Неравенство Чебышёва - Википедия - Chebyshevs inequality

В теория вероятности, Неравенство Чебышева (также называемый Неравенство Биенайме – Чебышева.) гарантирует, что для широкого класса распределения вероятностей, не более определенной части значений может быть больше определенного расстояния от иметь в виду. В частности, не более 1 /k² значений распределения может быть больше, чем k Стандартное отклонение от среднего (или, что эквивалентно, по крайней мере, 1 - 1 /k² значений распределения находятся в пределах k стандартные отклонения среднего). В статистике это правило часто называют теоремой Чебышева о диапазоне стандартных отклонений от среднего. Неравенство имеет большую полезность, поскольку его можно применить к любому распределению вероятностей, в котором определены среднее значение и дисперсия. Например, его можно использовать для доказательства слабый закон больших чисел.

В практическом использовании, в отличие от 68–95–99.7 правило, что относится к нормальные распределения, Неравенство Чебышева слабее, утверждая, что минимум 75% значений должны находиться в пределах двух стандартных отклонений от среднего и 88,89% в пределах трех стандартных отклонений.^[1][2]

Период, термин Неравенство Чебышева может также относиться к Неравенство Маркова, особенно в контексте анализа. Они тесно связаны, и некоторые авторы ссылаются на Неравенство Маркова как «Первое неравенство Чебышева» и аналогичное, именуемое на этой странице «Вторым неравенством Чебышева».

История

Теорема названа в честь русского математика. Пафнутый Чебышев, хотя впервые его сформулировал его друг и коллега Ирене-Жюль Биенайме.^[3]:98 Теорема была впервые сформулирована без доказательства Бьенайме в 1853 г.^[4] и позже доказано Чебышевым в 1867 году.^[5] Его ученик Андрей Марков представил еще одно доказательство в своей докторской диссертации 1884 года. Тезис.^[6]

Заявление

Неравенство Чебышева обычно формулируется для случайные переменные, но можно обобщить до утверждения о измерять пространства.

Вероятностное утверждение

Позволять Икс (интегрируемый) быть случайная переменная с конечным ожидаемое значение μ и конечное ненулевое отклонение σ². Тогда для любого настоящий номер k > 0,

${ displaystyle Pr (| X- mu | geq k sigma) leq { frac {1} {k ^ {2}}}.}$

Только случай ${ displaystyle k> 1}$ Полезно. Когда ${ Displaystyle к leq 1}$ правая часть ${ displaystyle { frac {1} {k ^ {2}}} geq 1}$ и неравенство тривиально, так как все вероятности ≤ 1.

В качестве примера, используя ${ Displaystyle к = { sqrt {2}}}$ показывает, что вероятность того, что значения лежат вне интервала ${ Displaystyle ( му - { sqrt {2}} sigma, му + { sqrt {2}} sigma)}$ не превышает ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$.

Поскольку его можно применять к полностью произвольным распределениям при условии, что они имеют известное конечное среднее значение и дисперсию, неравенство обычно дает плохую оценку по сравнению с тем, что можно было бы вывести, если бы о задействованном распределении известно больше аспектов.

Утверждение теории меры

Позволять (Икс, Σ, μ) - измерить пространство, и разреши ж быть расширенный реальный -значен измеримая функция определено на Икс. Тогда для любого действительного числа т > 0 и 0 < п < ∞,^[7]

${ displaystyle mu ( {x in X ,: , , | f (x) | geq t }) ​​ leq {1 над t ^ {p}} int _ {| f | geq t} | f | ^ {p} , d mu.}$

В более общем смысле, если грамм - расширенная измеримая вещественнозначная функция, неотрицательная и неубывающая, то^{[нужна цитата ]}

${ Displaystyle му ( {х в Икс ,: , , е (х) geq t }) ​​ leq {1 над g (t)} int _ {X} g circ f , д му.}$

Затем следует предыдущее утверждение, определяя ${ displaystyle g (x)}$ в качестве ${ Displaystyle | х | ^ {p}}$ если ${ Displaystyle х geq т}$ и ${ displaystyle 0}$ иначе.

Пример

Предположим, мы случайным образом выбираем журнальную статью из источника, содержащего в среднем 1000 слов на статью, со стандартным отклонением 200 слов. Затем мы можем сделать вывод, что вероятность того, что в нем содержится от 600 до 1400 слов (т. Е. В пределах k = 2 стандартных отклонения от среднего) должно быть не менее 75%, потому что не более ​¹⁄_k²
= 1/4 шанс оказаться за пределами этого диапазона по неравенству Чебышева. Но если мы дополнительно знаем, что распределение нормальный, мы можем сказать, что существует вероятность 75%, что количество слов находится между 770 и 1230 (что является еще более жесткой границей).

Резкость границ

Как показано в приведенном выше примере, теорема обычно дает довольно слабые оценки. Однако эти оценки, как правило, не могут быть улучшены (оставаясь верными для произвольных распределений). Оценки точны для следующего примера: для любого k ≥ 1,

${ displaystyle X = { begin {cases} -1, & { text {с вероятностью}} { frac {1} {2k ^ {2}}} 0, & { text {с вероятностью}} 1 - { frac {1} {k ^ {2}}} 1, & { text {с вероятностью}} { frac {1} {2k ^ {2}}} end {cases}}}$

Для этого распределения среднее значение μ = 0 и стандартное отклонение σ = 1/k, так

${ displaystyle Pr (| X- mu | geq k sigma) = Pr (| X | geq 1) = { frac {1} {k ^ {2}}}.}$

Неравенство Чебышева - это равенство именно тех распределений, которые являются линейное преобразование этого примера.

Доказательство (двусторонней версии)

Вероятностное доказательство

Неравенство Маркова утверждает, что для любой случайной величины с действительным знаком Y и любое положительное число а, имеем Pr (|Y| > а) ≤ E (|Y|)/а. Один из способов доказать неравенство Чебышева - применить неравенство Маркова к случайной величине Y = (Икс − μ)² с а = (kσ)².

