В математика, Неравенство сумм Чебышева, названный в честь Пафнутый Чебышев, утверждает, что если
и
тогда
Аналогично, если
и
тогда
- [1]
Доказательство
Рассмотрим сумму
Две последовательности не возрастают, поэтому аj − аk и бj − бk иметь тот же знак для любого j, k. Следовательно S ≥ 0.
Раскрывая скобки, выводим:
откуда
Альтернативное доказательство просто получается с помощью перестановочное неравенство, пишу это
Непрерывная версия
Существует также непрерывная версия неравенства сумм Чебышева:
Если ж и грамм являются действительными, интегрируемыми функциями над [0,1], обе являются невозрастающими или оба неубывающими, то
с обратным неравенством, если одно не увеличивается, а другое не убывает.
Смотрите также
Примечания
- ^ Харди, Г. Х .; Littlewood, J. E .; Полиа, Г. (1988). Неравенства. Кембриджская математическая библиотека. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-35880-9. МИСТЕР 0944909.