Касательная - Tangent

Касательно кривой. Красная линия касается кривой в точке, отмеченной красной точкой.

Касательная плоскость к сфере

В геометрия, то касательная линия (или просто касательная) в самолет изгиб при данном точка это прямая линия это "просто касается" кривой в этой точке. Лейбниц определил его как линию, проходящую через пару бесконечно близко точки на кривой.^[1] Точнее говоря, прямая линия называется касательной к кривой у = ж(Икс) в какой-то момент Икс = c если линия проходит через точку (c, ж(c)) на кривой и имеет наклон ж'(c), куда ж' это производная из ж. Аналогичное определение применяется к космические кривые и кривые в п-размерный Евклидово пространство.

Когда он проходит через точку пересечения касательной и кривой, называется точка касания, касательная линия «идет в том же направлении», что и кривая, и, таким образом, является наилучшим приближением прямой к кривой в этой точке.

Точно так же касательная плоскость к поверхность в данный момент самолет это "просто касается" поверхности в этой точке. Понятие касательной - одно из самых фундаментальных понятий в дифференциальная геометрия и был широко обобщен; видеть Касательное пространство.

Слово «касательная» происходит от латинский тангере, "трогать".

История

Евклид делает несколько ссылок на касательную (ἐφαπτομένη ephaptoménē) к кругу в книге III Элементы (ок. 300 г. до н. э.).^[2] В Аполлоний работай Коники (ок. 225 г. до н.э.) он определяет касательную как такая линия, что никакая другая прямая линия не можетупасть между ним и кривой.^[3]

Архимед (ок. 287 - ок. 212 г. до н. э.) нашел касательную к Архимедова спираль рассматривая путь точки, движущейся по кривой.^[3]

В 1630-е гг. Ферма разработал технику адекватность для вычисления касательных и других задач анализа и использовал это для вычисления касательных к параболе. Техника адекватности аналогична измерению разницы между ${displaystyle f (x + h)}$ и ${displaystyle f (x)}$ и делясь силой ${displaystyle h}$ . Независимо Декарт использовал его метод нормалей на основе наблюдения, что радиус круга всегда нормален к самому кругу.^[4]

Эти методы привели к развитию дифференциальное исчисление в 17-го века. Многие внесли свой вклад. Роберваль открыл общий метод рисования касательных, рассматривая кривую, описываемую движущейся точкой, движение которой является результатом нескольких более простых движений.^[5]Рене-Франсуа де Слюз и Йоханнес Худде нашел алгебраические алгоритмы нахождения касательных.^[6] Дальнейшие разработки включали в себя Джон Уоллис и Исаак Барроу, что привело к теории Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц.

Определение касательной в 1828 году было «прямой линией, которая касается кривой, но не пересекает ее».^[7] Это старое определение предотвращает точки перегиба от касательной. Он был отклонен, и современные определения эквивалентны определениям Лейбниц кто определил касательную как линию, проходящую через пару бесконечно близко точки на кривой.

Касательная линия к кривой

Касательная, а аккорд, а секущий в круг

Интуитивное представление о том, что касательная линия «касается» кривой, можно сделать более явным, если рассмотреть последовательность прямых линий (секущие линии ) проходя через две точки, А и B, лежащие на функциональной кривой. Касательная в А это предел, когда точка B приближается или стремится к А. Существование и уникальность касательной зависит от определенного типа математической гладкости, известного как «дифференцируемость». Например, если две дуги окружности пересекаются в острой точке (вершине), то в вершине нет однозначно определенной касательной, поскольку предел движения секущих линий зависит от направления, в котором "точка" B"приближается к вершине.

В большинстве точек касательная касается кривой, не пересекая ее (хотя при продолжении может пересекать кривую в других местах, удаленных от точки касания). Точка, где касательная (в этой точке) пересекает кривую, называется точка перегиба. Круги, параболы, гиперболы и эллипсы не имеют точки перегиба, но есть более сложные кривые, такие как график кубическая функция, который имеет ровно одну точку перегиба, или синусоиду, имеющую по две точки перегиба на каждую период из синус.