Это также можно доказать напрямую, используя условное ожидание:

${ Displaystyle { begin {выравнивается} sigma ^ {2} & = mathbb {E} [(X- mu) ^ {2}] & = mathbb {E} [(X- mu) ^ {2} mid k sigma leq | X- mu |] Pr [k sigma leq | X- mu |] + mathbb {E} [(X- mu) ^ {2} mid k sigma> | X- mu |] Pr [k sigma> | X- mu |] & geq (k sigma) ^ {2} Pr [k sigma leq | X- mu |] +0 cdot Pr [k sigma> | X- mu |] & = k ^ {2} sigma ^ {2} Pr [k sigma leq | X- му |] конец {выровнено}}}$

Тогда неравенство Чебышева следует делением на k²σ².

Это доказательство также показывает, почему оценки в типичных случаях являются довольно слабыми: условное ожидание для события, где |Икс-μ|<σ выбрасывается, а нижняя граница k²σ² о событии |Икс-μ|≥k 'σ может быть довольно бедным.

Теоретико-мерное доказательство

Исправить ${ displaystyle t}$ и разреши ${ displaystyle A_ {t}}$ быть определенным как ${ Displaystyle A_ {T} = {х в X mid f (x) geq t }}$, и разреши ${ displaystyle 1_ {A_ {t}}}$ быть индикаторная функция из набора${ displaystyle A_ {t}}$. Тогда легко проверить, что для любого ${ displaystyle x}$,

${ displaystyle g (t) 1_ {A_ {t}} (x) leq g (f (x)) , 1_ {A_ {t}} (x),}$

поскольку грамм не убывает, поэтому

${ Displaystyle { begin {выровнено} g (t) mu (A_ {t}) & = int _ {X} g (t) 1_ {A_ {t}} , d mu & leq int _ {A_ {t}} g circ f , d mu & leq int _ {X} g circ f , d mu, end {выровнено}}}$

где последнее неравенство обосновано неотрицательностью граммТребуемое неравенство следует из деления указанного неравенства награмм(т).

Доказательство в предположении, что случайная величина X непрерывна

Используя определения функция плотности вероятности f (x) и отклонение Вар (X):

${ displaystyle { begin {align} Pr (a leq X leq b) = int _ {a} ^ {b} f_ {X} (x) , dx, end {align}}}$

${ displaystyle { begin {align} operatorname {Var} (X) = sigma ^ {2} & = int _ { mathbb {R}} (x- mu) ^ {2} f (x) , dx, end {выровнено}}}$

у нас есть:

${ Displaystyle { begin {align} Pr (| X- mu | geq k sigma) & = int _ {| x- mu | geq k sigma} f (x) , dx & leq int _ {| x- mu | geq k sigma} { frac {| x- mu |} {k sigma}} f (x) , dx & leq int _ {| x- mu | geq k sigma} { frac {(x- mu) ^ {2}} {k ^ {2} sigma ^ {2}}} f (x) , dx & = int _ {| x- mu | geq k sigma} { frac {1} {k ^ {2} sigma ^ {2}}} (x- mu) ^ {2 } f (x) , dx & = { frac {1} {k ^ {2} sigma ^ {2}}} int _ {| x- mu | geq k sigma} (x - mu) ^ {2} f (x) , dx & leq { frac {1} {k ^ {2} sigma ^ {2}}} int _ {- infty} ^ { infty} (x- mu) ^ {2} f (x) , dx & = { frac {1} {k ^ {2} sigma ^ {2}}} sigma ^ {2} & = { frac {1} {k ^ {2}}}. end {align}}}$

Замена kσ с ε, куда k=ε/ σ имеем другую форму неравенства Чебышева:

${ displaystyle { begin {align} Pr (| X- mu | geq epsilon) leq { frac { sigma ^ {2}} { epsilon ^ {2}}}, end {выровнено }}}$

или эквивалент

${ displaystyle { begin {align} Pr (| X- mu | < epsilon)> 1 - { frac { sigma ^ {2}} { epsilon ^ {2}}}, end {выровнено }}}$

куда ε определяется так же, как k; любое положительное действительное число.

Расширения

Разработано несколько расширений неравенства Чебышева.

Асимметричный двусторонний

Если Икс имеет иметь в виду μ и дисперсия σ², тогда

${ Displaystyle Pr (l <Икс <и) geq { гидроразрыва {4 [( му -l) (и- му) - sigma ^ {2}]} {(лю) ^ {2}} },}$^[8]

Это сводится к неравенству Чебышева в симметричном случае (л и ты равноудалены от среднего).

Двумерное обобщение

Позволять Икс₁, Икс₂ быть двумя случайными величинами со средними μ₁, μ₂ и конечные дисперсии σ₁, σ₂ соответственно. Затем связанный союз показывает, что

${ Displaystyle Pr left (l_ {1} leq { frac {X_ {1} - mu _ {1}} { sigma _ {1}}} leq u_ {1}, l_ {2} leq { frac {X_ {2} - mu _ {2}} { sigma _ {2}}} leq u_ {2} right) geq 1 - { frac {4+ (u_ {1 } + l_ {1}) ^ {2}} {(u_ {1} -l_ {1}) ^ {2}}} - { frac {4+ (u_ {2} + l_ {2}) ^ { 2}} {(u_ {2} -l_ {2}) ^ {2}}}}$

Эта граница не требует Икс₁ и Икс₂ независимый.^[9]

Двумерная известная корреляция

Берже вывел неравенство для двух коррелированных переменных Икс₁, Икс₂.^[10] Позволять ρ быть коэффициентом корреляции между Икс₁ и Икс₂ и разреши σ_я² быть дисперсией Икс_я. потом

${ displaystyle Pr left ( bigcap _ {i = 1} ^ {2} left [{ frac {| X_ {i} - mu _ {i} |} { sigma _ {i}}}}$

Позднее Лал получил альтернативную оценку^[11]

${ displaystyle Pr left ( bigcap _ {i = 1} ^ {2} left [{ frac {| X_ {i} - mu _ {i} |} { sigma _ {i}}}} leq k_ {i} right] right) geq 1 - { frac {k_ {1} ^ {2} + k_ {2} ^ {2} + { sqrt {(k_ {1} ^ {2 } + k_ {2} ^ {2}) ^ {2} -4k_ {1} ^ {2} k_ {2} ^ {2} rho}}} {2 (k_ {1} k_ {2}) ^ {2}}}}$

Исии сделал еще одно обобщение.^[12] Позволять

${ Displaystyle Z = Pr left ( left (-k_ {1}$

и определите:

${ displaystyle lambda = { frac {k_ {1} (1+ rho) + { sqrt {(1- rho ^ {2}) (k_ {1} ^ {2} + rho)}} } {2k_ {1} -1+ rho}}}$

Сейчас есть три случая.

