Кривая безразличия - Indifference curve

Пример карты безразличия с тремя представленными кривыми безразличия

В экономика, кривая безразличия соединяет точки на графике, представляющие различные количества двух товаров, точки между которыми находится потребитель. в различных. То есть любые комбинации двух продуктов, обозначенные кривой, будут обеспечивать потребителя равными уровнями полезности, а у потребителя нет предпочтение для одной комбинации или набора товаров по другой комбинации на той же кривой. Можно также ссылаться на каждую точку на кривой безразличия как на отображение одного и того же уровня полезность (удовлетворение) для потребителя. Другими словами, кривая безразличия - это локус различных точек, показывающих различные комбинации двух товаров, обеспечивающих равную полезность для потребителя. Утилита - это устройство для представления предпочтения а не то, от чего исходят предпочтения.^[1] Кривые безразличия используются в основном в представление потенциально наблюдаемых потребность шаблоны для отдельных потребителей по товарным группам.^[2]

Кривых безразличия бесконечно много: через каждую комбинацию проходит одна. Набор (выбранных) кривых безразличия, проиллюстрированных графически, называется карта безразличия. «Наклон кривой IC - это MRS (предельная скорость замещения)» «Падение MRS, которое приводит к выпуклой форме кривой IC»

История

Теория кривых безразличия была разработана Фрэнсис Исидро Эджворт, который объяснил в своей книге 1881 года математику, необходимую для их рисования;^[3] позже, Вильфредо Парето был первым автором, который нарисовал эти кривые в своей книге 1906 года.^[4]^[5] Теорию можно вывести из Уильям Стэнли Джевонс ' порядковая полезность теория, которая утверждает, что индивиды всегда могут ранжировать любые потребительские наборы в порядке предпочтения.^[6]

Карта и свойства

Пример получения кривых безразличия как кривые уровня функции полезности

График кривых безразличия для нескольких уровней полезности отдельного потребителя называется графиком. карта безразличия. Каждая точка, дающая разные уровни полезности, связана с отдельными кривыми безразличия, и эти кривые безразличия на карте безразличия подобны контурным линиям на топографическом графике. Каждая точка на кривой представляет одну и ту же высоту. Если вы отодвинетесь от кривой безразличия, движущейся в северо-восточном направлении (при условии положительной предельной полезности товаров), вы, по сути, подниметесь на холм полезности. Чем выше вы поднимаетесь, тем выше уровень полезности. Требование ненасыщенности означает, что вы никогда не достигнете «вершины» или «вершины».точка блаженства, "набор потребления, который предпочтительнее всех остальных.

Кривые безразличия обычно^{[расплывчатый ]} представлен^{[требуется разъяснение ]} быть:

