. Индуцированный поток соответствует функции потолка час ≡ 1, постоянная функция. Очередной раз W₁, и, следовательно (Т ⊗ я) W₁, ездит с я ⊗ λ (т). Особый поток на B(ЧАС) снова дается σ_т (б) = (я ⊗ λ (т)) б (я ⊗ λ (-т)). Те же рассуждения, что и для индуцированных воздействий, показывают, что функции, фиксируемые потоком, соответствуют функциям в А фиксируется σ, так что специальный поток эргодичен, если исходное неособое преобразование Т эргодичен.

Связь с разложением Хопфа

Если S_т является эргодическим потоком на пространстве с мерой (Икс, μ), отвечающие однопараметрической группе автоморфизмов σ_т из А = L^∞(Икс, μ), то по Разложение Хопфа либо каждый S_т с участием т ≠ 0 диссипативный или каждый S_т с участием т ≠ 0 консервативен. В диссипативном случае эргодический поток должен быть транзитивным, так что А можно отождествить с L^∞(р) по мере Лебега и р действует переводом.

Чтобы доказать результат в диссипативном случае, заметим, что А = L^∞(Икс, μ) - максимальная абелева алгебра фон Неймана действующее в гильбертовом пространстве L²(Икс, μ). Вероятностная мера μ может быть заменена эквивалентной инвариантной мерой λ, и существует проекция п в А такое, что σ_т(п) < п для т > 0 и λ (п - σ_т(п)) = т. В этом случае σ_т(п) =E([т, ∞)) где E является проекционно-значной мерой на р. Эти проекции порождают подалгебру фон Неймана B из А. По эргодичности σ_т(п) ${ displaystyle uparrow}$ 1 как т стремится к −∞. Гильбертово пространство L²(Икс, λ) можно отождествить с пополнением подпространства ж в А с λ (|ж|²) <∞. Подпространство, соответствующее B можно отождествить с L²(р) и B с L^∞(р). Поскольку λ инвариантно относительно S_т, реализуется унитарным представлением U_т. Посредством Теорема Стоуна – фон Неймана для ковариантной системы B, U_т, гильбертово пространство ЧАС = L²(Икс, λ) допускает разложение L²(р) ⊗ ${ displaystyle ell ^ {2}}$ где B и U_т действуют только на первый тензорный множитель. Если есть элемент а из А не в B, то он лежит в коммутанте B ⊗ C, т.е. в B ⊗ B (${ displaystyle ell ^ {2}}$). Таким образом, If может быть реализовано в виде матрицы с элементами в B. Умножая на χ_[р,s] в B, записи а можно принять, чтобы быть в L^∞(р) ∩ L¹(р). Для таких функций ж, как элементарный случай эргодическая теорема среднее значение σ_т(ж) более [-р,р] стремится в слабой операторной топологии к ∫ ж(т) dt. Следовательно, для подходящего χ_[р,s] это создаст элемент в А который лежит в C ⊗ B (${ displaystyle ell ^ {2}}$) и не делится на 1 ⊗ я. Но такой элемент коммутирует с U_т так фиксируется σ_т, что противоречит эргодичности. Следовательно А = B = L^∞(р).

Когда все σ_т с участием т ≠ 0 консервативны, поток называется правильно эргодичный. В этом случае следует, что для любого ненулевого п в А и т ≠ 0, п ≤ σ_т (п) ∨ σ_2т (п) ∨ σ_3т (п) ∨ ⋅⋅⋅ В частности ∨_±т>0 σ_т (п) = 1 для п ≠ 0.

Теорема Амвросия – Какутани – Кренгеля – Кубо.

Теорема утверждает, что каждый эргодический поток изоморфен специальному потоку, соответствующему потолочной функции с эргодическим базовым преобразованием. Если поток оставляет вероятностную меру инвариантной, то же самое верно и для базового преобразования.