• Случай А: Если ${ displaystyle 2k_ {1} ^ {2}> 1- rho}$ и ${ displaystyle k_ {2} -k_ {1} geq 2 lambda}$ тогда

${ displaystyle Z leq { frac {2 lambda ^ {2}} {2 lambda ^ {2} +1+ rho}}.}$

• Случай B: Если условия случая А не выполняются, но k₁k₂ ≥ 1 и

${ displaystyle 2 (k_ {1} k_ {2} -1) ^ {2} geq 2 (1- rho ^ {2}) + (1- rho) (k_ {2} -k_ {1} ) ^ {2}}$

тогда

${ displaystyle Z leq { frac {(k_ {2} -k_ {1}) ^ {2} +4 + { sqrt {16 (1- rho ^ {2}) + 8 (1- rho ) (k_ {2} -k_ {1})}}} {(k_ {1} + k_ {2}) ^ {2}}}.}$

• Случай C: Если ни одно из условий в случаях A или B не выполняется, то не существует универсальной оценки, отличной от 1.

Многомерный

Общий случай известен как неравенство Бирнбаума – Раймонда – Цукермана в честь авторов, доказавших его для двух измерений.^[13]

${ displaystyle Pr left ( sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {(X_ {i} - mu _ {i}) ^ {2}} { sigma _ {i} ^ {2} t_ {i} ^ {2}}} geq k ^ {2} right) leq { frac {1} {k ^ {2}}} sum _ {i = 1} ^ {n } { frac {1} {t_ {i} ^ {2}}}}$

куда Икс_я это я-я случайная величина, μ_я это я-е среднее и σ_я² это я-я дисперсия.

Если переменные независимы, это неравенство можно усилить.^[14]

${ displaystyle Pr left ( bigcap _ {i = 1} ^ {n} { frac {| X_ {i} - mu _ {i} |} { sigma _ {i}}} leq k_ {i} right) geq prod _ {i = 1} ^ {n} left (1 - { frac {1} {k_ {i} ^ {2}}} right)}$

Олкин и Пратт вывели неравенство для п коррелированные переменные.^[15]

${ displaystyle Pr left ( bigcap _ {i = 1} ^ {n} { frac {| X_ {i} - mu _ {i} |} { sigma _ {i}}}$

где сумма берется по п переменные и

${ displaystyle u = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {1} {k_ {i} ^ {2}}} + 2 sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j$

куда ρ_ij корреляция между Икс_я и Икс_j.

Неравенство Олкина и Пратта впоследствии было обобщено Годвином.^[16]

Конечномерный вектор

Ferentinos^[9] показал, что для вектор Икс = (Икс₁, Икс₂, ...) со средним μ = (μ₁, μ₂, ...), стандартное отклонение σ = (σ₁, σ₂, ...) и евклидовой нормы || ⋅ || который

${ Displaystyle Pr ( | Икс- му | geq k | sigma |) leq { frac {1} {k ^ {2}}}.}$

Второе связанное неравенство также было выведено Ченом.^[17] Позволять п быть измерение стохастического вектора Икс и разреши E (Икс) быть средним Икс. Позволять S быть ковариационная матрица и k > 0. потом

${ displaystyle Pr left ((X- operatorname {E} (X)) ^ {T} S ^ {- 1} (X- operatorname {E} (X))$

куда Y^Т это транспонировать из Y. Простое доказательство было получено в Наварро.^[18] следующее:

${ displaystyle Z = (X- operatorname {E} (X)) ^ {T} S ^ {- 1} (X- operatorname {E} (X)) = (X- operatorname {E} (X )) ^ {T} S ^ {- 1/2} S ^ {- 1/2} (X- operatorname {E} (X)) = Y ^ {T} Y geq 0}$

куда

${ Displaystyle Y = (Y_ {1}, ..., Y_ {n}) ^ {T} = S ^ {- 1/2} (X- operatorname {E} (X))}$

и ${ displaystyle S ^ {- 1/2}}$ симметричная обратимая матрица такая, что: ${ Displaystyle S ^ {- 1/2} S ^ {- 1/2} = S ^ {- 1}}$. Следовательно ${ Displaystyle OperatorName {E} (Y) = (0, ldots, 0) ^ {T}}$ и ${ displaystyle operatorname {Cov} (Y) = I_ {n}}$ куда ${ displaystyle I_ {n}}$ представляет собой единичную матрицу размерностип. потом ${ displaystyle operatorname {E} (Y_ {i} ^ {2}) = operatorname {Var} (Y_ {i}) = 1}$ и

${ displaystyle operatorname {E} (Z) = operatorname {E} (Y ^ {T} Y) = sum _ {i = 1} ^ {n} operatorname {E} (Y_ {i} ^ { 2}) = n}$

Наконец, применяя Неравенство Маркова к Z мы получаем

${ displaystyle Pr left (Z geq k right) = Pr left ((X- operatorname {E} (X)) ^ {T} S ^ {- 1} (X- operatorname {E } (X)) geq k right) leq { frac { operatorname {E} (Z)} {k}} = { frac {n} {k}}}$

Итак, требуемое неравенство выполнено.

Неравенство можно записать в терминах Расстояние Махаланобиса в качестве

${ displaystyle Pr left (d_ {S} ^ {2} (X, operatorname {E} (X))$

где расстояние Махаланобиса, основанное на S, определяется как

${ displaystyle d_ {S} (x, y) = { sqrt {(x-y) ^ {T} S ^ {- 1} (x-y)}}}$

Наварро^[19] доказали, что эти границы точны, то есть они являются наилучшими возможными границами для этих регионов, когда мы просто знаем среднее значение и матрицу ковариации X.

Stellato et al.^[20] показали, что этот многомерный вариант неравенства Чебышева может быть легко выведен аналитически как частный случай Vandenberghe et al.^[21] где оценка вычисляется путем решения полуопределенная программа (SDP).