Определяется только в неотрицательном квадрант количества товаров (т.е. игнорируется возможность иметь отрицательные количества любого товара).
Отрицательно наклонный. То есть по мере увеличения количества потребленного одного товара (X) общее удовлетворение будет увеличиваться.^{[требуется разъяснение ]} если не компенсируется уменьшением потребляемого количества другого товара (Y). Эквивалентно, насыщение, так что предпочтение отдается большему количеству хорошего (или обоих), а не никакого увеличения, исключается.^{[требуется разъяснение ]} (Если полезность U = f (х, у), U, в третьем измерении, не имеет локальный максимум для любого Икс и у ценности.)^{[требуется разъяснение ]} Отрицательный наклон кривой безразличия отражает допущение о монотонности потребительских предпочтений, которое порождает монотонно возрастающие функции полезности, и допущение о ненасыщении (предельная полезность для всех товаров всегда положительна); наклонная вверх кривая безразличия будет означать, что потребителю безразличен набор A и другой набор B, потому что они лежат на одной кривой безразличия, даже в случае, когда количество обоих товаров в наборе B выше. Из-за монотонности предпочтений и ненасыщенности набор с большим количеством обоих товаров должен быть предпочтительнее набора с меньшим количеством обоих, таким образом, первый набор должен давать более высокую полезность и лежать на другой кривой безразличия при более высоком уровне полезности. Отрицательный наклон кривой безразличия означает, что предельная ставка замещения всегда положительный;
Завершить, так что все точки на кривой безразличия оцениваются как более или менее предпочтительные, чем все остальные точки на кривой. Итак, с (2) никакие две кривые не могут пересекаться (иначе ненасыщение было бы нарушено).
Переходный относительно точек на четких кривых безразличия. То есть, если каждая точка на я₂ (строго) предпочтительнее для каждой точки на я₁, и каждая точка на я₃ предпочтительнее для каждого пункта на я₂, каждая точка на я₃ предпочтительнее для каждого пункта на я₁. Отрицательный наклон и транзитивность исключают пересечение кривых безразличия, так как прямые линии от начала координат по обе стороны от места их пересечения дадут противоположные и непереходные рейтинги предпочтений.
(Строго) выпуклый. С (2), выпуклые предпочтения^{[требуется разъяснение ]} подразумевают, что кривые безразличия не могут быть вогнутыми к началу координат, т.е.они будут либо прямыми линиями, либо выпуклыми по направлению к началу кривой безразличия. В последнем случае по мере того, как потребитель снижает потребление одного товара последовательными единицами, последовательно увеличиваются дозы другое хорошее необходимы, чтобы удовлетворение оставалось неизменным.

Допущения теории потребительских предпочтений

Предпочтения полный. Потребитель оценил все доступные альтернативные комбинации товаров с точки зрения удовлетворения, которое они ему приносят.

Предположим, что существует две группы потребления А и B каждый содержит два товара Икс и у. Потребитель может однозначно определить, что имеет место одно и только одно из следующего:

А предпочтительнее B, формально записываемый как А ^п B^[7]
B предпочтительнее А, формально записываемый как B ^п А^[7]
А безразличен к B, формально записываемый как А ^я B^[7]

Эта аксиома исключает возможность того, что потребитель не может решить,^[8] Предполагается, что потребитель может провести такое сравнение по отношению к любой мыслимой группе товаров.^[7]

Предпочтения рефлексивный

Это означает, что если А и B идентичны во всех отношениях, потребитель признает этот факт и будет безразличен к сравнению А и B

А = B ⇒ А ^я B^[7]

Предпочтения переходный^{[nb 1]}

Если А ^п B и B ^п C, тогда А ^п C.^[7]
Также если А ^я B и B ^я C, тогда А ^я C.^[7]

Это предположение согласованности.

Предпочтения непрерывный

Если А предпочтительнее B и C достаточно близко к B тогда А предпочтительнее C.
А ^п B и C → B ⇒ А ^п C.

«Непрерывный» означает бесконечно делимый - точно так же, как существует бесконечно много чисел между 1 и 2, все связки бесконечно делимы. Это предположение делает кривые безразличия непрерывными.

Выставка предпочтений сильная монотонность

Если А имеет больше обоих Икс и у чем B, тогда А предпочтительнее B.

Это предположение обычно называют предположением «чем больше, тем лучше».

Альтернативный вариант этого предположения требует, чтобы если А и B иметь такое же количество одного товара, но А имеет больше другого, тогда А предпочтительнее B.

Это также означает, что товары хорошо скорее, чем плохой. Примеры плохой товары могут быть болезнями, загрязнением и т. д., потому что мы всегда желаем меньше таких вещей.

