Стационарная точка - Stationary point

Точки покоя - красные кружки. На этом графике все они являются относительными максимумами или относительными минимумами. Синие квадраты - это точки перегиба.

В математика, особенно в исчисление, а стационарная точка из дифференцируемая функция одной переменной - это точка на график функции, где функция производная равно нулю.^[1]^[2]^[3] Неформально, это точка, в которой функция «перестает» увеличиваться или уменьшаться (отсюда и название).

Для дифференцируемого функция нескольких действительных переменных, неподвижная точка - это точка на поверхность графа, где все его частные производные равны нулю (эквивалентно, градиент равно нулю).

Стационарные точки легко визуализировать на графике функции одной переменной: они соответствуют точкам на графике, где касательная горизонтально (т. е. параллельно к $Икс$ -ось ). Для функции двух переменных они соответствуют точкам на графике, где касательная плоскость параллельна плоскости $ху$ самолет.

Поворотные моменты

А поворотный момент - точка, в которой производная меняет знак.^[2] Точка поворота может быть либо относительным максимумом, либо относительным минимумом (также известным как локальный минимум и максимум). Если функция дифференцируема, то точка поворота - это стационарная точка; однако не все стационарные точки являются поворотными. Если функция дважды дифференцируема, стационарные точки, не являющиеся точками поворота, горизонтальны. точки перегиба. Например, функция ${ Displaystyle х mapsto х ^ {3}}$ имеет стационарную точку в x = 0, которая также является точкой перегиба, но не точкой поворота.^[3]

Классификация

Граф, на котором отмечены локальные и глобальные экстремумы.

Изолированные стационарные точки ${ displaystyle C ^ {1}}$ действительная функция ${ Displaystyle е двоеточие mathbb {R} to mathbb {R}}$ делятся на четыре типа по первая производная проверка:

а местный минимум (минимальная точка поворота или же относительный минимум) - это функция, в которой производная функции изменяется с отрицательной на положительную;
а локальный максимум (максимальная точка поворота или же относительный максимум) - это функция, в которой производная функции изменяется с положительной на отрицательную;

Седловые точки (стационарные точки, ни один локальные максимумы или минимумы: они точки перегиба. Слева - «восходящая точка перегиба» (производная положительна по обе стороны от красной точки); справа - это «нисходящая точка перегиба» (производная отрицательна по обе стороны от красной точки).

а поднимающийся точка перегиба (или же перегиб) такое, в котором производная функции положительна по обе стороны от стационарной точки; такая точка знаменует изменение вогнутость;
а точка падения перегиба (или же перегиб) - такое, в котором производная функции отрицательна по обе стороны от стационарной точки; такая точка отмечает изменение вогнутости.

Первые два варианта вместе известны как "локальные экстремумы ". Точно так же точка, которая является либо глобальным (или абсолютным) максимумом, либо глобальным (или абсолютным) минимумом, называется глобальным (или абсолютным) экстремумом. Последние два варианта - стационарные точки, которые нет локальный экстремум - известны как седловые точки.

К Теорема Ферма должны возникать глобальные экстремумы (для ${ displaystyle C ^ {1}}$ функция) на границе или в стационарных точках.

Построение кривой

В корни, стационарные точки, точка перегиба и вогнутость из кубический многочлен Икс³ − 3Икс² − 144Икс + 432 (черная линия) и его первая и вторая производные (красный и синий).

Определение положения и характера стационарных точек помогает в построение кривых дифференцируемых функций. Решение уравнения f '(Икс) = 0 возвращает Икс-координаты всех стационарных точек; то у-координаты - это тривиальные значения функции в этих Икс-координаты.Специфика стационарной точки в Икс в некоторых случаях может быть определено путем изучения вторая производная е ''(Икс):

Если е ''(Икс) <0, стационарная точка при Икс вогнутая вниз; максимальный экстремум.
Если е ''(Икс)> 0, стационарная точка при Икс вогнутая вверх; минимальный экстремум.
Если е ''(Икс) = 0, характер стационарной точки необходимо определить другими способами, часто по изменению знака вокруг этой точки.

Более простой способ определить характер стационарной точки - исследовать значения функции между стационарными точками (если функция определена и непрерывна между ними).

Простым примером точки перегиба является функция ж(Икс) = Икс³. Наблюдается явное изменение вогнутости острия Икс = 0, и это можно доказать с помощью исчисление. Вторая производная от ж является всюду непрерывной 6Икс, а в Икс = 0, ж′ ′ = 0, и около этой точки меняется знак. Так Икс = 0 - точка перегиба.

В более общем смысле, стационарные точки вещественнозначной функции ${ Displaystyle е двоеточие mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ это те точки Икс₀ где производная по каждому направлению равна нулю, или, что то же самое, градиент равно нулю.

Пример

Для функции ж(Икс) = Икс⁴ у нас есть f '(0) = 0 и е ''(0) = 0. Хотя е ''(0) = 0, эта точка не является точкой перегиба. Причина в том, что признак f '(Икс) меняется с отрицательного на положительный.

Для функции ж(Икс) = грех (Икс) у нас есть f '(0) ≠ 0 и е ''(0) = 0. Но это не стационарная точка, а точка перегиба. Это связано с тем, что вогнутость меняется с вогнутой вниз на вогнутую вверх, а знак f '(Икс) не меняется; он остается положительным.

Для функции ж(Икс) = х³ у нас есть f '(0) = 0 и е ''(0) = 0. Это как стационарная точка, так и точка перегиба. Это связано с тем, что вогнутость меняется с вогнутой вниз на вогнутую вверх, а знак f '(Икс) не меняется; он остается положительным.

Смотрите также

внешняя ссылка

Точки перегиба полиномов четвертой степени - удивительный вид золотого сечения в завязать узел

[1] Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п.236. ISBN 0-07-010813-7.

[Saddler-2] а ^б Сэддлер, Дэвид; Ши, Джулия; Уорд, Дерек (2011), «12 стационарных точек B и поворотных точек», Кембриджский 2-й блок математики 11 класс, Cambridge University Press, стр. 318, ISBN 9781107679573

[TCS-3] а ^б «Поворотные и стационарные точки». Библиотека практических рекомендаций по математике для старших классов TCS FREE. Получено 30 октября 2011.

[1]

[2]

[3]