Бесконечные измерения

Существует прямое расширение векторной версии неравенства Чебышева на бесконечномерные параметры. Позволять Икс быть случайной величиной, которая принимает значения в Fréchet space ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ (оборудован полунормами || ⋅ ||_α). Сюда входят наиболее распространенные настройки векторных случайных величин, например, когда ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ это Банахово пространство (оснащены единой нормой), Гильбертово пространство, или конечномерную настройку, как описано выше.

Предположим, что Икс имеет "сильный второй приказ ", означающий, что

${ Displaystyle OperatorName {E} left ( | X | _ { alpha} ^ {2} right) < infty}$

для каждой полунормы || ⋅ ||_α. Это обобщение требования, чтобы Икс имеют конечную дисперсию и необходимы для этой сильной формы неравенства Чебышева в бесконечных измерениях. Терминология «сильный второй порядок» возникла из-за Вахания.^[22]

Позволять ${ displaystyle mu in { mathcal {X}}}$ быть Интеграл Петтиса из Икс (т. е. векторное обобщение среднего), и пусть

${ displaystyle sigma _ {a}: = { sqrt { operatorname {E} | X- mu | _ { alpha} ^ {2}}}}$

- стандартное отклонение относительно полунормы || ⋅ ||_α. В этой настройке мы можем заявить следующее:

Общая версия неравенства Чебышева. ${ displaystyle forall k> 0: quad Pr left ( | X- mu | _ { alpha} geq k sigma _ { alpha} right) leq { frac {1} {k ^ {2}}}.}$

Доказательство. Доказательство прямолинейное и по сути такое же, как и окончательная версия. Если σ_α = 0, тогда Икс постоянна (и равна μ) почти наверняка, поэтому неравенство тривиально.

Если

${ Displaystyle | Икс- му | _ { альфа} GEQ к сигма _ { альфа} ^ {2}}$

тогда ||Икс − μ||_α > 0, поэтому мы можем спокойно разделить на ||Икс − μ||_α. Решающий трюк в неравенстве Чебышева состоит в том, чтобы признать, что ${ Displaystyle 1 = { tfrac { | X- mu | _ { alpha} ^ {2}} { | X- mu | _ { alpha} ^ {2}}}}$.

Следующие вычисления завершают доказательство:

${ Displaystyle { begin {align} Pr left ( | X- mu | _ { alpha} geq k sigma _ { alpha} right) & = int _ { Omega} mathbf {1} _ { | X- mu | _ { alpha} geq k sigma _ { alpha}} , mathrm {d} Pr & = int _ { Omega} left ({ frac { | X- mu | _ { alpha} ^ {2}} { | X- mu | _ { alpha} ^ {2}}} right) cdot mathbf {1} _ { | X- mu | _ { alpha} geq k sigma _ { alpha}} , mathrm {d} Pr [6pt] & leq int _ { Omega} left ({ frac { | X- mu | _ { alpha} ^ {2}} {(k sigma _ { alpha}) ^ {2}}} right) cdot mathbf {1} _ { | X- mu | _ { alpha} geq k sigma _ { alpha}} , mathrm {d} Pr [6pt] & leq { frac {1} {k ^ {2} sigma _ { alpha} ^ {2}}} int _ { Omega} | X- mu | _ { alpha} ^ {2} , mathrm {d} Pr && mathbf {1} _ { | X- mu | _ { alpha} geq k sigma _ { alpha}} leq 1 [6pt] & = { frac {1} {k ^ {2} sigma _ { alpha} ^ {2}}} left ( operatorname {E} | X- mu | _ { alpha} ^ {2} right) [6pt] & = { frac {1} {k ^ {2} sigma _ { alpha} ^ {2}}} left ( sigma _ { alpha} ^ {2} справа) [6pt] & = { frac {1} {k ^ {2}}} end {align}}}$

Высшие моменты

Также возможно расширение на высшие моменты:

${ Displaystyle Pr left (| X- OperatorName {E} (X) | GEQ k OperatorName {E} (| X- operatorname {E} (X) | ^ {n}) ^ { frac {1} {n}} right) leq { frac {1} {k ^ {n}}}, qquad k> 0, n geq 2.}$

Экспоненциальный момент

Связанное неравенство, иногда известное как экспоненциальное неравенство Чебышева^[23] это неравенство

${ Displaystyle Pr (Икс geq varepsilon) leq e ^ {- t varepsilon} operatorname {E} left (e ^ {tX} right), qquad t> 0.}$

Позволять K(т) быть кумулянтная производящая функция,

${ Displaystyle К (t) = журнал влево ( operatorname {E} left (e ^ {tx} right) right).}$

Принимая Преобразование Лежандра – Фенхеля^{[требуется разъяснение ]} из K(т) и используя экспоненциальное неравенство Чебышева, имеем

${ displaystyle - log ( Pr (X geq varepsilon)) geq sup _ {t} (t varepsilon -K (t)).}$

Это неравенство можно использовать для получения экспоненциальных неравенств для неограниченных переменных.^[24]

Ограниченные переменные

Если P (Икс) имеет конечный носитель на интервале [а, б], позволять M = макс (|а|, |б|) где |Икс| это абсолютная величина из Икс. Если среднее значение P (Икс) равно нулю, то для всех k > 0^[25]

${ displaystyle { frac { operatorname {E} (| X | ^ {r}) - k ^ {r}} {M ^ {r}}} leq Pr (| X | geq k) leq { frac { operatorname {E} (| X | ^ {r})} {k ^ {r}}}.}$

Второе из этих неравенств с р = 2 - граница Чебышева. Первый обеспечивает нижнюю границу значения P (Икс).