Для простоты только оригинальный результат Амвросий (1941) рассматривается случай эргодического потока, сохраняющего вероятностную меру μ. Позволять А = L^∞(Икс, μ) и разреши σ_т - эргодический поток. Поскольку течение консервативное, для любой проекции п ≠ 0, 1 дюйм А Существует Т > 0 без σ_Т(п) ≤ п, так что (1 − п) ∧ σ_Т(п) ≠ 0. С другой стороны, как р > 0 уменьшается до нуля

${ displaystyle a_ {r} = {1 over r} int _ {0} ^ {r} sigma _ {t} (p) , dt rightarrow p}$

в сильная операторная топология или, что то же самое, слабая операторная топология (эти топологии совпадают на унитарах, следовательно, инволюции, а значит, и проекции). В самом деле, достаточно показать, что если ν - любая конечная мера на А, то ν (а_р) стремится к ν (п). Это следует потому, что ж(т) = ν (σ_т(п)) является непрерывной функцией т так что в среднем ж более [0,р] как правило ж(0) как р стремится к 0.^[2]

Обратите внимание, что 0 ≤ а_р ≤ 1. Теперь для исправленного р > 0, следуя Амвросий (1941), набор

${ displaystyle q_ {0} (r) = chi _ {[0,1 / 4]} (a_ {r}), , , , q_ {1} (r) = chi _ {[3 / 4,1]} (a_ {r}).}$

Набор р = N^–1 для N большой и ж_N = а_р. Таким образом, 0 ≤ ж_N ≤ 1 дюйм L^∞(Икс, μ) и ж_N стремится к характеристической функции п в L¹(Икс, μ). Но тогда, если ε = 1/4, то χ_{[0, ε]}(ж_N) стремится к χ_{[0, ε]}(п) = 1 – п в L¹(Икс).^[3] Используя расщепление А = pA ⊕ (1 − п)А, это сводится к доказательству того, что если 0 ≤ час_N ≤ 1 дюйм L^∞(Y, ν) и час_N стремится к 0 в L¹(Y, ν), то χ_{[1 − ε, 1]}(час_N) стремится к 0 в L¹(Y, ν). Но это легко следует из Неравенство Чебышева: действительно (1 − ε) χ_{[1 − ε, 1]}(час_N) ≤ час_N, так что ν (χ_{[1 − ε, 1]}(час_N)) ≤ (1 − ε)⁻¹ ν (час_N), которая по предположению стремится к 0.

Таким образом, по определению q₀(р) ∧ q₁(р) = 0. Более того, при р = N⁻¹ достаточно маленький, q₀(р) ∧ σ_Т(q₁(р))> 0. Приведенные выше рассуждения показывают, что q₀(р) и q₁(р) стремятся к 1 - п и п так как р = N⁻¹ стремится к 0. Это означает, что q₀(р) σ_Т(q₁(р)) стремится к (1 - п) σ_Т(п) ≠ 0, поэтому отличен от нуля при N достаточно большой. Исправление одного такого N и с р = N⁻¹, установка q₀= q₀(р) и q₁= q₁(р), поэтому можно считать, что

${ displaystyle q_ {0} wedge q_ {1} = 0, , , , , q_ {0} wedge sigma _ {T} (q_ {1})> 0.}$

Определение q₀ и q₁ также следует, что если δ < р/4 = (4N)⁻¹, тогда

${ displaystyle sigma _ {t} (q_ {0}) wedge q_ {1} = 0 , , , mathrm {for} , , , | t | leq delta.}$

Фактически, если s < т

${ displaystyle | sigma _ {t} (a_ {r}) - sigma _ {s} (a_ {r}) | _ { infty} = r ^ {- 1} left | int _ {r + s} ^ {r + t} sigma _ {x} (p) , dx- int _ {s} ^ {t} sigma _ {x} (p) , dx right | _ { infty} leq {2 | ts | over r}.}$

