Перпендикуляр - Perpendicular

Отрезок AB перпендикулярен отрезку CD, потому что два угла, которые он создает (обозначены оранжевым и синим цветом), составляют каждый по 90 градусов. Отрезок AB можно назвать перпендикуляр от A к отрезку CD, используя слово «перпендикуляр» как существительное. Смысл B называется подножие перпендикуляра от А сегментировать CD, или просто фут А на CD.^[1]

В элементарном геометрия, свойство быть перпендикуляр (перпендикулярность) это отношения между двумя линии которые встречаются в прямой угол (90 градусы ). Собственность распространяется на другие связанные геометрические объекты.

Линия называется перпендикулярной другой линии, если две линии пересекаться под прямым углом.^[2] Явно первая линия перпендикулярна второй линии, если (1) две линии встречаются; и (2) в точке пересечения прямой угол с одной стороны первая линия разрезается второй линией на две конгруэнтный углы. Можно показать, что перпендикулярность симметричный, то есть если первая линия перпендикулярна второй линии, то вторая линия также перпендикулярна первой. По этой причине мы можем говорить о двух линиях как о перпендикулярных (друг другу) без указания порядка.

Перпендикулярность легко продолжается до сегменты и лучи. Например, отрезок линии ${ displaystyle { overline {AB}}}$ перпендикулярно отрезку линии ${ displaystyle { overline {CD}}}$ если, когда каждая расширяется в обоих направлениях, чтобы сформировать бесконечную линию, эти две результирующие линии перпендикулярны в указанном выше смысле. В символах ${ displaystyle { overline {AB}} perp { overline {CD}}}$ означает, что отрезок AB перпендикулярен отрезку CD.^[3] Для получения информации о перпендикулярном символе см. Вверх галс.

Линия называется перпендикулярной самолет если он перпендикулярен каждой линии в плоскости, которую он пересекает. Это определение зависит от определения перпендикулярности между линиями.

Две плоскости в пространстве называются перпендикулярными, если двугранный угол под прямым углом (90 градусов).

Перпендикулярность - это частный пример более общей математической концепции ортогональность; перпендикулярность - это ортогональность классических геометрических объектов. Таким образом, в продвинутой математике слово «перпендикулярный» иногда используется для описания гораздо более сложных геометрических условий ортогональности, например, между поверхностью и ее нормальный.

Нога перпендикуляра

Слово оплачивать часто используется в связи с перпендикулярами. Это использование проиллюстрировано на верхней диаграмме выше и в ее заголовке. Схема может быть в любой ориентации. Стопа не обязательно внизу.

Точнее, пусть $А$ быть точкой и $м$ линия. Если $B$ точка пересечения $м$ и уникальная линия через $А$ что перпендикулярно $м$ , тогда $B$ называется оплачивать этого перпендикуляра через $А$ .

Построение перпендикуляра

Построение перпендикуляра (синий) к прямой AB через точку P.

Построение перпендикуляра к полуоси h из точки P (применимо не только в конечной точке A, M выбирается произвольно), анимация в конце с паузой 10 с

Чтобы провести перпендикуляр к прямой AB через точку P, используя компас и линейка, действуйте следующим образом (см. рисунок слева):

Шаг 1 (красный): построить круг с центром в P, чтобы создать точки A 'и B' на линии AB, которые равноудаленный из П.
Шаг 2 (зеленый): построить круги с центрами A 'и B' равного радиуса. Пусть Q и P - точки пересечения этих двух окружностей.
Шаг 3 (синий): соедините Q и P, чтобы построить желаемый перпендикуляр PQ.

Чтобы доказать, что точка PQ перпендикулярна AB, используйте Теорема сравнения SSS для 'и QPB' сделать вывод, что углы OPA 'и OPB' равны. Затем используйте Теорема сравнения SAS для треугольников OPA 'и OPB' заключить, что углы POA и POB равны.

Чтобы сделать перпендикуляр к линии g в точке P или через нее, используя Теорема Фалеса см. анимацию справа.