Ниемитало предложил точные оценки для ограниченной вариации, но без доказательства.^[26]

Позволять 0 ≤ Икс ≤ M куда M > 0. потом

• Случай 1:

${ displaystyle Pr (X k quad { text {and}} quad operatorname {E} ( X ^ {2})$

• Случай 2:

${ Displaystyle Pr (Икс <К) GEQ 1 - { гидроразрыва {к OperatorName {E} (X) + M OperatorName {E} (X) - operatorname {E} (X ^ {2}) } {kM}} qquad { text {if}} qquad { begin {cases} operatorname {E} (X)> k quad { text {and}} quad operatorname {E} (X ^ {2}) geq k operatorname {E} (X) + M operatorname {E} (X) -kM qquad qquad qquad { text {или}} operatorname {E} (X) leq k quad { text {and}} quad operatorname {E} (X ^ {2}) geq k operatorname {E} (X) end {cases}}}$

• Случай 3:

${ Displaystyle Pr (Икс <К) geq { гидроразрыва { OperatorName {E} (X) ^ {2} -2k OperatorName {E} (X) + k ^ {2}} { operatorname {E } (X ^ {2}) - 2k operatorname {E} (X) + k ^ {2}}} qquad { text {if}} qquad operatorname {E} (X) leq k quad { text {и}} quad operatorname {E} (X ^ {2})$

Конечные образцы

Одномерный случай

Увидел и другие неравенство Чебышева распространилось на случаи, когда среднее значение генеральной совокупности и дисперсия неизвестны и могут не существовать, но выборочное среднее и стандартное отклонение выборки от N образцы должны использоваться, чтобы ограничить ожидаемую ценность нового рисунка из того же распределения.^[27]

${ Displaystyle P (| Xm | geq ks) leq { frac {g_ {N + 1} left ({ frac {Nk ^ {2}} {N-1 + k ^ {2}}} right)} {N + 1}} left ({ frac {N} {N + 1}} right) ^ {1/2}}$

куда Икс случайная величина, которую мы выбрали N раз, м выборочное среднее, k является константой и s стандартное отклонение выборки. грамм(Икс) определяется следующим образом:

Позволять Икс ≥ 1, Q = N + 1, и р быть наибольшим целым числом меньше Q/Икс. Позволять

${ displaystyle a ^ {2} = { frac {Q (Q-R)} {1 + R (Q-R)}}.}$

Сейчас же

${ displaystyle g_ {Q} (x) = { begin {case} R & { text {if}} R { text {равно,}} R & { text {if}} R { text { нечетно и}} x$

Это неравенство сохраняется даже тогда, когда моменты заселенности не существуют, и когда выборка только слабо обменяемый распределены; этому критерию соответствует рандомизированная выборка. Таблица значений неравенства Пила – Янга – Мо для конечных размеров выборки (N <100) было определено Konijn.^[28] Таблица позволяет рассчитывать различные доверительные интервалы для среднего значения на основе кратных C стандартной ошибки среднего, рассчитанного по выборке. Например, Конейн показывает, что для N = 59, 95-процентный доверительный интервал для среднего м является (м − CS, м + CS) куда C = 4.447 × 1.006 = 4.47 (это в 2,28 раза больше, чем значение, найденное в предположении нормальности, показывающее потерю точности в результате незнания точного характера распределения).

Кабан дает несколько менее сложную версию этого неравенства.^[29]

${ Displaystyle P (| Xm | geq ks) leq { frac {1} {N + 1}} left lfloor { frac {N + 1} {N}} left ({ frac {N -1} {k ^ {2}}} + 1 right) right rfloor}$

Если стандартное отклонение кратно среднему, то можно вывести дополнительное неравенство:^[29]

${ Displaystyle P (| Xm | geq ks) leq { frac {N-1} {N}} { frac {1} {k ^ {2}}} { frac {s ^ {2}} {m ^ {2}}} + { frac {1} {N}}.}$

Таблица значений неравенства Пила – Янга – Мо для конечных размеров выборки (N <100) было определено Konijn.^[28]

Для фиксированных N и большой м неравенство Пила – Янга – Мо приблизительно равно^[30]

${ displaystyle P (| X-m | geq ks) leq { frac {1} {N + 1}}.}$

Бизли и другие предложили модификацию этого неравенства^[30]

${ Displaystyle P (| X-m | geq ks) leq { frac {1} {k ^ {2} (N + 1)}}.}$

При эмпирическом тестировании эта модификация консервативна, но имеет низкую статистическую мощность. Его теоретическая основа в настоящее время остается неизученной.

Зависимость от размера выборки

Границы, которые эти неравенства дают для конечной выборки, менее жесткие, чем оценки, которые неравенство Чебышева дает для распределения. Чтобы проиллюстрировать это, пусть размер выборки N = 100 и пусть k = 3. Неравенство Чебышева гласит, что максимум приблизительно 11,11% распределения будет лежать не менее чем на три стандартных отклонения от среднего. Версия неравенства Кабана для конечной выборки гласит, что самое большее приблизительно 12,05% выборки лежит за этими пределами. Зависимость доверительных интервалов от размера выборки дополнительно проиллюстрирована ниже.

За N = 10, 95% доверительный интервал составляет приблизительно ± 13,5789 стандартных отклонений.

За N = 100 95% доверительный интервал составляет приблизительно ± 4,9595 стандартных отклонений; доверительный интервал 99% составляет приблизительно ± 140,0 стандартных отклонений.

За N = 500 95% доверительный интервал составляет приблизительно ± 4,5574 стандартного отклонения; доверительный интервал 99% составляет приблизительно ± 11,1620 стандартных отклонений.

За N = 1000 95% и 99% доверительные интервалы составляют приблизительно ± 4,5141 и приблизительно ± 10,5330 стандартных отклонений соответственно.

Неравенство Чебышева для распределения дает 95% и 99% доверительные интервалы приблизительно ± 4,472 стандартных отклонений и ± 10 стандартных отклонений соответственно.

Неравенство Самуэльсона

Хотя неравенство Чебышева является наилучшей возможной оценкой для произвольного распределения, это не обязательно верно для конечных выборок. Неравенство Самуэльсона заявляет, что все значения выборки будут лежать в пределах √N − 1 стандартные отклонения среднего. Оценка Чебышева улучшается с увеличением размера выборки.

Когда N = 10, неравенство Самуэльсона утверждает, что все члены выборки находятся в пределах 3 стандартных отклонений от среднего: в отличие от Чебышева, 99,5% выборки находятся в пределах 13,5789 стандартных отклонений от среднего.

Когда N = 100, неравенство Самуэльсона утверждает, что все члены выборки лежат в пределах приблизительно 9,9499 стандартных отклонений от среднего: Чебышев утверждает, что 99% выборки находятся в пределах 10 стандартных отклонений от среднего.

Когда N = 500, неравенство Самуэльсона утверждает, что все члены выборки находятся в пределах примерно 22,3383 стандартных отклонений от среднего: Чебышев утверждает, что 99% выборки находятся в пределах 10 стандартных отклонений от среднего.