Взять s = 0, так что т > 0 и предположим, что е = σ_т(q₀) ∧ q₁ > 0. Итак е = σ_т(ж) с участием ж ≤ q₀. Тогда σ_т(а_р)е = σ_т(а_рж) ≤ 1/4 е и а_ре ≥ 3/4 е, так что

${ displaystyle a_ {r} - sigma _ {t} (a_ {r}) geq a_ {r} e- sigma _ {t} (a_ {r}) e geq {3 over 4} e - {1 over 4} e = {1 over 2} e.}$

Следовательно ||а_р - σ_т(а_р)||_∞ ≥ 1/2. С другой стороны ||а_р - σ_т(а_р)||_∞ ограничена сверху 2т/р, так что т ≥ р/ 4. Следовательно, σ_т(q₀) ∧ q₁ = 0, если |т| ≤ δ.

Элементы а_р непрерывно зависят в операторной норме от р на (0,1]; исходя из вышеизложенного σ_т(а_р) непрерывна по норме в т. Позволять B₀ замыкание по операторной норме унитальной * -алгебры, порожденной σ_т(а_р) s. Он коммутативен и отделим, поэтому Теорема Гельфанда – Наймарка., можно отождествить с C(Z) где Z это его спектр, компактное метрическое пространство. По определению B₀ является подалгеброй А и его закрытие B в слабой или сильной операторной топологии можно отождествить с L^∞(Z, μ), где μ также используется для ограничения μ на B. Подалгебра B инвариантна относительно потока σ_т, что, следовательно, является эргодическим. Анализ этого действия на B₀ и B дает все инструменты, необходимые для построения эргодического преобразования Т и потолочная функция час. Сначала это будет выполнено для B (так что А временно будет считаться совпадающим с B), а затем расширен до А.^[4]

Прогнозы q₀ и q₁ соответствуют характеристическим функциям открытых множеств. Икс₀ и Икс₁ Предположение о собственной эргодичности означает, что объединение любого из этих открытых множеств под действием σ_т так как т пробегает положительные или отрицательные действительные числа является непреодолимым (т. е. компенсация имеет нулевую меру). Замена Икс благодаря их пересечению, открытому множеству, можно предположить, что эти объединения исчерпывают все пространство (которое теперь будет локально компактным, а не компактным). Поскольку поток рекуррентен, любая орбита σ_т проходит через оба множества бесконечно много раз, поскольку т стремится либо к + ∞, либо к −∞. Между заклинанием первым в Икс₀ а затем в Икс₁ ж должен принять значение 1/2, а затем 3/4. Последний раз ж равняется 1/2 в первый раз, когда оно равно 3/4, должно включать изменение т не менее δ / 4 по условию липшицевой непрерывности. Следовательно, каждая орбита должна пересекать множество Ω Икс для которого ж(Икс) = 1/2, ж(σ_т(Икс))> 1/2 при 0 < т ≤ δ / 4 бесконечно часто. Определение подразумевает, что разные пересечения с орбитой разделены расстоянием не менее δ / 4, поэтому Ω пересекает каждую орбиту только счетное количество раз, а пересечения происходят в бесконечно большие отрицательные и положительные моменты времени. Таким образом, каждая орбита разбита на счетное количество полуоткрытых интервалов [р_п(Икс),р_п+1(Икс)) длины не менее δ / 4 с р_п(Икс), стремящуюся к ± ∞ при п стремится к ± ∞. Это разбиение можно нормализовать так, чтобы р₀(Икс) ≤ 0 и р₁(Икс)> 0. В частности, если Икс лежит в Ω, то т₀ = 0. Функция р_п(Икс) называется пвремя возврата в Ω.