Кривые безразличия показывают уменьшение предельной нормы замещения

Предельная норма замещения показывает, сколько «y» человек готов пожертвовать, чтобы получить еще одну единицу «x».^{[требуется разъяснение ]}
Это предположение гарантирует, что кривые безразличия гладкие и выпуклые к началу координат.
Это предположение также подготовило почву для использования методов ограниченной оптимизации, поскольку форма кривой гарантирует, что первая производная отрицательна, а вторая положительна.
Другое название этого предположения - допущение замены. Это наиболее важное предположение теории потребителей: потребители готовы отказаться от одного товара или обменять его, чтобы получить больше другого. Фундаментальное утверждение состоит в том, что существует максимальная сумма, которую «потребитель откажется от одного товара, чтобы получить одну единицу другого товара, в той сумме, которая оставит потребителя безразличным между новой и старой ситуациями».^[9] Отрицательный наклон кривых безразличия отражает готовность потребителя пойти на компромисс.^[9]

заявка

Чтобы максимизировать полезность, домохозяйство должно потреблять в (Qx, Qy). Если это так, то можно вывести полный график спроса, поскольку цена одного товара колеблется.

Теория потребления использует кривые безразличия и бюджетные ограничения для создания кривые потребительского спроса. Для одного потребителя это относительно простой процесс. Во-первых, пусть один товар будет примером рынка, например, моркови, а другой - составной частью всех остальных товаров. Бюджетные ограничения образуют прямую линию на карте безразличия, показывающую все возможные распределения между двумя товарами; точка максимальной полезности - это точка, в которой кривая безразличия касается бюджетной линии (показано). Это следует из здравого смысла: если рынок ценит товар больше, чем домохозяйство, домохозяйство его продаст; если рынок оценивает товар ниже, чем домохозяйство, домохозяйство его купит. Затем процесс продолжается до тех пор, пока предельные нормы замещения рынка и домохозяйств не станут равными.^[10] Теперь, если цена на морковь изменится, а цены на все остальные товары останутся неизменными, градиент бюджетной строки также изменится, что приведет к другой точке соприкосновения и другому количеству спроса. Эти комбинации цены / количества затем можно использовать для построения полной кривой спроса.^[10] Линия, соединяющая все точки касания между кривой безразличия и бюджетное ограничение называется путь расширения.^[11]

Примеры кривых безразличия

Рисунок 1: Пример карты безразличия с тремя представленными кривыми безразличия
Рисунок 2: Три кривые безразличия, где Товары Икс и Y идеальные заменители. Серая линия, перпендикулярная всем кривым, указывает на параллельность кривых.
Рисунок 3: Кривые безразличия для идеальных дополнений Икс и Y. Локти кривых коллинеарен.

На рисунке 1 потребитель предпочел бы я₃ чем я₂, и предпочел бы быть на я₂ чем я₁, но его не волнует, где он / она находится на данной кривой безразличия. Наклон кривой безразличия (по абсолютной величине), известный экономистам как предельная ставка замещения, показывает скорость, с которой потребители готовы отказаться от одного товара в обмен на большее количество другого товара. Для самый Для товаров предельная норма замещения непостоянна, поэтому их кривые безразличия искривлены. Кривые выпуклые к началу координат, описывающие отрицательные эффект замещения. По мере роста цен на фиксированный денежный доход потребитель ищет менее дорогой заменитель с более низкой кривой безразличия. Эффект замещения усиливается за счет эффект дохода более низкого реального дохода (Битти-ЛаФранс). Примером функции полезности, которая генерирует кривые безразличия такого рода, является функция Кобба – Дугласа. ${ displaystyle scriptstyle U left (x, y right) = x ^ { alpha} y ^ {1- alpha}, 0 leq alpha leq 1}$ . Отрицательный наклон кривой безразличия отражает готовность потребителя идти на компромисс.^[9]

Если два товара идеальные заменители тогда кривые безразличия будут иметь постоянный наклон, поскольку потребитель будет готов переключаться между ними при фиксированном соотношении. Предельная норма замены между идеальными заменителями также постоянна. Примером функции полезности, связанной с подобными кривыми безразличия, может быть: ${ displaystyle scriptstyle U left (x, y right) = alpha x + beta y}$ .