Многомерный случай

Stellato et al.^[20] упростили обозначения и расширили эмпирическое неравенство Чебышева из Saw et al.^[27] к многомерному случаю. Позволять ${ textstyle xi in mathbb {R} ^ {n _ { xi}}}$ - случайная величина и пусть ${ textstyle N in mathbb {Z} _ { geq n _ { xi}}}$. Мы рисуем ${ textstyle N + 1}$ iid образцы ${ textstyle xi}$ обозначается как ${ textstyle xi ^ {(1)}, точки, xi ^ {(N)}, xi ^ {(N + 1)} in mathbb {R} ^ {n _ { xi}}}$. На основе первого ${ textstyle N}$ образцов, мы определяем эмпирическое среднее как ${ textstyle mu _ {N} = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} xi ^ {(i)}}$ и несмещенная эмпирическая ковариация как ${ textstyle Sigma _ {N} = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} ( xi ^ {(i)} - mu _ {N}) ( xi ^ {(i)} - mu _ {N}) ^ { top}}$. Если ${ displaystyle Sigma _ {N}}$ невырожден, то для всех ${ displaystyle lambda in mathbb {R} _ { geq 0}}$ тогда

${ Displaystyle { begin {align} & P ^ {N + 1} left (( xi ^ {(N + 1)} - mu _ {N}) ^ { top} Sigma _ {N} ^ {-1} ( xi ^ {(N + 1)} - mu _ {N}) geq lambda ^ {2} right) [8pt] leq {} & min left { 1, { frac {1} {N + 1}} left lfloor { frac {n _ { xi} (N + 1) (N ^ {2} -1 + N lambda ^ {2})} {N ^ {2} lambda ^ {2}}} right rfloor right }. End {align}}}$

Замечания

В одномерном случае, т.е. ${ textstyle п _ { xi} = 1}$, это неравенство соответствует неравенству из Saw et al.^[27] Более того, правая часть может быть упрощена, если ограничить нижнюю функцию сверху ее аргументом

${ displaystyle P ^ {N + 1} left (( xi ^ {(N + 1)} - mu _ {N}) ^ { top} Sigma _ {N} ^ {- 1} ( xi ^ {(N + 1)} - mu _ {N}) geq lambda ^ {2} right) leq min left {1, { frac {n _ { xi} (N ^ {2} -1 + N lambda ^ {2})} {N ^ {2} lambda ^ {2}}} right }.}$

В качестве ${ textstyle N to infty}$, правая часть стремится к ${ textstyle min left {1, { frac {n _ { xi}} { lambda ^ {2}}} right }}$ что соответствует многомерное неравенство Чебышева над эллипсоидами в форме ${ textstyle Sigma}$ и сосредоточен в ${ textstyle mu}$.

Заостренные границы

Неравенство Чебышева важно из-за его применимости к любому распределению. В результате своей универсальности он не может (и обычно не дает) такой четкой границы, как альтернативные методы, которые можно использовать, если известно распределение случайной величины. Для улучшения точности оценок, получаемых с помощью неравенства Чебышева, был разработан ряд методов; для обзора см. например.^[31]

Стандартизированные переменные

Более точные границы могут быть получены путем предварительной стандартизации случайной величины.^[32]

Позволять Икс - случайная величина с конечной дисперсией Var (Икс). Позволять Z быть стандартизированной формой, определенной как

${ displaystyle Z = { frac {X- operatorname {E} (X)} { operatorname {Var} (X) ^ {1/2}}}.}$

Лемма Кантелли затем

${ Displaystyle P (Z geq k) leq { frac {1} {1 + k ^ {2}}}.}$

Это неравенство точное и достигается k и −1 /k с вероятностью 1 / (1 +k²) и k²/(1 + k²) соответственно.

Если k > 1 и распределение Икс симметрично, то мы имеем

${ Displaystyle P (Z geq k) leq { frac {1} {2k ^ {2}}}.}$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда Z = −k, 0 или k с вероятностями 1 / 2 k², 1 − 1 / k² и 1 / 2 k² соответственно.^[32]Также возможно расширение до двустороннего неравенства.

Позволять ты, v > 0. Тогда имеем^[32]

${ Displaystyle P (Z leq -u { text {или}} Z geq v) leq { frac {4+ (uv) ^ {2}} {(u + v) ^ {2}}} .}$

Полуварианты

Альтернативный метод получения более точных оценок - использование полуварианты (частичные отклонения). Верхний (σ₊²) и ниже (σ₋²) полуварианты определяются как

${ displaystyle sigma _ {+} ^ {2} = { frac { sum _ {x> m} (x-m) ^ {2}} {n-1}},}$

${ displaystyle sigma _ {-} ^ {2} = { frac { sum _ {x$

куда м - среднее арифметическое для выборки и п - количество элементов в выборке.

Дисперсия выборки - это сумма двух вариаций:

${ displaystyle sigma ^ {2} = sigma _ {+} ^ {2} + sigma _ {-} ^ {2}.}$

В терминах нижней полувариантности неравенство Чебышева можно записать^[33]

${ displaystyle Pr (x leq m-a sigma _ {-}) leq { frac {1} {a ^ {2}}}.}$

Положив

${ displaystyle a = { frac {k sigma} { sigma _ {-}}}.}$

Неравенство Чебышева теперь можно записать

${ Displaystyle Pr (х Leq mk sigma) leq { frac {1} {k ^ {2}}} { frac { sigma _ {-} ^ {2}} { sigma ^ {2 }}}.}$

Аналогичный результат можно получить и для верхней полувариантности.

Если мы положим

${ displaystyle sigma _ {u} ^ {2} = max ( sigma _ {-} ^ {2}, sigma _ {+} ^ {2}),}$

Неравенство Чебышева можно записать

${ Displaystyle Pr (| х leq mk sigma |) leq { frac {1} {k ^ {2}}} { frac { sigma _ {u} ^ {2}} { sigma ^ {2}}}.}$

Потому что σ_ты² ≤ σ², использование полудисперсности усиливает исходное неравенство.