Сечение Ω является борелевским множеством, поскольку на каждом компакте {σ_т(Икс)} с участием т в [N⁻¹, δ / 4] с N > 4 / δ функция г(т) = ж(σ_т(Икс)) имеет нижнюю грань больше 1/2 + M⁻¹ для достаточно большого целого M. Следовательно, Ω можно записать как счетное пересечение множеств, каждое из которых является счетным объединением замкнутых множеств; поэтому Ω - борелевское множество. Это, в частности, означает, что функции р_п борелевские функции на Икс. Данный у в Ω обратимое преобразование Бореля Т определяется на Ω формулой S(у) = σ_т(у) где т = р₁(у), время первого возврата в Ω. Функции р_п(у) ограничиваются борелевскими функциями на Ω и удовлетворяют коциклическому соотношению:

${ displaystyle r_ {m + n} = r_ {m} + tau ^ {m} (r_ {n}),}$

где τ - автоморфизм, индуцированный Т. В число попаданий N_т(Икс) для потока S_т на Икс определяется как целое число N такой, что т лежит в [р_N(Икс),р_N+1(Икс)). Это целочисленная борелевская функция на р × Икс удовлетворяющий тождеству коцикла

${ displaystyle N_ {s + t} = N_ {s} + sigma _ {s} (N_ {t}).}$

Функция час = р₁ является строго положительной борелевской функцией на Ω, поэтому формально поток восстанавливается по преобразованию Т с помощью час потолочная функция. Пропавшее Т-инвариантный класс меры на Ω будет восстанавливаться с помощью второго коцикла N_т. Действительно, дискретная мера на Z определяет класс меры для продукта Z × Икс и поток S_т по второму фактору распространяется на поток продукта, задаваемый

${ displaystyle rho _ {t} (m, x) = (m + N_ {t} (x), S_ {t} (x)).}$

Аналогично базовое преобразование Т вызывает преобразование р на р × Ω определяется как

${ Displaystyle R (s, y) = (s-h (y), T (y)).}$

Эти преобразования связаны обратимым борелевским изоморфизмом Φ из р × Ω на Z × Икс определяется

${ Displaystyle Phi (t, y) = (N_ {t} (y), S_ {t} (y)).}$

Его обратное Ψ от Z × Икс на р × Ω определяется как

${ displaystyle Psi (m, x) = (- r _ {- m} (y), S_ {r _ {- m} (y)} y).}$

Под этими картами поток р_т переводится т по первому фактору р × Ω, а в обратном направлении обратимая р переносится на перевод -1 на Z × Икс. Достаточно проверить, что класс меры на Z × Икс переносится в тот же класс меры, что и некоторая мера производства м × ν на р × Ω, где м - мера Лебега, а ν - вероятностная мера на Ω с классом меры, инвариантным относительно Т. Класс меры на Z × Икс инвариантен относительно р, поэтому определяет класс меры на р × Ω, инвариантный относительно сдвига от первого множителя. С другой стороны, единственный класс меры на р инвариантной относительно сдвига является мера Лебега, поэтому класс меры на р × Ω эквивалентно м × ν для некоторой вероятностной меры на Ω. По построению ν квазиинвариантно относительно Т. Распутывая эту конструкцию, следует, что исходный поток изоморфен потоку, построенному под функцией потолка. час для базового преобразования Т на (Ω, ν).^[5][6][7]

Приведенные выше рассуждения были сделаны в предположении, что B = А. В общем А заменяется замкнутой по норме отделимой унитальной * -подалгеброй А₀содержащий B₀, инвариантный относительно σ_т и такой, что σ_т(ж) является непрерывной по норме функцией т для любого ж в А₀. Строить А₀сначала возьмем порождающий набор алгебры фон Неймана А состоящий из счетного числа проекторов, инвариантных относительно σ_т с участием т рациональный. Замените каждый из этого счетного набора прогнозов средними за интервалы [0,N⁻¹] относительно σ_т. Нормальная замкнутая унитальная * -алгебра, которую они порождают, дает А₀. По определению он содержит B₀ = C (Y). По теореме Гельфанда-Наймарка А₀ имеет вид C (Икс). Строительство с а_р выше применимо и здесь: действительно, поскольку B₀ является подалгеброй А₀, Y является непрерывным фактором Икс, поэтому такая функция, как а_р одинаково хорошо работает на Икс. Следовательно, конструкция переносится mutatis mutandis к А, через фактор-карту.

