Вогнутая функция - Concave function

В математика, а вогнутая функция это отрицательный из выпуклая функция. Вогнутая функция также синонимично называется вогнуть вниз, вогнуться, выпуклый вверх, выпуклая крышка или же верхняя выпуклая.

Определение

Ценный функция ${ displaystyle f}$ на интервал (или, в более общем смысле, выпуклый набор в векторное пространство ) называется вогнутый если для любого ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ в интервале и для любого ${ Displaystyle альфа в [0,1]}$ ,^[1]

{ Displaystyle е ((1- альфа) х + альфа у) GEQ (1- альфа) е (х) + альфа е (у)}

Функция называется строго вогнутый если

{ Displaystyle е ((1- альфа) х + альфа у)> (1- альфа) е (х) + альфа е (у) ,}

для любого ${ Displaystyle альфа в (0,1)}$ и ${ Displaystyle х neq y}$ .

Для функции ${ displaystyle f: mathbb {R} to mathbb {R}}$ , это второе определение просто утверждает, что для каждого ${ displaystyle z}$ строго между ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ , смысл ${ Displaystyle (г, е (г))}$ на графике ${ displaystyle f}$ находится над прямой, соединяющей точки ${ Displaystyle (х, е (х))}$ и ${ Displaystyle (у, е (у))}$ .

Функция ${ displaystyle f}$ является квазивогнутый если верхний контур задает функцию ${ Displaystyle S (а) = {х: е (х) geq а }}$ - выпуклые множества.^[2]

Характеристики

Функции одной переменной

1. А дифференцируемая функция $ж$ является (строго) вогнутым на интервал если и только если это производная функция $f '$ (строго) монотонно убывающий на этом интервале, то есть вогнутая функция имеет невозрастающую (убывающую) склон.^[3]^[4]

2. Точки где вогнутость изменяется (между вогнутой и выпуклый ) находятся точки перегиба.^[5]

3. Если $ж$ дважды-дифференцируемый, тогда $ж$ вогнутая если и только если $f ' '$ является неположительный (или, неофициально, если "ускорение "неположительно). Если его вторая производная равна отрицательный тогда он строго вогнутый, но обратное неверно, как показано $ж (Икс) = - Икс 4$ .

4. Если $ж$ вогнутая и дифференцируемая, то она ограничена сверху своим первым порядком Приближение Тейлора:^[2]

{ Displaystyle е (у) Leq е (х) + f '(х) [у-х]}

5. А Измеримая функция Лебега на интервале $C$ вогнутая если и только если это вогнутая середина, то есть для любого $Икс$ и $у$ в $C$

{ displaystyle f left ({ frac {x + y} {2}} right) geq { frac {f (x) + f (y)} {2}}}

6. Если функция $ж$ вогнутая, и $ж (0) \geq 0$ , тогда $ж$ является субаддитив на ${ displaystyle [0, infty)}$ . Доказательство:

С $ж$ вогнутая и $1 \geq т \geq 0$ , позволяя $у = 0$ у нас есть ${ Displaystyle f (tx) = f (tx + (1-t) cdot 0) geq tf (x) + (1-t) f (0) geq tf (x).}$
За ${ displaystyle a, b in [0, infty)}$ :

{ Displaystyle f (a) + f (b) = f left ((a + b) { frac {a} {a + b}} right) + f left ((a + b) { frac {b} {a + b}} right) geq { frac {a} {a + b}} f (a + b) + { frac {b} {a + b}} f (a + b ) = f (a + b)}

Функции п переменные

1. Функция $ж$ вогнута над выпуклым множеством если и только если функция $-f$ это выпуклая функция по набору.

2. Сумма двух вогнутых функций сама по себе вогнута, как и поточечный минимум двух вогнутых функций, т. Е. Набор вогнутых функций в данной области образует полуполе.

3. Рядом с локальный максимум внутри области определения функции функция должна быть вогнутой; наоборот, если производная строго вогнутой функции равна нулю в некоторой точке, то эта точка является локальным максимумом.

4. Любые локальный максимум вогнутой функции также является глобальный максимум. А строго вогнутая функция будет иметь не более одного глобального максимума.

Примеры

Функции ${ displaystyle f (x) = - x ^ {2}}$ и ${ Displaystyle г (х) = { sqrt {х}}}$ вогнуты на своих доменах, так как их вторые производные ${ displaystyle f '' (x) = - 2}$ и ${ displaystyle g '' (x) = - { frac {1} {4x ^ {3/2}}}}$ всегда отрицательны.
В логарифм функция ${ Displaystyle е (х) = журнал {х}}$ вогнутая в своей области ${ displaystyle (0, infty)}$ , как его производная ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$ - строго убывающая функция.
Любой аффинная функция ${ displaystyle f (x) = ax + b}$ одновременно вогнутая и выпуклая, но не строго вогнутая или строго выпуклая.
В синус функция вогнута на интервале ${ displaystyle [0, pi]}$ .
Функция ${ Displaystyle f (B) = журнал | B |}$ , куда ${ displaystyle | B |}$ это детерминант из неотрицательно-определенная матрица B, вогнутая.^[6]

Приложения

Лучи изгибаются в расчет ослабления радиоволн в атмосфере включают вогнутые функции.
В ожидаемая полезность теория для выбор в условиях неопределенности, кардинальная полезность функции не рисковать лица, принимающие решения, вогнуты.
В микроэкономическая теория, производственные функции обычно считаются вогнутыми на некоторых или всех своих доменах, что приводит к убывающая отдача к входным факторам.^[7]

Смотрите также

Дальнейшие ссылки

Крузе, Ж.-П. (2008). «Квазивогнутость». В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (Второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 815–816. Дои:10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
Рао, Сингиресу С. (2009). Инженерная оптимизация: теория и практика. Джон Уайли и сыновья. п. 779. ISBN 978-0-470-18352-6.

[1] Lenhart, S .; Уоркман, Дж. Т. (2007). Оптимальный контроль, применяемый к биологическим моделям. Серия математической и вычислительной биологии. Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-1-58488-640-2.

[:0-2] а ^б Вариан, Хэл Р. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Нортон. п. 489. ISBN 0-393-95735-7. OCLC 24847759.

[3] Рудин, Вальтер (1976). Анализ. п. 101.

[4] Градштейн, И. С .; Рыжик, И. М .; Хейс, Д. Ф. (1976-07-01). «Таблица интегралов, серий и продуктов». Журнал смазочных технологий. 98 (3): 479. Дои:10.1115/1.3452897. ISSN 0022-2305.

[5] Хасс, Джоэл (13 марта 2017 г.). Исчисление Томаса. Хайль, Кристофер, 1960-, Вейр, Морис Д., Томас, Джордж Б., младший (Джордж Бринтон), 1914-2006. (Четырнадцатое изд.). [Соединенные Штаты]. п. 203. ISBN 978-0-13-443898-6. OCLC 965446428.

[Cover_1988-6] Обложка, Томас М.; Томас, Дж. А. (1988). «Детерминантные неравенства через теорию информации». Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям. 9 (3): 384–392. Дои:10.1137/0609033. S2CID 5491763.

[7] Пембертон, Малькольм; Рау, Николай (2015). Математика для экономистов: Вводный учебник. Издательство Оксфордского университета. С. 363–364. ISBN 978-1-78499-148-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]