Если известно, что распределение симметрично, то

${ Displaystyle sigma _ {+} ^ {2} = sigma _ {-} ^ {2} = { frac {1} {2}} sigma ^ {2}}$

и

${ displaystyle Pr (x leq m-k sigma) leq { frac {1} {2k ^ {2}}}.}$

Этот результат согласуется с результатом, полученным с использованием стандартизованных переменных.

Примечание

Неравенство с более низкой полувариантностью оказалось полезным при оценке риска ухудшения ситуации в финансах и сельском хозяйстве.^[33][34][35]

Неравенство Сельберга

Сельберг получил неравенство для п(Икс) когда а ≤ Икс ≤ б.^[36] Для упрощения обозначений пусть

${ Displaystyle Y = альфа X + бета}$

куда

${ displaystyle alpha = { frac {2k} {b-a}}}$

и

${ displaystyle beta = { frac {- (b + a) k} {b-a}}.}$

Результатом этого линейного преобразования является п(а ≤ Икс ≤ б) равно п(|Y| ≤ k).

Значение (μ_Икс) и дисперсия (σ_Икс) из Икс связаны со средним (μ_Y) и дисперсия (σ_Y) из Y:

${ displaystyle mu _ {Y} = alpha mu _ {X} + beta}$

${ displaystyle sigma _ {Y} ^ {2} = alpha ^ {2} sigma _ {X} ^ {2}.}$

В этих обозначениях неравенство Сельберга утверждает, что

${ Displaystyle Pr (| Y |$

${ displaystyle Pr (| Y |$

${ Displaystyle P (| Y |$

Это, как известно, наилучшие возможные границы.^[37]

Неравенство Кантелли

Неравенство Кантелли^[38] из-за Франческо Паоло Кантелли утверждает, что для реальной случайной величины (Икс) со средним (μ) и дисперсия (σ²)

${ Displaystyle P (X- mu geq a) leq { frac { sigma ^ {2}} { sigma ^ {2} + a ^ {2}}}}$

куда а ≥ 0.

Это неравенство может быть использовано для доказательства одностороннего варианта неравенства Чебышева с k > 0^[39]

${ displaystyle Pr (X- mu geq k sigma) leq { frac {1} {1 + k ^ {2}}}.}$

Как известно, оценка для однохвостого варианта резкая. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим случайную величину Икс который принимает значения

${ Displaystyle X = 1}$ с вероятностью ${ displaystyle { frac { sigma ^ {2}} {1+ sigma ^ {2}}}}$

${ Displaystyle X = - sigma ^ {2}}$ с вероятностью ${ displaystyle { frac {1} {1+ sigma ^ {2}}}.}$

Тогда E (Икс) = 0 и E (Икс²) = σ² и P (Икс < 1) = 1 / (1 + σ²).

Приложение - расстояние между средним и медианным значением

Односторонний вариант может быть использован для доказательства утверждения, что для распределения вероятностей имея ожидаемое значение и медиана, среднее и медиана никогда не могут отличаться друг от друга более чем на один стандартное отклонение. Чтобы выразить это символами, позвольте μ, ν, и σ быть соответственно средним, медианным и стандартным отклонением. потом

${ displaystyle left | mu - nu right | leq sigma.}$

Нет необходимости предполагать, что дисперсия конечна, потому что это неравенство тривиально верно, если дисперсия бесконечна.

Доказательство таково. Параметр k = 1 в формулировке одностороннего неравенства дает:

${ Displaystyle Pr (Икс- му geq sigma) leq { frac {1} {2}} подразумевает Pr (X geq mu + sigma) leq { frac {1} { 2}}.}$

Изменение знака Икс и из μ, мы получили

${ Displaystyle Pr (Икс leq mu - sigma) leq { frac {1} {2}}.}$

Поскольку медиана по определению представляет собой любое действительное числом что удовлетворяет неравенствам

${ displaystyle operatorname {P} (X leq m) geq { frac {1} {2}} { text {and}} operatorname {P} (X geq m) geq { frac { 1} {2}}}$

это означает, что медиана находится в пределах одного стандартного отклонения от среднего. Доказательство, использующее также неравенство Дженсена. существуют.

Неравенство Бхаттачарьи

Бхаттачарья^[40] расширенное неравенство Кантелли с использованием третьего и четвертого моментов распределения.

Позволять μ = 0 и σ² быть дисперсией. Позволять γ = E (Икс³)/σ³ и κ = E (Икс⁴)/σ⁴.

Если k² − kγ - 1> 0, тогда

${ Displaystyle Р (Икс> к сигма) Leq { гидроразрыва { каппа - гамма ^ {2} -1} {( каппа - гамма ^ {2} -1) (1 + к ^ {2 }) + (k ^ {2} -k gamma -1)}}.}$

Необходимость k² − kγ - 1> 0 требует, чтобы k быть достаточно большим.

Неравенство Митценмахера и Упфала

Митценмахер и Упфаль^[41] Обратите внимание, что

${ Displaystyle (X- OperatorName {E} [X]) ^ {2k}> 0}$

для любого целого числа k > 0 и что

${ displaystyle operatorname {E} [(X- operatorname {E} (X)) ^ {2k}]}$

это 2k^th центральный момент. Затем они показывают это для т > 0

${ Displaystyle Pr left (| X- OperatorName {E} [X] |> t OperatorName {E} [(X- operatorname {E} [X]) ^ {2k}] ^ {1 / 2k } right) leq { frac {1} {t ^ {2k}}}.}$

За k = 1 получаем неравенство Чебышева. За т ≥ 1, k > 2 и предполагая, что k^th момент существует, эта граница более жесткая, чем неравенство Чебышева.

Связанные неравенства

Известны и некоторые другие связанные с этим неравенства.

Неравенство Зелена

Зелен показал, что^[42]

${ Displaystyle Pr (Икс- му geq к сигма) leq left [1 + k ^ {2} + { frac { left (k ^ {2} -k theta _ {3} - 1 right) ^ {2}} { theta _ {4} - theta _ {3} ^ {2} -1}} right] ^ {- 1}}$

с

${ displaystyle k geq { frac { theta _ {3} + { sqrt { theta _ {3} ^ {2} +4}}} {2}}, qquad theta _ {m} = { frac {M_ {m}} { sigma}}}$

куда M_м это м-й момент^{[требуется разъяснение ]} и σ стандартное отклонение.