Если два товара идеальные дополнения тогда кривые безразличия будут L-образными. Примеры идеальных дополнений включают левую обувь по сравнению с правой: покупателю не лучше иметь несколько правых туфлей, если у него есть только одна левая туфля - дополнительные правые туфли имеют нулевую предельную полезность без дополнительных левых туфель, поэтому наборы товаров различаются только количество подходящей обуви, которую они включают - сколь угодно много - также является предпочтительным. Предельная ставка замещения равна нулю или бесконечна. Примером типа функции полезности, имеющей карту безразличия, подобную приведенной выше, является функция Леонтьева: ${ Displaystyle scriptstyle U left (x, y right) = min { alpha x, beta y }}$ .

Разные формы кривых означают разные реакции на изменение цены, как показывает анализ спроса в теория потребления. Здесь будут указаны только результаты. Изменение линии цены и бюджета, которое удерживало потребителя в равновесии на той же кривой безразличия:

на рис. 1 будет плавно уменьшать объем спроса на товар по мере роста цены на этот товар.

на рис. 2 либо не повлияет на объем спроса на любой товар (на одном конце бюджетного ограничения), либо изменит объем спроса от одного конца бюджетного ограничения к другому.

на рис. 3 не повлияет на требуемые равновесные количества, поскольку бюджетная линия будет вращаться вокруг угла кривой безразличия.^{[nb 2]}

Отношения предпочтений и полезность

Теория выбора формально представляет потребителей отношение предпочтений, и используйте это представление, чтобы получить кривые безразличия, показывающие комбинации равного предпочтения для потребителя.

Отношения предпочтений

Позволять

{ Displaystyle A ;}

быть набором взаимоисключающих альтернатив, среди которых потребитель может выбирать.

{ Displaystyle а ;}

и

{ displaystyle b ;}

быть общими элементами

{ Displaystyle A ;}

.

На языке приведенного выше примера набор ${ Displaystyle A ;}$ состоит из сочетаний яблок и бананов. Символ ${ Displaystyle а ;}$ одна такая комбинация, например, 1 яблоко и 4 банана и ${ displaystyle b ;}$ это еще одна комбинация, например 2 яблока и 2 банана.

Отношение предпочтения, обозначенное ${ displaystyle successq}$ , это бинарное отношение определить на множестве ${ Displaystyle A ;}$ .

Заявление

{ Displaystyle а преуспеть б ;}

описывается как ' ${ Displaystyle а ;}$ слабо предпочтительнее ${ displaystyle b ;}$ . ' Это, ${ Displaystyle а ;}$ по крайней мере так же хорошо, как ${ displaystyle b ;}$ (в удовлетворении предпочтений).

Заявление

{ Displaystyle а сим б ;}

описывается как ' ${ Displaystyle а ;}$ слабо предпочтительнее ${ displaystyle b ;}$ , и ${ displaystyle b ;}$ слабо предпочтительнее ${ Displaystyle а ;}$ . ' То есть один в различных к выбору ${ Displaystyle а ;}$ или ${ displaystyle b ;}$ , что означает не то, что они нежелательны, а то, что они одинаково хорошо удовлетворяют предпочтения.

Заявление

{ displaystyle a succ b ;}

описывается как ' ${ Displaystyle а ;}$ слабо предпочтительнее ${ displaystyle b ;}$ , но ${ displaystyle b ;}$ не слабо предпочитается ${ Displaystyle а ;}$ . ' Один говорит, что ' ${ Displaystyle а ;}$ строго предпочтительнее ${ displaystyle b ;}$ .'

Отношение предпочтения ${ displaystyle successq}$ является полный если все пары ${ Displaystyle а, б ;}$ можно ранжировать. Отношение - это переходное отношение если когда-нибудь ${ Displaystyle а преуспеть б ;}$ и ${ Displaystyle б преуспеть с, ;}$ тогда ${ Displaystyle а преуспеть с ;}$ .

