Неравенство Пэли – Зигмунда. - Paley–Zygmund inequality
В математика, то Неравенство Пэли – Зигмунда. ограничивает вероятность того, что положительная случайная величина мала, в терминах первых двух моменты. Неравенство было доказано Раймонд Пейли и Антони Зигмунд.
Теорема: Если Z ≥ 0 является случайная переменная с конечной дисперсией, а если , тогда
Доказательство: Первый,
Первое добавление не более , а второй - не более посредством Неравенство Коши – Шварца. Отсюда следует требуемое неравенство. ∎
Связанные неравенства
Неравенство Пэли – Зигмунда можно записать как
Это можно улучшить. Посредством Неравенство Коши – Шварца,
что после перестановки означает, что
Это неравенство резкое; равенство достигается, если Z почти наверняка равно положительной константе.
В свою очередь, это подразумевает другую удобную форму (известную как Неравенство Кантелли ) который
куда и .Это следует из замены действительно, когда .
Усиленная форма неравенства Пэли-Зигмунда гласит, что если Z - неотрицательная случайная величина, то
для каждого Это неравенство следует из применения обычного неравенства Пэли-Зигмунда к условному распределению Z при условии, что оно положительно, и с учетом того, что различные факторы Отмена.
И это неравенство, и обычное неравенство Пэли-Зигмунда также допускают версии:[1] Если Z - неотрицательная случайная величина и тогда
для каждого . Это следует из того же доказательства, что и выше, но с использованием Неравенство Гёльдера вместо неравенства Коши-Шварца.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Петров, Валентин В. (1 августа 2007 г.). «О нижних оценках хвостовых вероятностей». Журнал статистического планирования и вывода. 137 (8): 2703–2705. Дои:10.1016 / j.jspi.2006.02.015.
дальнейшее чтение
Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты.Ноябрь 2020) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) ( |
- Paley, R.E.A.C .; Зигмунд, А. (апрель 1932 г.). «О некоторых сериях функций, (3)». Математические труды Кембриджского философского общества. 28 (2): 190–205. Bibcode:1932PCPS ... 28..190P. Дои:10.1017 / S0305004100010860.
- Paley, R.E.A.C .; Зигмунд, А. (июль 1932 г.). «Замечание об аналитических функциях в единичном круге». Математические труды Кембриджского философского общества. 28 (3): 266–272. Bibcode:1932PCPS ... 28..266P. Дои:10.1017 / S0305004100010112.