И наоборот, может случиться так, что кривая целиком лежит на одной стороне прямой линии, проходящей через точку на ней, и все же эта прямая линия не является касательной. Так обстоит дело, например, с прямой, проходящей через вершину треугольник и не пересекать его в противном случае - где касательная линия не существует по причинам, объясненным выше. В выпуклая геометрия такие линии называются поддерживающие линии.

В каждой точке движущаяся линия всегда касается изгиб. Его наклон - это производная; зеленый цвет обозначает положительную производную, красный обозначает отрицательную производную, а черный обозначает нулевую производную. Точка (x, y) = (0,1), где касательная пересекает кривую, не является Максимум, или мин, но это точка перегиба.

Аналитический подход

Геометрическая идея касательной линии как предела секущих служит мотивацией для аналитических методов, которые используются для явного нахождения касательных линий. Вопрос о нахождении касательной к графику или задача касательной, был одним из центральных вопросов, приведших к развитию исчисление в 17 веке. Во второй книге его Геометрия, Рене Декарт^[8] сказал о проблеме построения касательной к кривой: «И я осмеливаюсь сказать, что это не только самая полезная и самая общая проблема геометрии, которую я знаю, но даже то, что я когда-либо хотел знать».^[9]

Интуитивное описание

Предположим, что кривая задана как график функция, у = ж(Икс). Чтобы найти касательную в точке п = (а, ж(а)), рассмотрим еще одну ближайшую точку q = (а + час, ж(а + час)) на кривой. В склон из секущая линия проходя через п и q равно коэффициент разницы

{displaystyle {frac {f (a + h) -f (a)} {h}}.}

Как точка q подходы п, что соответствует выполнению час все меньше и меньше, коэффициент разницы должен приближаться к определенному предельному значению k, который представляет собой наклон касательной в точке п. Если k Как известно, уравнение касательной можно найти в форме точка-наклон:

{displaystyle y-f (a) = k (x-a).,}

Более точное описание

Чтобы сделать предыдущее рассуждение строгим, необходимо объяснить, что подразумевается под коэффициентом разности, приближающимся к определенному предельному значению. k. Точная математическая формулировка была дана Коши в 19 веке и основан на представлении о предел. Предположим, что граф не имеет излома или острого ребра в точке п И это не отвесно и не слишком близко п. Тогда есть уникальное значение k так что, как час приближается к 0, коэффициент разницы становится все ближе и ближе к k, и расстояние между ними становится ничтожным по сравнению с размером час, если час достаточно мала. Это приводит к определению наклона касательной к графику как предела разностных отношений для функции ж. Этот предел является производная функции ж в Икс = а, обозначенный ж ′(а). Используя производные, уравнение касательной можно сформулировать следующим образом:

{displaystyle y = f (a) + f '(a) (x-a).,}

Исчисление предоставляет правила для вычисления производных функций, которые задаются формулами, такими как степенная функция, тригонометрические функции, экспоненциальная функция, логарифм, и их различные комбинации. Таким образом, уравнения касательных к графикам всех этих функций, как и многих других, могут быть найдены методами исчисления.

Как метод может потерпеть неудачу

Расчет также показывает, что на их графиках есть функции и точки, для которых не существует предела, определяющего наклон касательной. Для этих точек функция ж является недифференцируемый. Есть две возможные причины того, что метод нахождения касательных на основе пределов и производных не сработает: либо геометрическая касательная существует, но это вертикальная линия, которую нельзя представить в форме точечного наклона, поскольку у нее нет slope, или график демонстрирует одно из трех поведений, исключающих геометрический касательный.

График у = Икс^1/3 иллюстрирует первую возможность: здесь коэффициент разности при а = 0 равно час^1/3/час = час^−2/3, который становится очень большим при час стремится к 0. Эта кривая имеет вертикальную касательную в начале координат.

График у = Икс^2/3 иллюстрирует другую возможность: этот график имеет куспид в происхождении. Это означает, что когда час стремится к 0, коэффициент разности при а = 0 приближается к плюс или минус бесконечности в зависимости от знака Икс. Таким образом, обе ветви кривой находятся рядом с полувертикальной линией, для которой у= 0, но нет рядом с отрицательной частью этой линии. По сути, в этом случае нет касательной в начале координат, но в некотором контексте можно рассматривать эту прямую как касательную, и даже в алгебраическая геометрия, как двойной касательный.