Для любого элемента ${ Displaystyle а в А ;}$ , соответствующая кривая безразличия, ${ displaystyle { mathcal {C}} _ {a}}$ состоит из всех элементов ${ Displaystyle A ;}$ которые безразличны к ${ displaystyle a}$ . Формально,

${ displaystyle { mathcal {C}} _ {a} = {b in A: b sim a }}$ .

Формальная ссылка на теорию полезности

В приведенном выше примере элемент ${ Displaystyle а ;}$ из набора ${ Displaystyle A ;}$ состоит из двух цифр: Количество яблок, назовите его ${ Displaystyle х, ;}$ и количество бананов, назовите это ${ Displaystyle у. ;}$

В полезность теория, вспомогательная функция из агент это функция, которая ранжирует все пары пакетов потребления в порядке предпочтения (полнота) такой, что любой набор из трех или более связок образует переходное отношение. Это означает, что для каждого пакета ${ Displaystyle влево (х, у вправо)}$ есть уникальное отношение, ${ Displaystyle U влево (х, у вправо)}$ , представляющий полезность (удовлетворение) отношения, связанные с ${ Displaystyle влево (х, у вправо)}$ . Соотношение ${ Displaystyle влево (х, у вправо) к U влево (х, у вправо)}$ называется вспомогательная функция. В ассортимент функции представляет собой набор действительные числа. Фактические значения функции не имеют значения. Только ранжирование этих ценностей имеет содержание теории. Точнее, если ${ Displaystyle U (х, у) geq U (х ', у')}$ , то связка ${ Displaystyle влево (х, у вправо)}$ описывается как минимум так же хорошо, как и комплект ${ Displaystyle влево (х ', у' вправо)}$ . Если ${ Displaystyle U влево (х, у вправо)> U влево (х ', у' вправо)}$ , связка ${ Displaystyle влево (х, у вправо)}$ описывается как строго предпочтительный по сравнению с пакетом ${ Displaystyle влево (х ', у' вправо)}$ .

Рассмотрим конкретный комплект ${ displaystyle left (x_ {0}, y_ {0} right)}$ и возьми полная производная из ${ Displaystyle U влево (х, у вправо)}$ по этому поводу:

{ displaystyle dU left (x_ {0}, y_ {0} right) = U_ {1} left (x_ {0}, y_ {0} right) dx + U_ {2} left (x_ { 0}, y_ {0} right) dy}

или, без потери общности,

{ displaystyle { frac {dU left (x_ {0}, y_ {0} right)} {dx}} = U_ {1} (x_ {0}, y_ {0}). 1 + U_ {2 } (x_ {0}, y_ {0}) { frac {dy} {dx}}}

(Уравнение 1)

где ${ Displaystyle U_ {1} влево (х, у вправо)}$ является частной производной от ${ Displaystyle U влево (х, у вправо)}$ относительно его первого аргумента, оцениваемого в ${ Displaystyle влево (х, у вправо)}$ . (Аналогично для ${ displaystyle U_ {2} left (x, y right).}$ )

Кривая безразличия через ${ displaystyle left (x_ {0}, y_ {0} right)}$ должен обеспечивать для каждого пакета на кривой тот же уровень полезности, что и пакет ${ displaystyle left (x_ {0}, y_ {0} right)}$ . То есть, когда предпочтения представлены функцией полезности, кривые безразличия являются кривые уровня функции полезности. Следовательно, если нужно изменить количество ${ Displaystyle х ,}$ от ${ displaystyle dx ,}$ , не сходя с кривой безразличия, необходимо также изменить количество ${ Displaystyle у ,}$ на сумму ${ displaystyle dy ,}$ так что, в конце концов, нет никаких изменений в U:

{ displaystyle { frac {dU left (x_ {0}, y_ {0} right)} {dx}} = 0}

, или, подставив 0 в (Уравнение 1) выше, чтобы решить для dy / dx:

{ displaystyle { frac {dU left (x_ {0}, y_ {0} right)} {dx}} = 0 Leftrightarrow { frac {dy} {dx}} = - { frac {U_ { 1} (x_ {0}, y_ {0})} {U_ {2} (x_ {0}, y_ {0})}}}

.

