Выпуклые предпочтения - Convex preferences

В экономика, выпуклые предпочтения - это индивидуальное упорядочение различных результатов, как правило, в отношении количества различных потребленных товаров, с тем свойством, что, грубо говоря, «средние значения лучше крайних». Концепция примерно соответствует концепции убывающая предельная полезность не требуя служебные функции.

Обозначение

Сравнимо с "больше или равно" заказ связь ${displaystyle geq}$ для действительных чисел обозначение ${displaystyle successq}$ ниже можно перевести как: 'по крайней мере так же хорошо, как' (в предпочтение удовлетворение).

По аналогии, ${displaystyle succ}$ можно перевести как «строго лучше, чем» (в смысле удовлетворения предпочтений), и ${displaystyle sim}$ можно перевести как «эквивалентно» (в смысле удовлетворения предпочтений).

Определение

Использовать Икс, у, и z для обозначения трех потребительских групп (комбинаций различных количеств различных товаров). Формально отношение предпочтения ${displaystyle successq}$ на набор потребления Икс называется выпуклый если для любого

${displaystyle x, y, zin X}$ куда ${displaystyle ysucceq x}$ и ${displaystyle zsucceq x}$,

и для каждого ${displaystyle heta in [0,1]}$:

${displaystyle heta y + (1- heta) zsucceq x}$.

то есть для любых двух пакетов, каждый из которых рассматривается как по крайней мере такой же хороший, как и третий пакет, средневзвешенное значение этих двух пакетов рассматривается как по крайней мере такое же хорошее, как и третий пакет.

Отношение предпочтения ${displaystyle successq}$ называется строго выпуклый если для любого

${displaystyle x, y, zin X}$ куда ${displaystyle ysucceq x}$, ${displaystyle zsucceq x}$, и ${displaystyle yeq z}$,

и для каждого ${displaystyle heta in (0,1)}$:

${displaystyle heta y + (1- heta) zsucc x}$

то есть для любых двух отдельных пакетов, каждый из которых рассматривается как по крайней мере такой же хороший, как и третий пакет, средневзвешенное значение двух пакетов (включая положительное количество каждого пакета) рассматривается как строго лучше, чем третий пакет.^[1][2]

Альтернативное определение

Использовать Икс и у для обозначения двух пакетов потребления. Отношение предпочтения ${displaystyle successq}$ называется выпуклый если для любого

${displaystyle x, yin X}$ куда ${displaystyle ysucceq x}$

и для каждого ${displaystyle heta in [0,1]}$:

${displaystyle heta y + (1- heta) xsucceq x}$.

То есть, если связка у предпочтительнее связки Икс, затем любое сочетание у с Икс по-прежнему предпочтительнее Икс.^[3]

Отношение предпочтения называется строго выпуклый если для любого

${displaystyle x, yin X}$ куда ${displaystyle ysim x}$, и ${displaystyle xeq y}$,

и для каждого ${displaystyle heta in (0,1)}$:

${displaystyle heta y + (1- heta) xsucc x}$.

${displaystyle heta y + (1- heta) xsucc y}$.

То есть для любых двух пакетов, которые рассматриваются как эквивалентные, средневзвешенное значение этих двух пакетов лучше, чем для каждого из этих пакетов.^[4]

Примеры

1. Если существует только один вид товара, то любое слабо монотонно возрастающее отношение предпочтения является выпуклым. Это потому, что если ${displaystyle ygeq x}$, то каждое средневзвешенное значение у и ס это также ${displaystyle geq x}$.

2. Рассмотрим экономику с двумя типами товаров: 1 и 2. Рассмотрим отношение предпочтений, представленное следующим Леонтьевская функция полезности:

${displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = min (x_ {1}, x_ {2})}$

Это отношение предпочтения является выпуклым. Доказательство: предполагать Икс и у два эквивалентных пучка, т.е. ${displaystyle min (x_ {1}, x_ {2}) = min (y_ {1}, y_ {2})}$. Если товар минимального количества в обеих связках одинаков (например, товар 1), то это реализует ${displaystyle x_ {1} = y_ {1} leq x_ {2}, y_ {2}}$. Тогда любое средневзвешенное значение также имеет такое же количество товара 1, поэтому любое средневзвешенное значение эквивалентно ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$. Если минимальный товар в каждом наборе отличается (например, ${displaystyle x_ {1} leq x_ {2}}$ но ${displaystyle y_ {1} geq y_ {2}}$), то отсюда следует ${displaystyle x_ {1} = y_ {2} leq x_ {2}, y_ {1}}$. потом ${displaystyle heta x_ {1} + (1- heta) y_ {1} geq x_ {1}}$ и ${displaystyle heta x_ {2} + (1- heta) y_ {2} geq y_ {2}}$, так ${displaystyle heta x + (1- heta) ysucceq x, y}$. Это отношение предпочтения является выпуклым, но не строго выпуклым.

3. Отношение предпочтения, представленное линейная полезность функции выпуклые, но не строго выпуклые. В любое время ${displaystyle xsim y}$, каждая выпуклая комбинация ${displaystyle x, y}$ эквивалентно любому из них.

4. Рассмотрим отношение предпочтений, представленное:

${displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = max (x_ {1}, x_ {2})}$

Это отношение предпочтения не является выпуклым. Доказательство: позволять ${displaystyle x = (3,5)}$ и ${displaystyle y = (5,3)}$. потом ${displaystyle xsim y}$ поскольку оба имеют полезность 5. Однако выпуклая комбинация ${displaystyle 0,5x + 0,5y = (4,4)}$ хуже их обоих, так как его полезность равна 4.

Связь с кривыми безразличия и функциями полезности

Набор выпуклый -образный кривые безразличия отображает выпуклые предпочтения: задана выпуклая кривая безразличия, содержащая набор всех наборов (из двух или более товаров), которые все рассматриваются как одинаково желательные, набор всех наборов товаров, которые рассматриваются как имеющие, по крайней мере, такие же желаемые, как и те, которые относятся к безразличию кривая - это выпуклый набор.

Выпуклые предпочтения с соответствующим выпуклым отображением безразличия возникают из квазивогнутый служебные функции, хотя они не являются необходимыми для анализа предпочтений.

Смотрите также

• Выпуклая функция
• Уровень установлен
• Квазивыпуклая функция
• Полунепрерывная функция
• Лемма Шепли – Фолкмана.

Рекомендации