Таким образом, существует пространство измерения (Y, λ) и эргодическое действие Z × р на M = L^∞(Y, λ), заданные коммутирующими действиями τ^п и σ_т такая, что существует τ-инвариантная подалгебра в M изоморфен ${ displaystyle ell ^ { infty}}$(Z) и σ-инвариантная подалгебра в M изоморфна L^∞(р). Исходный эргодический поток задается ограничением σ на M^τ и соответствующее базовое преобразование, задаваемое ограничением τ на M^σ.^[8][9]

Учитывая поток, можно описать, как связаны два разных отдельных базовых преобразования, которые могут использоваться для построения потока.^[10] быть преобразованным обратно в действие Z на Y, т.е. в обратимое преобразование Т_Y на Y. Теоретико-множественный Т_Y (Икс) определяется как Т^м(Икс) где м ≥ 1 - наименьшее целое число такое, что Т^м(Икс) лежит в Икс. Несложно увидеть, что применение того же процесса к обратному Т дает обратное Т_Y. Конструкцию меры теоретически можно описать следующим образом. Позволять е = χ_Y в B = L^∞(Икс, ν) с ν (е) ≠ 0. Тогда е ортогональная сумма проекций е_п определяется следующим образом:

${ Displaystyle е_ {1} = е тау ^ {- 1} (е), , , е_ {2} = е (1- тау ^ {- 1} (е)) тау ^ {- 2 } (e), , , e_ {3} = e (1- tau ^ {- 1} (e)) (1- tau ^ {- 2} (e)) tau ^ {- 3} (e), ...}$

Тогда если ж лежит в е_п B, соответствующий автоморфизм равен τ_е(ж) = τ^п(ж).

С этими определениями два эргодических преобразования τ₁, τ₂ из B₁ и B₂ возникают из одного и того же потока при наличии ненулевых прогнозов е₁ и е₂ в B₁ и B₂ такие, что системы (τ₁)_е1, е₁B₁ и (τ₂)_е2, е₂B₂ изоморфны.