График у = |Икс| из абсолютная величина Функция состоит из двух прямых линий с разными наклонами, соединенных в начале координат. Как точка q приближается к началу координат справа, секущая всегда имеет наклон 1. Как точка q приближается к началу координат слева, секущая всегда имеет наклон −1. Следовательно, нет единственной касательной к графу в начале координат. Наличие двух разных (но конечных) уклонов называется угол.

Наконец, поскольку дифференцируемость предполагает непрерывность, контрапозитивный состояния прерывность подразумевает недифференцируемость. Любой такой скачок или точечный разрыв не будет иметь касательной. Это включает в себя случаи, когда один наклон приближается к положительной бесконечности, а другой - к отрицательной бесконечности, что приводит к бесконечному разрыву скачка.

Уравнения

Когда кривая задается у = ж(Икс), то наклон касательной равен ${displaystyle {frac {dy} {dx}},}$ так что формула точка – наклон уравнение касательной при (Икс, Y) является

{displaystyle y-Y = {frac {dy} {dx}} (X) cdot (x-X)}

куда (Икс, у) - координаты любой точки на касательной, и где производная вычисляется в ${displaystyle x = X}$ .^[10]

Когда кривая задается у = ж(Икс) уравнение касательной также можно найти^[11] используя полиномиальное деление делить ${displaystyle f, (x)}$ к ${displaystyle (x-X) ^ {2}}$ ; если остаток обозначить ${displaystyle g (x)}$ , то уравнение касательной имеет вид

{displaystyle y = g (x).}

Когда уравнение кривой задано в виде ж(Икс, у) = 0, то значение наклона можно найти по формуле неявное дифференцирование, давая

{displaystyle {frac {dy} {dx}} = - {frac {frac {partial f} {partial x}} {frac {partial f} {partial y}}}.}

Уравнение касательной в точке (Икс,Y) такие, что ж(Икс,Y) = 0 тогда^[10]

{displaystyle {frac {partial f} {partial x}} (X, Y) cdot (x-X) + {frac {partial f} {partial y}} (X, Y) cdot (y-Y) = 0.}

Это уравнение остается верным, если ${displaystyle {frac {partial f} {partial y}} (X, Y) = 0}$ но ${displaystyle {frac {partial f} {partial x}} (X, Y) eq 0}$ (в этом случае наклон касательной бесконечен). Если ${displaystyle {frac {partial f} {partial y}} (X, Y) = {frac {partial f} {partial x}} (X, Y) = 0,}$ касательная не определена, а точка (Икс,Y) называется единственное число.

За алгебраические кривые, вычисления можно несколько упростить, преобразовав в однородные координаты. В частности, пусть однородное уравнение кривой имеет вид грамм(Икс, у, z) = 0 где грамм является однородной функцией степени п. Тогда, если (Икс, Y, Z) лежит на кривой, Теорема Эйлера подразумевает

{displaystyle {frac {partial g} {partial x}} cdot X + {frac {partial g} {partial y}} cdot Y + {frac {partial g} {partial z}} cdot Z = ng (X, Y, Z) = 0.}

Отсюда следует, что однородное уравнение касательной имеет вид

{displaystyle {frac {partial g} {partial x}} (X, Y, Z) cdot x + {frac {partial g} {partial y}} (X, Y, Z) cdot y + {frac {partial g} {partial z}} (X, Y, Z) cdot z = 0.}

Уравнение касательной в декартовых координатах можно найти, задав z= 1 в этом уравнении.^[12]

Чтобы применить это к алгебраическим кривым, напишите ж(Икс, у) в качестве

{displaystyle f = u_ {n} + u_ {n-1} + точки + u_ {1} + u_ {0},}

где каждый ты_р это сумма всех членов степени р. Тогда однородное уравнение кривой имеет вид

{displaystyle g = u_ {n} + u_ {n-1} z + точки + u_ {1} z ^ {n-1} + u_ {0} z ^ {n} = 0.,}

Применение приведенного выше уравнения и установка z= 1 производит

{displaystyle {frac {partial f} {partial x}} (X, Y) cdot x + {frac {partial f} {partial y}} (X, Y) cdot y + {frac {partial g} {partial z}} ( X, Y, 1) = 0}