Таким образом, соотношение предельных полезностей дает абсолютную величину наклон кривой безразличия в точке ${ displaystyle left (x_ {0}, y_ {0} right)}$ . Это соотношение называется предельная ставка замещения между ${ Displaystyle х ,}$ и ${ Displaystyle у ,}$ .

Примеры

Линейная полезность

Если функция полезности имеет вид ${ Displaystyle U влево (х, у вправо) = альфа х + бета у}$ тогда предельная полезность ${ Displaystyle х ,}$ является ${ Displaystyle U_ {1} влево (х, у вправо) = альфа}$ и предельная полезность ${ Displaystyle у ,}$ является ${ Displaystyle U_ {2} влево (х, у вправо) = бета}$ . Таким образом, наклон кривой безразличия равен

{ displaystyle { frac {dx} {dy}} = - { frac { beta} { alpha}}.}

Обратите внимание на то, что наклон не зависит от ${ Displaystyle х ,}$ или ${ Displaystyle у ,}$ : кривые безразличия - прямые.

Утилита Кобба – Дугласа

Если функция полезности имеет вид ${ Displaystyle U влево (х, у вправо) = х ^ { альфа} у ^ {1- альфа}}$ предельная полезность ${ Displaystyle х ,}$ является ${ Displaystyle U_ {1} влево (х, у вправо) = альфа влево (х / у вправо) ^ { альфа -1}}$ и предельная полезность ${ Displaystyle у ,}$ является ${ Displaystyle U_ {2} влево (х, у вправо) = (1- альфа) влево (х / у вправо) ^ { альфа}}$ .Куда ${ Displaystyle альфа <1}$ . В наклон кривой безразличия, и, следовательно, отрицание предельная ставка замещения, затем

{ displaystyle { frac {dx} {dy}} = - { frac { alpha} {1- alpha}} left ({ frac {y} {x}} right).}

Утилита CES

Общий CES (Постоянная эластичность замещения ) форма

{ Displaystyle U (х, y) = влево ( альфа х ^ { rho} + (1- альфа) y ^ { rho} right) ^ {1 / rho}}

где ${ Displaystyle альфа в (0,1)}$ и ${ displaystyle rho leq 1}$ . (The Кобб – Дуглас является частным случаем утилиты CES, с ${ Displaystyle rho rightarrow 0 ,}$ .) Предельная полезность определяется как

{ displaystyle U_ {1} (x, y) = alpha left ( alpha x ^ { rho} + (1- alpha) y ^ { rho} right) ^ { left (1 / rho right) -1} x ^ { rho -1}}

и

{ Displaystyle U_ {2} (х, у) = (1- альфа) влево ( альфа х ^ { ро} + (1- альфа) у ^ { ро} вправо) ^ { влево (1 / rho right) -1} y ^ { rho -1}.}

Следовательно, по кривой безразличия

{ displaystyle { frac {dx} {dy}} = - { frac {1- alpha} { alpha}} left ({ frac {x} {y}} right) ^ {1- rho}.}

Эти примеры могут быть полезны для моделирование индивидуальный или совокупный спрос.

Биология

Как используется в биология кривая безразличия - это модель того, как животные «решают», следует ли им выполнять определенное поведение, на основе изменений двух переменных, интенсивность которых может увеличиваться: одна по оси x, а другая по оси y. Например, по оси X можно измерить количество доступной пищи, а по оси Y - риск, связанный с ее получением. Кривая безразличия строится для прогнозирования поведения животного при различных уровнях риска и доступности пищи.

Критика

Кривые безразличия наследуют критика, направленная на полезность в более общем смысле.

