Вогнутость - Concavification

В математике вогнутость это процесс преобразования невогнутой функции в вогнутая функция. Связанная концепция выпуклость - преобразование невыпуклой функции к выпуклая функция. Это особенно важно в экономика и математическая оптимизация.^[1]

Вогнутость квазивогнутой функции монотонным преобразованием

Важный частный случай вогнутости - это когда исходная функция является квазивогнутая функция. Известно, что:

• Каждая вогнутая функция является квазивогнутой, но обратное неверно.
• Каждое монотонное преобразование квазивогнутой функции также является квазивогнутым. Например, если ж(Икс) квазивогнутая и грамм(·) - монотонно возрастающая функция, то грамм(ж(Икс)) также квазивогнутый.

Поэтому возникает естественный вопрос: с учетом квазивогнутой функции ж(Икс), существует ли монотонно возрастающая грамм(·) такой, что грамм(ж(Икс)) вогнутая?

Положительные и отрицательные примеры

В качестве положительного примера рассмотрим функцию ${ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$ в домене ${ Displaystyle х geq 0}$. Эта функция квазивогнутая, но не вогнутая (на самом деле строго выпуклая). Его можно сделать вогнутым, например, с помощью монотонного преобразования ${ Displaystyle г (т) = т ^ {1/4}}$, поскольку ${ Displaystyle г (е (х)) = { sqrt {х}}}$ который является вогнутым.

Отрицательный пример показал Фенчель.^[2] Его пример: ${ displaystyle f (x, y): = y + { sqrt {x + y ^ {2}}}}$. Он доказал, что эта функция квазивогнутая, но монотонное преобразование отсутствует. грамм(·) Такие, что грамм(ж(Икс,y)) вогнутая.^[3]:7–9

На основе этих примеров мы определяем функцию как вогнутый если существует монотонное преобразование, делающее его вогнутым. Теперь возникает вопрос: какие квазивогнутые функции являются вогнутыми?

Вогнутость

Якар Каннаи рассматривает вопрос подробно в контексте служебные функции, дающие достаточные условия, при которых непрерывная выпуклые предпочтения могут быть представлены вогнутыми функциями полезности.^[4]

Его результаты позже были обобщены Коннеллом и Расмуссеном,^[3] дающие необходимые и достаточные условия вогнутости. Они показывают пример функции, которая нарушает их условия и поэтому не является вогнутой. это ${ Displaystyle е (х, у) = е ^ {е ^ {х}} cdot y}$. Они доказывают, что эта функция строго квазивогнутая и ее градиент отличен от нуля, но не является вогнутым.

Рекомендации