Первобытное понятие - Википедия - Primitive notion

В математика, логика, философия, и формальные системы, а примитивное понятие это понятие, которое не определяется в терминах ранее определенных понятий. Часто это мотивируется неформально, обычно обращением к интуиция и повседневный опыт. В аксиоматическая теория, отношения между примитивными понятиями ограничиваются аксиомы.^[1] Некоторые авторы называют последнее «определяющим» примитивные понятия одной или несколькими аксиомами, но это может вводить в заблуждение. Формальные теории не могут обойтись без примитивных представлений под страхом бесконечный регресс (согласно проблема регресса ).

Например, в современной геометрии точка, линия, и содержит некоторые примитивные понятия. Вместо того, чтобы пытаться определить их,^[2] их взаимодействие управляется (в Система аксиом Гильберта ) аксиомами типа «Для каждых двух точек существует линия, содержащая их обе».^[3]

Подробности

Альфред Тарский объяснил роль примитивных понятий следующим образом:^[4]

Когда мы приступаем к построению данной дисциплины, мы выделяем, прежде всего, определенную небольшую группу выражений этой дисциплины, которые кажутся нам сразу понятными; выражения в этой группе мы называем ОСНОВНЫМИ ТЕРМИНАМИ или НЕОПРЕДЕЛЕННЫМИ ТЕРМИНАМИ, и мы используем их, не объясняя их значения. В то же время мы принимаем принцип: не использовать какие-либо другие выражения рассматриваемой дисциплины, если только их значение не было сначала определено с помощью примитивных терминов и таких выражений дисциплины, значения которых были объяснены ранее. Предложение, которое таким образом определяет значение термина, называется ОПРЕДЕЛЕНИЕМ, ...

Неизбежный возврат к примитивным представлениям в теория познания было объяснено Жильбер де Б. Робинсон:

Для нематематика часто бывает удивлением, что невозможно точно определить все используемые термины. Это не поверхностная проблема, но лежит в основе всех знаний; необходимо с чего-то начать, а для достижения прогресса нужно четко указать те элементы и отношения, которые не определены, и те свойства, которые принимаются как должное.^[5]

Примеры

Необходимость примитивных понятий иллюстрируется несколькими аксиоматическими основами математики:

Теория множеств: Концепция набор это пример примитивного понятия. В качестве Мэри Тайлз пишет:^[6] [] «Определение» для «множества» - это не столько определение, сколько попытка объяснения чего-то, что получает статус примитивного, неопределенного термина. В качестве доказательства она цитирует Феликс Хаусдорф: «Набор формируется путем объединения отдельных объектов в одно целое. Набор - это множество, рассматриваемое как единое целое».
Наивная теория множеств: The пустой набор это примитивное понятие. Утверждать, что он существует, было бы неявным аксиома.
Арифметика Пеано: The функция преемника и число нуль примитивные понятия. Поскольку арифметика Пеано полезна в отношении свойств чисел, объекты, которые представляют примитивные понятия, могут не иметь строго никакого значения.^{[нужна цитата ]}
Аксиоматические системы: Примитивные понятия будут зависеть от набора аксиом, выбранных для системы. Алессандро Падоа обсудили этот выбор на Международный философский конгресс в Париже в 1900 году.^[7] Сами понятия не обязательно должны быть сформулированы; Сьюзан Хаак (1978) пишет: «Иногда говорят, что набор аксиом дает неявное определение его примитивных терминов».^[8]
Евклидова геометрия: Под Система аксиом Гильберта примитивные понятия точка, линия, плоскость, совпадение, промежуточность, и заболеваемость.
Евклидова геометрия: Под Система аксиом Пеано примитивные понятия точка, сегмент, и движение.
Философия математики: Бертран Рассел рассмотрел "неопределимые математические факторы", чтобы обосновать логицизм в его книге Принципы математики (1903).

Смотрите также

Рекомендации

^ В более общем смысле, в формальной системе правила ограничивают использование примитивных понятий. См. Например MU головоломка для нелогической формальной системы.
^ Евклид (300 г. до н. Э.) Все еще давал определения в своих Элементы, типа «Строка без ширины».
^ Эту аксиому можно формализовать в логика предикатов в качестве "∀Икс₁,Икс₂∈п. ∃у∈L. C(у,Икс₁) ∧ C(у,Икс₂)", куда п, L, и C обозначает набор точек, линий и отношение "содержит" соответственно.
^ Альфред Тарский (1946) Введение в логику и методологию дедуктивных наук, п. 118, Oxford University Press.
^ Жильбер де Б. Робинсон (1959) Основы геометрии, 4-е изд., С. 8, University of Toronto Press
^ Мэри Тайлз (2004) Философия теории множеств, п. 99
^ Алессандро Падоа (1900) «Логическое введение в любую дедуктивную теорию» в Жан ван Хейеноорт (1967) Справочник по математической логике, 1879–1931 гг., Издательство Гарвардского университета 118–23
^ Хаак, Сьюзан (1978), Философия логики, Издательство Кембриджского университета, п. 245, ISBN 9780521293297

[1] В более общем смысле, в формальной системе правила ограничивают использование примитивных понятий. См. Например MU головоломка для нелогической формальной системы.

[2] Евклид (300 г. до н. Э.) Все еще давал определения в своих Элементы, типа «Строка без ширины».

[3] Эту аксиому можно формализовать в логика предикатов в качестве "∀Икс₁,Икс₂∈п. ∃у∈L. C(у,Икс₁) ∧ C(у,Икс₂)", куда п, L, и C обозначает набор точек, линий и отношение "содержит" соответственно.

[4] Альфред Тарский (1946) Введение в логику и методологию дедуктивных наук, п. 118, Oxford University Press.

[5] Жильбер де Б. Робинсон (1959) Основы геометрии, 4-е изд., С. 8, University of Toronto Press

[6] Мэри Тайлз (2004) Философия теории множеств, п. 99

[7] Алессандро Падоа (1900) «Логическое введение в любую дедуктивную теорию» в Жан ван Хейеноорт (1967) Справочник по математической логике, 1879–1931 гг., Издательство Гарвардского университета 118–23

[8] Хаак, Сьюзан (1978), Философия логики, Издательство Кембриджского университета, п. 245, ISBN 9780521293297

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]