Точка перегиба - Inflection point

Участок

у = Икс 3

с точкой перегиба в (0,0), которая также является стационарная точка.

В корни, стационарные точки, точка перегиба и вогнутость из кубический многочлен Икс³ − 3Икс² − 144Икс + 432 (черная линия) и его первая и вторая производные (красный и синий).

В дифференциальное исчисление и дифференциальной геометрии, точка перегиба, точка перегиба, сгибать, или перегиб (Британский английский: перегиб) - точка на гладкая плоская кривая на котором кривизна меняет знак. В частности, в случае график функции, это момент, когда функция перестает быть вогнутый (вогнуть вниз) до выпуклый (вогнутая вверх) или наоборот.

Например, если кривая является графиком функции $у = ж (Икс)$ , из класс дифференцируемости $C 2$ , точка перегиба кривой находится там, где е '', то вторая производная из $ж$ , исчезает (f '' = 0) и меняет знак в точке (с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный).^[1] Точку, в которой вторая производная обращается в нуль, но не меняет знак, иногда называют точкой. точка волнистости или точка волнистости.

В алгебраической геометрии точка перегиба определяется несколько более широко, как обычная точка где касательная пересекает кривую к порядок не менее 3, а точка волнистости или гиперфлекс определяется как точка, в которой касательная пересекает кривую не ниже четвертого порядка.

Определение

Точки перегиба в дифференциальной геометрии - это точки кривой, в которых кривизна меняет знак.^[2]^[3]

Например, график дифференцируемая функция имеет точку перегиба в $(Икс, ж (Икс))$ если и только если это первая производная, $f '$ , имеет изолированные экстремум в $Икс$ . (Это не то же самое, что сказать, что $ж$ имеет экстремум). То есть в каком-то районе $Икс$ это единственная точка, в которой $f '$ имеет (локальный) минимум или максимум. Я упал экстремумы из $f '$ находятся изолированные, то точка перегиба - это точка на графике $ж$ на котором касательная пересекает кривую.

А точка падения перегиба - точка перегиба, в которой производная отрицательна по обе стороны от точки; другими словами, это точка перегиба, вблизи которой функция убывает. А восходящая точка перегиба - точка, в которой производная положительна по обе стороны от точки; другими словами, это точка перегиба, вблизи которой функция возрастает.

Для алгебраическая кривая, неособая точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда номер перекрестка касательной и кривой (в точке касания) больше 2.^[4]Главный результат состоит в том, что множество точек перегиба алгебраической кривой совпадает с множеством пересечений кривой с Кривая Гессе.

Для гладкой кривой, заданной формулой параметрические уравнения, точка является точкой перегиба, если ее знаковая кривизна меняется с плюса на минус или с минуса на плюс, т. е. изменяется знак.

Для гладкой кривой, которая является графиком дважды дифференцируемой функции, точка перегиба - это точка на графике, в которой вторая производная имеет изолированный ноль и меняет знак.

Участок

ж (Икс) = грех (2 Икс)

от -

π

/ От 4 до 5

π

/ 4; секунда производная является

f ″ (Икс) = -4sin (2 Икс)

, и его знак, таким образом, противоположен знаку

ж

. Касательная синего цвета там, где кривая выпуклый (выше собственного касательная ), зеленый в местах вогнутости (ниже касательной) и красный в точках перегиба: 0,

π

/ 2 и

π

Необходимое, но недостаточное условие

Если вторая производная, $f ″ (Икс)$ существует в $Икс 0$ , и $Икс 0$ это точка перегиба для $ж$ , тогда $f ″ (Икс 0) = 0$ , но это условие не достаточно за наличие точки перегиба, даже если существуют производные любого порядка. В этом случае также необходимо, чтобы ненулевая производная низшего порядка (выше второй) была нечетного порядка (третья, пятая и т. Д.). Если ненулевая производная низшего порядка имеет четный порядок, точка не является точкой перегиба, а точка волнистости. Однако в алгебраической геометрии и точки перегиба, и точки волнистости обычно называют точки перегиба. Примером точки волнистости является $Икс = 0$ для функции $ж$ данный $ж (Икс) = Икс 4$ .

