Точка (геометрия) - Point (geometry)

В современном математика, а точка обычно относится к элемент некоторых набор называется Космос.

В частности, в Евклидова геометрия, точка - это примитивное понятие на котором строится геометрия, что означает, что точка не может быть определена в терминах ранее определенных объектов. То есть точка определяется только некоторыми свойствами, называемыми аксиомы, что он должен удовлетворить. В частности, геометрические точки не имеют длина, площадь, объем или любой другой размерный атрибут. Распространенное толкование заключается в том, что понятие точки предназначено для отражения понятия уникального местоположения в Евклидово пространство.^[1]

Точки в евклидовой геометрии

Конечное множество точек в двумерном Евклидово пространство.

Очки, рассмотренные в рамках Евклидова геометрия, являются одними из самых фундаментальных объектов. Евклид первоначально определил точку как «то, что не имеет части». В двухмерном Евклидово пространство, точка представлена упорядоченная пара ( $Икс$ , $у$ ) чисел, где первое число условно представляет горизонтальный и часто обозначается $Икс$ , а второе число условно представляет вертикальный и часто обозначается $у$ . Эта идея легко обобщается на трехмерное евклидово пространство, где точка представлена упорядоченной тройкой ( $Икс$ , $у$ , $z$ ) с дополнительным третьим числом, представляющим глубину и часто обозначаемым $z$ . Дальнейшие обобщения представлены упорядоченным туплет из $п$ термины, $(а 1, а 2, \dots , а п)$ куда $п$ это измерение пространства, в котором расположена точка.

Многие конструкции в евклидовой геометрии состоят из бесконечный набор точек, соответствующих определенным аксиомам. Обычно это обозначается набор очков; Например, линия бесконечное множество точек вида ${ displaystyle scriptstyle {L = lbrace (a_ {1}, a_ {2}, ... a_ {n}) | a_ {1} c_ {1} + a_ {2} c_ {2} + .. .a_ {n} c_ {n} = d rbrace}}$ , куда $c 1$ через $c п$ и $d$ константы и $п$ это размерность пространства. Существуют аналогичные конструкции, определяющие самолет, отрезок и другие связанные концепции. Отрезок, состоящий только из одной точки, называется отрезком. выродиться отрезок.

В дополнение к определению точек и построений, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею о точках, что любые две точки могут быть соединены прямой линией. Это легко подтверждается современными расширениями евклидовой геометрии и имело длительные последствия при ее введении, позволяя построить почти все геометрические концепции, известные в то время. Однако постулирование точек Евклида не было ни полным, ни окончательным, и иногда он предполагал факты о точках, которые не вытекали непосредственно из его аксиом, такие как порядок точек на прямой или существование конкретных точек. Несмотря на это, современные расширения системы служат для устранения этих предположений.

Размер точки

Есть несколько неэквивалентных определений измерение по математике. Во всех общих определениях точка 0-мерна.

Размерность векторного пространства

Размерность векторного пространства - это максимальный размер линейно независимый подмножество. В векторном пространстве, состоящем из одной точки (которая должна быть нулевым вектором 0) линейно независимого подмножества не существует. Нулевой вектор сам по себе не является линейно независимым, потому что существует нетривиальная линейная комбинация, делающая его нулевым: ${ Displaystyle 1 cdot mathbf {0} = mathbf {0}}$ .

Топологическое измерение

Топологическая размерность топологического пространства Икс определяется как минимальное значение п, такие что каждый конечный открытая крышка ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ из Икс допускает конечное открытое покрытие ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ из Икс который уточняет ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ в котором ни одна точка не включена более чем в п+1 элементы. Если нет такой минимальной п существует, пространство называется бесконечной покрывающей размерностью.

Дело в том нульмерный относительно размера покрытия, потому что каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из единственного открытого множества.

Хаусдорфово измерение

Позволять Икс быть метрическое пространство. Если S ⊂ Икс и d ∈ [0, ∞), то d-размерный Содержание Хаусдорфа из S это инфимум множества чисел δ ≥ 0 таких, что существует некоторый (индексированный) набор мячи ${ displaystyle {B (x_ {i}, r_ {i}): я in I }}$ покрытие S с р_я > 0 для каждого я ∈ я это удовлетворяет ${ displaystyle sum _ {я in I} r_ {i} ^ {d} < delta}$ .

В Хаусдорфово измерение из Икс определяется

{ displaystyle operatorname {dim} _ { operatorname {H}} (X): = inf {d geq 0: C_ {H} ^ {d} (X) = 0 }.}

Точка имеет размерность Хаусдорфа 0, потому что ее можно покрыть одним шаром сколь угодно малого радиуса.

Геометрия без точек

Хотя понятие точки обычно считается фундаментальным в основной геометрии и топологии, есть некоторые системы, которые от него отказываются, например некоммутативная геометрия и бессмысленная топология. «Бессмысленное» или «бессмысленное» пространство определяется не как набор, но через некую структуру (алгебраический или же логичный соответственно), которое выглядит как хорошо известное функциональное пространство на множестве: алгебра непрерывные функции или алгебра множеств соответственно. Точнее, такие структуры обобщают известные пространства функции таким образом, что операция «принять значение в этот момент» не может быть определена. Дальнейшая традиция начинается с некоторых книг А. Н. Уайтхед в котором понятие региона принимается как примитив вместе с понятием включение или же связь.

Точечные массы и дельта-функция Дирака

Часто в физике и математике полезно представить точку как имеющую ненулевую массу или заряд (это особенно часто встречается в классический электромагнетизм, где электроны идеализируются как точки с ненулевым зарядом). В Дельта-функция Дирака, или же $δ$ функция, является (неформально) обобщенная функция на прямой, которая равна нулю везде, кроме нуля, с интеграл одного по всей реальной линии.^[2]^[3]^[4] Дельта-функцию иногда думают как бесконечно высокий, бесконечно тонкий шип в начале координат с общей площадью, равной единице под шипом, и физически представляет собой идеализированный точечная масса или же точечный заряд.^[5] Он был введен физиком-теоретиком Поль Дирак. В контексте обработка сигналов его часто называют символ единичного импульса (или функция).^[6] Его дискретным аналогом является Дельта Кронекера функция, которая обычно определяется в конечной области и принимает значения 0 и 1.

Смотрите также

внешняя ссылка

[1] Омер, Мерлин М. (1969). Элементарная геометрия для учителей. Читает: Эддисон-Уэсли. п.34–37. OCLC 00218666.

[Dirac1958p58-2] Дирак 1958, §15 δ-функция, п. 58

[3] Гельфанд и Шилов 1968, Том I, §§1.1, 1.3

[4] Шварц 1950, п. 3

[5] Арфкен и Вебер 2000, п. 84

[Bracewell_1986_loc=Chapter_5-6] Bracewell 1986, Глава 5

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Измерение
Размерные пространства	Векторное пространство Евклидово пространство Аффинное пространство Проективное пространство Бесплатный модуль Многообразие Алгебраическое многообразие Пространство-время
Другие размеры	Krull Покрытие Лебега Индуктивный Хаусдорф Минковский Фрактал Степени свободы
Многогранники и формы	Гиперплоскость Гиперповерхность Гиперкуб Гиперсфера Гиперпрямоугольник Демигиперкуб Кросс-многогранник Симплекс
Размеры по номеру	Нуль Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь 8 9 п-размеры Отрицательные размеры
Категория