как уравнение касательной.^[13] Уравнение в этой форме часто проще использовать на практике, поскольку после его применения не требуется дальнейшего упрощения.^[12]

Если кривая задана параметрически к

{displaystyle x = x (t), quad y = y (t)}

то наклон касательной равен

{displaystyle {frac {dy} {dx}} = {frac {frac {dy} {dt}} {frac {dx} {dt}}}}

давая уравнение касательной в точке ${displaystyle, t = T ,, X = x (T) ,, Y = y (T)}$ в качестве^[14]

{displaystyle {frac {dx} {dt}} (T) cdot (y-Y) = {frac {dy} {dt}} (T) cdot (x-X).}

Если ${displaystyle {frac {dx} {dt}} (T) = {frac {dy} {dt}} (T) = 0,}$ касательная не определена. Однако может случиться так, что касательная линия существует и может быть вычислена из неявного уравнения кривой.

Нормальная линия к кривой

Прямая, перпендикулярная касательной к кривой в точке касания, называется прямой. нормальная линия к кривой в этой точке. Наклоны перпендикулярных прямых имеют произведение −1, поэтому, если уравнение кривой имеет вид у = ж(Икс), то наклон нормальной линии равен

{displaystyle - {frac {1} {frac {dy} {dx}}}}

и отсюда следует, что уравнение нормальной прямой в точке (X, Y) имеет вид

{displaystyle (x-X) + {frac {dy} {dx}} (y-Y) = 0.}

Аналогично, если уравнение кривой имеет вид ж(Икс, у) = 0, то уравнение нормальной прямой имеет вид^[15]

{displaystyle {frac {partial f} {partial y}} (x-X) - {frac {partial f} {partial x}} (y-Y) = 0.}

Если кривая задана параметрически как

{displaystyle x = x (t), quad y = y (t)}

тогда уравнение нормальной линии имеет вид^[14]

{displaystyle {frac {dx} {dt}} (x-X) + {frac {dy} {dt}} (y-Y) = 0.}

Угол между кривыми

Угол между двумя кривыми в точке их пересечения определяется как угол между их касательными в этой точке. Более конкретно, две кривые называются касательными в точке, если они имеют одинаковую касательную в точке, и ортогональными, если их касательные линии ортогональны.^[16]

Множественные касательные в точке

Трисектриса лимака: кривая с двумя касательными в начале координат.

Формулы выше не работают, если точка особая точка. В этом случае через точку могут проходить две или более ветви кривой, каждая из которых имеет свою касательную линию. Когда точка является началом координат, уравнения этих линий могут быть найдены для алгебраических кривых путем факторизации уравнения, образованного путем исключения всех членов, кроме членов самой низкой степени из исходного уравнения. Поскольку любая точка может быть сделана началом координат заменой переменных (или Идет перевод кривая), что дает метод нахождения касательных в любой особой точке.

Например, уравнение Limaçon Triisectrix справа показано

{displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -2ax) ^ {2} = a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}).,}

Расширение этого и исключение всех, кроме членов степени 2, дает

{displaystyle a ^ {2} (3x ^ {2} -y ^ {2}) = 0,}

который после факторинга становится

{displaystyle y = pm {sqrt {3}} x.}

Итак, это уравнения двух касательных, проходящих через начало координат.^[17]

Когда кривая не является самопересекающейся, касательная в контрольной точке все же может быть не определена однозначно, потому что кривая не дифференцируема в этой точке, хотя она дифференцируема в другом месте. В этом случае левая и правая производные определяются как пределы производной, поскольку точка, в которой она оценивается, приближается к контрольной точке соответственно слева (более низкие значения) или справа (более высокие значения). Например, кривая у = |Икс | не дифференцируема в Икс = 0: его левая и правая производные имеют наклоны -1 и 1 соответственно; касательные в этой точке с этими уклонами называются левой и правой касательной.^[18]

Иногда наклоны левой и правой касательных равны, поэтому касательные совпадают. Это верно, например, для кривой у = Икс ^2/3, для которого и левая, и правая производные при Икс = 0 бесконечны; и левая, и правая касательные имеют уравнение Икс = 0.