Смотрите также

• Аносов поток
• Аксиома А

Заметки

использованная литература

• фон Нейман, Джон (1932), "Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik", Анналы математики (на немецком), 33 (3): 587–642, Дои:10.2307/1968537, JSTOR  1968537
• Морс, Марстон (1966), Лекции по символической динамике, 1937–1938 гг., Записки на мимеографе Руфуса Ольденбургера, Институт перспективных исследований
• Хопф, Эберхард (1939), "Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung", Лейпциг Бер. Verhandl. Sächs. Акад. Wiss., 91: 261–304
• Амброуз, Уоррен (1941), "Представление эргодических потоков", Анна. математики., 42: 723–739, JSTOR  1969259
• Амвросий, Уоррен; Какутани, Шизуо (1942), "Структура и непрерывность измеряемых потоков", Duke Math. Дж., 9: 25–42, Дои:10.1215 / s0012-7094-42-00904-9
• Рохлин, В. А. (1966), «Избранные темы из метрической теории динамических систем», Десять статей по функциональному анализу и теории меры, Переводы Американского математического общества. Серия 2, 49, Американское математическое общество, стр. 171–240
• Фомин, Сергей В.; Гельфанд, И.М. (1952 г.), "Геодезические потоки на многообразиях постоянной отрицательной кривизны", Успехи матем. Наук, 7 (1): 118–137
• Маутнер, Ф. И. (1957), «Геодезические потоки на симметричных римановых пространствах», Анна. Математика., 65 (3): 416–431, Дои:10.2307/1970054, JSTOR  1970054
• Рис, Фриджес; С.-Надь, Бела (1955), Функциональный анализ, переводы Лео Ф. Борон, Фредерик Ангар
• Мур, К. (1966), «Эргодичность потоков на однородных пространствах», Амер. J. Math., 88 (1): 154–178, Дои:10.2307/2373052, JSTOR  2373052
• Макки, Джордж У. (1966), "Эргодическая теория и виртуальные группы", Математика. Анна., 166: 187–207, Дои:10.1007 / BF01361167
• Макки, Джордж У. (1978), «Эргодическая теория», Представления унитарных групп в физике, вероятности и теории чисел, Серия лекций по математике, 55, Benjamin / Cummings Publishing Co, стр. 133–142, ISBN  0805367020
• Макки, Джордж У. (1990), «Фон Нейман и первые дни эргодической теории», в Glimm, J .; Impagliazzo, J .; Зингер, И. (ред.), Наследие Джона фон Неймана, Труды симпозиумов по чистой математике, 50, Американское математическое общество, стр. 34 ~ 47, ISBN  9780821814871
• Кренгель, Ульрих (1968), "Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I", Математика. Annalen (на немецком), 176 (3): 181–190, Дои:10.1007 / bf02052824, S2CID  124603266
• Кубо, Идзуми (1969), "Квазипотоки", Nagoya Math. Дж., 35: 1–30, Дои:10.1017 / s002776300001299x
• Хоу, Роджер Э .; Мур, Кальвин К. (1979), "Асимптотические свойства унитарных представлений", J. Funct. Анальный., 32: 72–96, Дои:10.1016/0022-1236(79)90078-8
• Cornfeld, I.P .; Фомин, С. В .; Синах, Я. Г. (1982), Эргодическая теория, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 245, перевод А. Б. Сосинского, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90580-4
• Циммер, Роберт Дж. (1984), Эргодическая теория и полупростые группы, Монографии по математике, 81, Биркхойзер, ISBN  3-7643-3184-4
• Бедфорд, Тим; Кин, Майкл; Series, Кэролайн, ред. (1991), Эргодическая теория, символическая динамика и гиперболические пространства, Издательство Оксфордского университета, ISBN  019853390X
• Адамс, Скот (2008), «Спад матричных коэффициентов до нуля на сопряженной бесконечности», Представления групп, эргодическая теория и математическая физика: дань уважения Джорджу У. Макки, Contemp. Математика, 449, Амер. Математика. Soc., Стр. 43–50.
• Мур, К. С. (2008), «Виртуальные группы 45 лет спустя», Представления групп, эргодическая теория и математическая физика: дань уважения Джорджу У. Макки, Contemp. Математика, 449, Амер. Математика. Soc., Стр. 267 ~ 300
• Педерсен, Герт К. (1979), C^∗-алгебры и их группы автоморфизмов, Монографии Лондонского математического общества, 14, Academic Press, ISBN  0-12-549450-5
• Варадараджан, В. С. (1985), Геометрия квантовой теории (Второе изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-96124-0
• Такэсаки, М. (2003), Теория операторных алгебр, II, Энциклопедия математических наук, 125, Springer-Verlag, ISBN  3-540-42914-X
• Такэсаки, М. (2003a), Теория операторных алгебр, III., Энциклопедия математических наук, 127, Springer-Verlag, ISBN  3-540-42913-1
• Моррис, Дэйв Витте (2005), Теоремы Ратнера об унипотентных потоках, Чикагские лекции по математике, Издательство Чикагского университета, arXiv:математика / 0310402, Bibcode:2003 математика ..... 10402 Вт, ISBN  0-226-53983-0
• Надкарни, М. Г. (2013), Основная эргодическая теория, Тексты и материалы по математике, 6 (Третье изд.), Книжное агентство Индостана, ISBN  978-93-80250-43-4