Неравенство Пэли – Зигмунда. - Paley–Zygmund inequality

В математика, то Неравенство Пэли – Зигмунда. ограничивает вероятность того, что положительная случайная величина мала, в терминах первых двух моменты. Неравенство было доказано Раймонд Пейли и Антони Зигмунд.

Теорема: Если Z ≥ 0 является случайная переменная с конечной дисперсией, а если , тогда

Доказательство: Первый,

Первое добавление не более , а второй - не более посредством Неравенство Коши – Шварца. Отсюда следует требуемое неравенство. ∎

Связанные неравенства

Неравенство Пэли – Зигмунда можно записать как

Это можно улучшить. Посредством Неравенство Коши – Шварца,

что после перестановки означает, что


Это неравенство резкое; равенство достигается, если Z почти наверняка равно положительной константе.

В свою очередь, это подразумевает другую удобную форму (известную как Неравенство Кантелли ) который

куда и .Это следует из замены действительно, когда .

Усиленная форма неравенства Пэли-Зигмунда гласит, что если Z - неотрицательная случайная величина, то

для каждого Это неравенство следует из применения обычного неравенства Пэли-Зигмунда к условному распределению Z при условии, что оно положительно, и с учетом того, что различные факторы Отмена.

И это неравенство, и обычное неравенство Пэли-Зигмунда также допускают версии:[1] Если Z - неотрицательная случайная величина и тогда

для каждого . Это следует из того же доказательства, что и выше, но с использованием Неравенство Гёльдера вместо неравенства Коши-Шварца.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Петров, Валентин В. (1 августа 2007 г.). «О нижних оценках хвостовых вероятностей». Журнал статистического планирования и вывода. 137 (8): 2703–2705. Дои:10.1016 / j.jspi.2006.02.015.

дальнейшее чтение

  • Paley, R.E.A.C .; Зигмунд, А. (апрель 1932 г.). «О некоторых сериях функций, (3)». Математические труды Кембриджского философского общества. 28 (2): 190–205. Bibcode:1932PCPS ... 28..190P. Дои:10.1017 / S0305004100010860.
  • Paley, R.E.A.C .; Зигмунд, А. (июль 1932 г.). «Замечание об аналитических функциях в единичном круге». Математические труды Кембриджского философского общества. 28 (3): 266–272. Bibcode:1932PCPS ... 28..266P. Дои:10.1017 / S0305004100010112.