Неравенство Хэ, Чжана и Чжана

Для любой коллекции п неотрицательные независимые случайные величины Икс_я с ожиданием 1 ^[43]

${ displaystyle Pr left ({ frac { sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}} {n}} - 1 geq { frac {1} {n}} right) leq { frac {7} {8}}.}$

Лемма Хёффдинга

Позволять Икс быть случайной величиной с а ≤ Икс ≤ б и E [Икс] = 0, то для любого s > 0, у нас есть

${ displaystyle E left [e ^ {sX} right] leq e ^ {{ frac {1} {8}} s ^ {2} (b-a) ^ {2}}.}$

Связь Ван Зуйлена

Позволять Икс_я быть набором независимых Случайные величины Радемахера: Pr (Икс_я = 1) = Pr (Икс_я = −1) = 0.5. потом^[44]

${ displaystyle Pr left ( left | { frac { sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}} { sqrt {n}}} right | leq 1 right) geq 0.5.}$

Оценка точна и лучше той, которую можно получить из нормального распределения (приблизительно Pr> 0,31).

Унимодальные распределения

Функция распределения F является одномодальным в ν если его кумулятивная функция распределения равна выпуклый на (−∞, ν) и вогнутый на (ν,∞)^[45] Эмпирическое распределение можно проверить на унимодальность с помощью испытание на погружение.^[46]

В 1823 г. Гаусс показал, что для одномодальное распределение с нулевым режимом^[47]

${ displaystyle P (| X | geq k) leq { frac {4 operatorname {E} (X ^ {2})} {9k ^ {2}}} quad { text {if}} четырехъядерный к ^ {2} geq { frac {4} {3}} operatorname {E} (X ^ {2}),}$

${ displaystyle P (| X | geq k) leq 1 - { frac {k} {{ sqrt {3}} operatorname {E} (X ^ {2})}} quad { text { if}} quad k ^ {2} leq { frac {4} {3}} operatorname {E} (X ^ {2}).}$

Если мода не равна нулю и среднее (μ) и стандартное отклонение (σ) оба конечны, то обозначая медиану как ν и среднеквадратичное отклонение от режима на ω, у нас есть^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle sigma leq omega leq 2 sigma}$

и

${ displaystyle | nu - mu | leq { sqrt { frac {3} {4}}} omega.}$

Винклер в 1866 г. расширил Неравенство Гаусса к р^th моменты ^[48] куда р > 0 и распределение является одномодальным с нулевой модой:

${ Displaystyle P (| Икс | GEQ К) Leq left ({ frac {r} {r + 1}} right) ^ {r} { frac { operatorname {E} (| X |) ^ {r}} {k ^ {r}}} quad { text {if}} quad k ^ {r} geq { frac {r ^ {r}} {(r + 1) ^ {r +1}}} operatorname {E} (| X | ^ {r}),}$

${ Displaystyle P (| Икс | GEQ к) Leq left (1- left [{ гидроразрыва {k ^ {r}} {(г + 1) OperatorName {E} (| X |) ^ { r}}} right] ^ {1 / r} right) quad { text {if}} quad k ^ {r} leq { frac {r ^ {r}} {(r + 1) ^ {r + 1}}} operatorname {E} (| X | ^ {r}).}$

Граница Гаусса была впоследствии уточнена и расширена, чтобы применяться к отклонениям от среднего, а не к моде из-за Неравенство Высочанского – Петунина.. Последний был расширен Дхармадхикари и Джоаг-Девом.^[49]

${ Displaystyle P (| X |> к) Leq max left ( left [{ frac {r} {(r + 1) k}} right] ^ {r} E | X ^ {r} |, { frac {s} {(s-1) k ^ {r}}} E | X ^ {r} | - { frac {1} {s-1}} right)}$

куда s константа, удовлетворяющая обоим s > р + 1 и s(s − р − 1) = р^р ир > 0.

Можно показать, что эти неравенства являются наилучшими из возможных и что дальнейшее уточнение границ требует наложения дополнительных ограничений на распределения.

Унимодальные симметричные распределения

Границы этого неравенства также можно уточнить, если распределение одномодальный и симметричный.^[50] Эмпирическое распределение можно проверить на симметрию с помощью ряда тестов, включая R * Мак-Вильямса.^[51] Известно, что дисперсия унимодального симметричного распределения с конечным носителем [а, б] меньше или равно ( б − а )² / 12.^[52]

Пусть распределение имеет носитель на конечном интервал [ −N, N ] и дисперсия конечна. Пусть Режим распределения равняется нулю и масштабировать дисперсию до 1. Пусть k > 0 и положим k < 2N/ 3. потом^[50]

${ displaystyle P (X geq k) leq { frac {1} {2}} - { frac {k} {2 { sqrt {3}}}} quad { text {if}} quad 0 leq k leq { frac {2} { sqrt {3}}},}$

${ Displaystyle P (Икс geq k) leq { frac {2} {9k ^ {2}}} quad { text {if}} quad { frac {2} { sqrt {3}} } leq k leq { frac {2N} {3}}.}$

Если 0 < k ≤ 2 / √3 границы достигаются с плотностью^[50]

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2 { sqrt {3}}}} quad { text {if}} quad | x | <{ sqrt {3}}}$

${ displaystyle f (x) = 0 quad { text {if}} quad | x | geq { sqrt {3}}.}$

Если 2 / √3 < k ≤ 2N / 3 оценки достигаются распределением

${ displaystyle (1- beta _ {k}) delta _ {0} (x) + beta _ {k} f_ {k} (x),}$

куда β_k = 4 / 3k², δ₀ это Дельта-функция Дирака и где

${ displaystyle f_ {k} (x) = { frac {1} {3k}} quad { text {if}} quad | x | <{ frac {3k} {2}},}$

${ displaystyle f_ {k} (x) = 0 quad { text {if}} quad | x | geq { frac {3k} {2}}.}$

Существование этих плотностей показывает, что оценки оптимальны. С N произвольно, эти границы применяются к любому значению N.

Неравенство Кэмп-Мейделла является родственным неравенством.^[53] Для абсолютно непрерывного унимодального и симметричного распределения

${ displaystyle P (| X- mu | geq k sigma) leq 1 - { frac {k} { sqrt {3}}} quad { text {if}} quad k leq { frac {2} { sqrt {3}}},}$