Герберт Ховенкамп (1991)^[13] утверждал, что наличие эффект вклада имеет серьезные последствия для закон и экономика, особенно в отношении экономика благосостояния. Он утверждает, что наличие эффекта эндаумента указывает на то, что у человека нет кривая безразличия (см., однако, Hanemann, 1991^[14]) делая бесполезными неоклассические инструменты анализа благосостояния, делая вывод, что суды должны вместо этого использовать WTA как мера ценности. Фишель (1995)^[15] тем не менее, возникает контрапункт, что использование WTA в качестве меры стоимости может сдерживать развитие национальной инфраструктуры и экономический рост.

Смотрите также

Заметки

^ Транзитивности слабых предпочтений достаточно для большинства анализов кривой безразличия: если А слабо предпочтительнее B, что означает, что потребителю нравится А по крайней мере, столько же так как B, и B слабо предпочтительнее C, тогда А слабо предпочтительнее C.^[8]
^ Кривые безразличия можно использовать для построения индивидуальной кривой спроса. Однако предположения теории потребительских предпочтений не гарантируют, что кривая спроса будет иметь отрицательный наклон.^[12]

использованная литература

^ Геанакоплос, Джон (1987). «Модель общего равновесия Эрроу-Дебре». Новый Пэлгрейв: экономический словарь. 1. С. 116–124 [p. 117].
^ Бём, Фолькер; Галлер, Ганс (1987). «Теория спроса». В New Palgrave: экономический словарь. 1. стр. 785–792 [стр. 785].
^ Фрэнсис Исидро Эджворт (1881). Математическая психика: эссе о применении математики в моральных науках. Лондон: C. Kegan Paul and Co.
^ Вильфредо Парето (1919). Manuale di Economia Politica - Con una Introduzione alla Scienza Sociale [Руководство по политической экономии]. Piccola Biblioteca Scientifica. 13. Милан: Societa Editrice Libraria.
^ «Кривые безразличия | Поликономика». Получено 2018-12-08.
^ "Уильям Стэнли Джевонс - Поликономика". www.policonomics.com. Получено 23 марта 2018.
^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^г Бингер; Хоффман (1998). Микроэкономика с исчислением (2-е изд.). Читает: Эддисон-Уэсли. С. 109–117. ISBN 0-321-01225-9.
^ ^а ^б Перлофф, Джеффри М. (2008). Микроэкономика: теория и приложения с исчислением. Бостон: Эддисон-Уэсли. п. 62. ISBN 978-0-321-27794-7.
^ ^а ^б ^c Зильберберг; Суен (2000). Структура экономики: математический анализ (3-е изд.). Бостон: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-118136-9.
^ ^а ^б Липси, Ричард Г. (1975). Введение в позитивную экономику (Четвертое изд.). Вайденфельд и Николсон. С. 182–186. ISBN 0-297-76899-9.
^ Сальваторе, Доминик (1989). Очерк теории и проблем экономики управления Шаумом. Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-054513-8.
^ Бингер; Хоффман (1998). Микроэкономика с исчислением (2-е изд.). Читает: Эддисон-Уэсли. С. 141–143. ISBN 0-321-01225-9.
^ Ховенкамп, Герберт (1991). «Правовая политика и эффект эндаумента». Журнал юридических исследований. 20 (2): 225. Дои:10.1086/467886.
^ Ханеманн, В. Майкл (1991). «Готовность платить и готовность принять: насколько они могут отличаться? Ответ». Американский экономический обзор. 81 (3): 635–647. Дои:10.1257/000282803321455449. JSTOR 2006525.
^ Фишель, Уильям А. (1995). «Несоответствие между предложением и просьбой и справедливое вознаграждение за выручку: перспектива конституционного выбора». Международное обозрение права и экономики. 15 (2): 187–203. Дои:10.1016 / 0144-8188 (94) 00005-F.