В предыдущих утверждениях предполагается, что $ж$ имеет некоторую ненулевую производную высшего порядка при $Икс$ , что не обязательно так. Если это так, то условие, что первая ненулевая производная имеет нечетный порядок, означает, что знак $ж' (Икс)$ одинаково по обе стороны от $Икс$ в окрестности из $Икс$ . Если этот знак положительный, дело в восходящая точка перегиба; если это отрицательный, дело в точка падения перегиба.

Достаточные условия точки перегиба:

1) Достаточным условием существования точки перегиба является:

Если

ж (Икс)

является

k

раз непрерывно дифференцируемые в некоторой окрестности точки

Икс

с участием

k

странно и

k \geq 3

, в то время как

ж (п) (Икс 0) = 0

для

п = 2, \dots, k - 1

и

ж (k) (Икс 0) \neq 0

тогда

ж (Икс)

имеет точку перегиба в

Икс 0

.

2) Другое достаточное условие существования требует $f ″ (Икс + ε)$ и $f ″ (Икс - ε)$ иметь противоположные знаки в окрестностяхИкс (Бронштейн и Семендяев 2004, стр. 231).

Категоризация точек перегиба

у = Икс 4 - Икс

имеет вторую производную нуля в точке (0,0), но это не точка перегиба, потому что четвертая производная является первой ненулевой производной более высокого порядка (третья производная также равна нулю).

Точки перегиба также можно разделить на категории в зависимости от того, $ж' (Икс)$ равен нулю или отличен от нуля.

если $ж' (Икс)$ равен нулю, точка стационарная точка перегиба
если $ж' (Икс)$ не ноль, точка нестационарная точка перегиба

Стационарная точка перегиба не является локальный экстремум. В более общем смысле, в контексте функции нескольких действительных переменных, стационарная точка, не являющаяся локальным экстремумом, называется точка перевала.

Примером стационарной точки перегиба является точка $(0, 0)$ на графике $у = Икс 3$ . Касательная - это $Икс$ -axis, которая обрезает график в этой точке.

Примером нестационарной точки перегиба является точка $(0, 0)$ на графике $у = Икс 3 + топор$ , для любого ненулевого $а$ . Касательной в начале координат является прямая $у = топор$ , который обрезает график в этой точке.

Функции с разрывами

Некоторые функции изменяют вогнутость, не имея точек перегиба. Вместо этого они могут изменять вогнутость вокруг вертикальных асимптот или разрывов. Например, функция ${ displaystyle x mapsto { frac {1} {x}}}$ вогнутая для отрицательного $Икс$ и выпуклый для положительных $Икс$ , но у него нет точек перегиба, потому что 0 не находится в области определения функции.

Смотрите также

Критическая точка (математика)
Экологический порог
Конфигурация Гессен образованный девятью точками перегиба эллиптическая кривая
Ogee, архитектурная форма с точкой перегиба
Вершина (кривая), локальный минимум или максимум кривизны

использованная литература

^ Стюарт, Джеймс (2015). Исчисление (8-е изд.). Бостон: Cengage Learning. п. 281. ISBN 978-1-285-74062-1.
^ Проблемы математического анализа. Бараненков Г.С. Москва: Мир. 1976 [1964]. ISBN 5030009434. OCLC 21598952.CS1 maint: другие (ссылка на сайт)
^ Бронштейн; Семендяева (2004). Справочник по математике (4-е изд.). Берлин: Springer. п. 231. ISBN 3-540-43491-7.
^ «Точка перегиба». encyclopediaofmath.org.

Источники

[1] Стюарт, Джеймс (2015). Исчисление (8-е изд.). Бостон: Cengage Learning. п. 281. ISBN 978-1-285-74062-1.

[2] Проблемы математического анализа. Бараненков Г.С. Москва: Мир. 1976 [1964]. ISBN 5030009434. OCLC 21598952.CS1 maint: другие (ссылка на сайт)

[3] Бронштейн; Семендяева (2004). Справочник по математике (4-е изд.). Берлин: Springer. п. 231. ISBN 3-540-43491-7.

[4] «Точка перегиба». encyclopediaofmath.org.

[1]

[2]

[3]

[4]