Касательные круги

Две пары касательных окружностей. Сверху внутри и снизу снаружи по касательной

Два круга неравного радиуса, оба в одной плоскости, называются касательными друг к другу, если они встречаются только в одной точке. Эквивалентно два круги, с радиусы из р_я и центры в (Икс_я, у_я), за я = 1, 2 называются касательными друг к другу, если

{displaystyle left (x_ {1} -x_ {2} ight) ^ {2} + left (y_ {1} -y_ {2} ight) ^ {2} = left (r_ {1} pm r_ {2} ight) ) ^ {2}.,}

Два круга внешне касательный если расстояние между их центрами равна сумме их радиусов.

{displaystyle left (x_ {1} -x_ {2} ight) ^ {2} + left (y_ {1} -y_ {2} ight) ^ {2} = left (r_ {1} + r_ {2} ight) ) ^ {2}.,}

Два круга внутренне касательный если расстояние между их центрами равна разнице их радиусов.^[19]

{displaystyle left (x_ {1} -x_ {2} ight) ^ {2} + left (y_ {1} -y_ {2} ight) ^ {2} = left (r_ {1} -r_ {2} ight) ) ^ {2}.,}

Поверхности и многомерные многообразия

В касательная плоскость к поверхность в данный момент п определяется аналогично касательной в случае кривых. Это наилучшее приближение поверхности плоскостью при п, и может быть получено как предельное положение плоскостей, проходящих через 3 различных точки на поверхности, близких к п поскольку эти точки сходятся к п. В более общем плане существует k-размерный касательное пространство в каждой точке k-размерный многообразие в п-размерный Евклидово пространство.

Смотрите также

Источники

Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление. Лондон: MacMillan and Co., стр.143 ff.

внешняя ссылка

«Касательная линия», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Касательная линия». MathWorld.
По касательной к кругу С интерактивной анимацией
Касательная и первая производная - Интерактивное моделирование

[1] Лейбниц, Г. "Nova Methodus pro Maximis et Minimis ", Acta Eruditorum, Октябрь 1684 г.

[2] Евклид. «Элементы Евклида». Получено 1 июня 2015.

[Shenk-3] а ^б Шенк, Ал. «e-CALCULUS Раздел 2.8» (PDF). п. 2,8. Получено 1 июня 2015.

[4] Кац, Виктор Дж. (2008). История математики (3-е изд.). Эддисон Уэсли. п. 510. ISBN 978-0321387004.

[5] Вольфсон, Пол Р. (2001). "Кривое, сделанное прямо: Роберваль и Ньютон на касательных". Американский математический ежемесячник. 108 (3): 206–216. Дои:10.2307/2695381.

[6] Кац, Виктор Дж. (2008). История математики (3-е изд.). Эддисон Уэсли. С. 512–514. ISBN 978-0321387004.

[7] Ной Вебстер, Американский словарь английского языка (Нью-Йорк: С. Конверс, 1828), т. 2, стр. 733, г. [1]

[8] Декарт, Рене (1954). Геометрия Рене Декарта. Курьер Дувр. п. 95. ISBN 0-486-60068-8. Внешняя ссылка в | publisher = (помощь)

[9] Р. Э. Лангер (октябрь 1937 г.). «Рене Декарт». Американский математический ежемесячный журнал. Математическая ассоциация Америки. 44 (8): 495–512. Дои:10.2307/2301226. JSTOR 2301226.

[E191-10] а ^б Эдвардс Искусство. 191

[11] Стрикленд-Констебль, Чарльз, "Простой метод нахождения касательных к полиномиальным графам", Математический вестник, Ноябрь 2005 г., 466–467.

[E192-12] а ^б Эдвардс Искусство. 192

[E193-13] Эдвардс Искусство. 193

[E196-14] а ^б Эдвардс Искусство. 196

[E194-15] Эдвардс Искусство. 194

[E195-16] Эдвардс Искусство. 195

[E197-17] Эдвардс Искусство. 197

[18] Томас, Джордж Б. младший, и Финни, Росс Л. (1979), Исчисление и аналитическая геометрия, Addison Wesley Publ. Co .: p. 140.

[19] Кружки для получения аттестата с отличием по математике Томаса О’Салливана 1997

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]