дальнейшее чтение

Битти, Брюс Р .; ЛаФранс, Джеффри Т. (2006). «Закон спроса против убывающей предельной полезности» (PDF). Appl. Экон. Перспектива. Pol. 28 (2): 263–271. Дои:10.1111 / j.1467-9353.2006.00286.x.

внешние ссылки

[9] Транзитивности слабых предпочтений достаточно для большинства анализов кривой безразличия: если А слабо предпочтительнее B, что означает, что потребителю нравится А по крайней мере, столько же так как B, и B слабо предпочтительнее C, тогда А слабо предпочтительнее C.^[8]

[14] Кривые безразличия можно использовать для построения индивидуальной кривой спроса. Однако предположения теории потребительских предпочтений не гарантируют, что кривая спроса будет иметь отрицательный наклон.^[12]

[Geanakoplis_(1987),_p._117-1] Геанакоплос, Джон (1987). «Модель общего равновесия Эрроу-Дебре». Новый Пэлгрейв: экономический словарь. 1. С. 116–124 [p. 117].

[Böhm_and_Haller_(1987),_p._785-2] Бём, Фолькер; Галлер, Ганс (1987). «Теория спроса». В New Palgrave: экономический словарь. 1. стр. 785–792 [стр. 785].

[3] Фрэнсис Исидро Эджворт (1881). Математическая психика: эссе о применении математики в моральных науках. Лондон: C. Kegan Paul and Co.

[4] Вильфредо Парето (1919). Manuale di Economia Politica - Con una Introduzione alla Scienza Sociale [Руководство по политической экономии]. Piccola Biblioteca Scientifica. 13. Милан: Societa Editrice Libraria.

[5] «Кривые безразличия | Поликономика». Получено 2018-12-08.

[6] "Уильям Стэнли Джевонс - Поликономика". www.policonomics.com. Получено 23 марта 2018.

[Binger-7] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^г Бингер; Хоффман (1998). Микроэкономика с исчислением (2-е изд.). Читает: Эддисон-Уэсли. С. 109–117. ISBN 0-321-01225-9.

[Perloff_2008._p._62-8] а ^б Перлофф, Джеффри М. (2008). Микроэкономика: теория и приложения с исчислением. Бостон: Эддисон-Уэсли. п. 62. ISBN 978-0-321-27794-7.

[Silberberg-10] а ^б ^c Зильберберг; Суен (2000). Структура экономики: математический анализ (3-е изд.). Бостон: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-118136-9.

[Lipsey_1975._pp._182-186-11] а ^б Липси, Ричард Г. (1975). Введение в позитивную экономику (Четвертое изд.). Вайденфельд и Николсон. С. 182–186. ISBN 0-297-76899-9.

[Salvatore-12] Сальваторе, Доминик (1989). Очерк теории и проблем экономики управления Шаумом. Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-054513-8.

[13] Бингер; Хоффман (1998). Микроэкономика с исчислением (2-е изд.). Читает: Эддисон-Уэсли. С. 141–143. ISBN 0-321-01225-9.

[Hovenkamp-15] Ховенкамп, Герберт (1991). «Правовая политика и эффект эндаумента». Журнал юридических исследований. 20 (2): 225. Дои:10.1086/467886.

[Hanemann-16] Ханеманн, В. Майкл (1991). «Готовность платить и готовность принять: насколько они могут отличаться? Ответ». Американский экономический обзор. 81 (3): 635–647. Дои:10.1257/000282803321455449. JSTOR 2006525.

[Fischel-17] Фишель, Уильям А. (1995). «Несоответствие между предложением и просьбой и справедливое вознаграждение за выручку: перспектива конституционного выбора». Международное обозрение права и экономики. 15 (2): 187–203. Дои:10.1016 / 0144-8188 (94) 00005-F.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[nb 1]

[9]

[10]

[11]

[nb 2]

[13]

[14]

[15]

[12]