Цена безразличия - Википедия - Indifference price

В финансы, безразличие цены это метод ценообразования финансовые ценные бумаги что касается вспомогательная функция. В цена безразличия также известен как резервная цена или же частная оценка. В частности, цена безразличия - это цена, по которой агент получит такую ​​же цену. ожидаемая полезность уровень, выполняя финансовая транзакция в противном случае (с оптимальной торговлей). Обычно цена безразличия - это диапазон цен ( спред между ценой покупки и продажи ) для конкретного агента; этот ценовой диапазон является примером хорошие границы.^[1]

Математика

Учитывая функцию полезности ${ displaystyle u}$ и претензия ${ displaystyle C_ {T}}$ с известными выплатами в определенное время ${ displaystyle T,}$ пусть функция ${ Displaystyle V: mathbb {R} times mathbb {R} to mathbb {R}}$ определяться

${ displaystyle V (x, k) = sup _ {X_ {T} in { mathcal {A}} (x)} mathbb {E} left [u left (X_ {T} + kC_ { T} right) right]}$,

куда ${ displaystyle x}$ это начальный вклад, ${ Displaystyle { mathcal {A}} (х)}$ это набор всех портфели самофинансирования вовремя ${ displaystyle T}$ начиная с эндаумента ${ displaystyle x}$, и ${ displaystyle k}$ - номер иска, который будет куплен (или продан). Тогда цена предложения безразличия ${ displaystyle v ^ {b} (к)}$ за ${ displaystyle k}$ единицы ${ displaystyle C_ {T}}$ это решение ${ Displaystyle V (х-v ^ {Ь} (к), к) = V (х, 0)}$ и цена предложения безразличия ${ displaystyle v ^ {a} (к)}$ это решение ${ Displaystyle V (х + v ^ {a} (k), - k) = V (x, 0)}$. Граница цены безразличия - это диапазон ${ displaystyle left [v ^ {b} (k), v ^ {a} (k) right]}$.^[2]

Пример

Рассмотрим рынок с безрисковым активом ${ displaystyle B}$ с ${ displaystyle B_ {0} = 100}$ и ${ displaystyle B_ {T} = 110}$, и рискованный актив ${ displaystyle S}$ с ${ displaystyle S_ {0} = 100}$ и ${ displaystyle S_ {T} in {90,110,130 }}$ каждый с вероятностью ${ displaystyle 1/3}$. Пусть ваша функция полезности определяется выражением ${ Displaystyle и (х) = 1- ехр (-x / 10)}$. Чтобы найти цену безразличия спроса или предложения для одного европейского опциона колл со страйк 110, сначала рассчитайте ${ Displaystyle V (х, 0)}$.

${ displaystyle V (x, 0) = max _ { alpha B_ {0} + beta S_ {0} = x} mathbb {E} [1- exp (-. 1 times ( alpha B_ {T} + beta S_ {T}))]}$

${ displaystyle = max _ { beta} left [1 - { frac {1} {3}} left [ exp left (- { frac {1.10x-20 beta} {10}}) right) + exp left (- { frac {1.10x} {10}} right) + exp left (- { frac {1.10x + 20 beta} {10}} right) верно-верно]}$.

Что максимизируется, когда ${ displaystyle beta = 0}$, следовательно ${ Displaystyle V (х, 0) = 1- exp left (- { frac {1.10x} {10}} right)}$.

Теперь, чтобы найти решение цены предложения безразличия для ${ Displaystyle V (х-v ^ {Ь} (1), 1)}$

${ Displaystyle V (xv ^ {b} (1), 1) = max _ { alpha B_ {0} + beta S_ {0} = xv ^ {b} (1)} mathbb {E} [ 1- exp (-. 1 times ( alpha B_ {T} + beta S_ {T} + C_ {T}))]}$

${ displaystyle = max _ { beta} left [1 - { frac {1} {3}} left [ exp left (- { frac {1.10 (xv ^ {b} (1)) -20 beta} {10}} right) + exp left (- { frac {1.10 (xv ^ {b} (1))} {10}} right) + exp left (- { frac {1.10 (xv ^ {b} (1)) + 20 beta +20} {10}} right) right] right]}$

Что максимизируется, когда ${ displaystyle beta = - { frac {1} {2}}}$, следовательно ${ Displaystyle V (xv ^ {b} (1), 1) = 1 - { frac {1} {3}} exp (-1,10x / 10) exp (1,10v ^ {b} (1) / 10) left [1 + 2 exp (-1) right]}$.

Следовательно ${ Displaystyle V (х, 0) = V (х-v ^ {b} (1), 1)}$ когда ${ displaystyle v ^ {b} (1) = { frac {10} {1.1}} log left ({ frac {3} {1 + 2 exp (-1)}} right) приблизительно 4.97}$.

Аналогичным образом решите для ${ displaystyle v ^ {a} (1)}$ найти цену предложения безразличия.

Смотрите также

• Готовность платить
• Готовность принять

Примечания

• Если ${ displaystyle left [v ^ {b} (k), v ^ {a} (k) right]}$ являются ценовыми границами безразличия для требования, тогда по определению ${ Displaystyle v ^ {b} (к) = - v ^ {a} (- k)}$.^[2]
• Если ${ Displaystyle v (к)}$ цена предложения безразличия для претензии и ${ Displaystyle v ^ {sup} (к), v ^ {sub} (к)}$ являются цена суперхеджирования и цены субхеджирования соответственно, тогда ${ Displaystyle v ^ {sub} (к) leq v (k) leq v ^ {sup} (k)}$. Поэтому в полный рынок цена безразличия всегда равна цене хеджирования требования.

Рекомендации