В теорема Пифагора можно использовать как основу методов построения прямых углов. Например, посчитав звенья, можно сделать три отрезка цепи с длинами в соотношении 3: 4: 5. Их можно выложить в виде треугольника, у которого будет прямой угол напротив его самой длинной стороны. Этот метод полезен для разбивки садов и полей, где размеры велики и не требуется большой точности. Цепи можно использовать повторно, когда это необходимо.

По отношению к параллельным линиям

Знаки стрелок указывают на то, что линии а и б, вырезано поперечная линия c, параллельны.

Если две строки (а и б) оба перпендикулярны третьей линии (c) все углы, образованные по третьей прямой, являются прямыми углами. Поэтому в Евклидова геометрия, любые две прямые, перпендикулярные третьей, считаются параллельно друг к другу из-за параллельный постулат. И наоборот, если одна линия перпендикулярна второй линии, она также перпендикулярна любой линии, параллельной этой второй линии.

На рисунке справа все углы, заштрихованные оранжевым, конгруэнтны друг другу, а все углы, заштрихованные зеленым, конгруэнтны друг другу, потому что вертикальные углы конгруэнтны, и чередующиеся внутренние углы, образованные поперечными параллельными линиями разреза, конгруэнтны. Следовательно, если строки а и б параллельны, любой из следующих выводов приводит ко всем остальным:

Один из углов на схеме - прямой.
Один из углов, закрашенных оранжевым, соответствует одному из углов, закрашенных зеленым.
Линия c перпендикулярно линии а.
Линия c перпендикулярно линии б.

В вычислении расстояний

В расстояние от точки до линии расстояние до ближайшей точки на этой линии. Это точка, в которой отрезок от нее до данной точки перпендикулярен прямой.

Точно так же расстояние от точки до изгиб измеряется отрезком линии, перпендикулярным касательная линия к кривой в ближайшей точке кривой.

Перпендикулярная регрессия подгоняет линию к точкам данных, минимизируя сумму квадратов перпендикулярных расстояний от точек данных до линии.

В расстояние от точки до плоскости измеряется как длина от точки на отрезке, перпендикулярном плоскости, что означает, что он перпендикулярен всем линиям на плоскости, проходящим через ближайшую точку на плоскости, до данной точки.

График функций

В двумерной плоскости прямые углы могут быть образованы двумя пересекающимися линиями, если товар от их склоны равно -1. Таким образом определяя два линейные функции: $y 1 = а 1 Икс + б 1$ и $y 2 = а 2 Икс + б 2$ , графики функций будут перпендикулярны и образуют четыре прямых угла в местах пересечения линий, если $а 1 а 2 = -1$ . Однако этот метод нельзя использовать, если наклон равен нулю или не определен (линия параллельна оси).

Для другого метода пусть две линейные функции будут: $а 1 Икс + б 1 y + c 1 = 0$ и $а 2 Икс + б 2 y + c 2 = 0$ . Линии будут перпендикулярными тогда и только тогда, когда $а 1 а 2 + б 1 б 2 = 0$ . Этот метод упрощен из скалярное произведение (или, в более общем смысле, внутренний продукт ) из векторов. В частности, два вектора считаются ортогональными, если их внутренний продукт равен нулю.

В кругах и других кониках

Круги

Каждый диаметр из круг перпендикулярно касательная линия к этому кругу в точке, где диаметр пересекает круг.

Отрезок, проходящий через центр круга, делающий пополам аккорд перпендикулярно хорде.

Если пересечение любых двух перпендикулярных хорд делит одну хорду на длины а и б и делит второй пояс на отрезки c и d, тогда а² + б² + c² + d² равняется квадрату диаметра.^[4]

Сумма квадратов длин любых двух перпендикулярных хорд, пересекающихся в данной точке, такая же, как и у любых других двух перпендикулярных хорд, пересекающихся в той же точке, и равна 8р² – 4п² (куда р - радиус круга, а п расстояние от центральной точки до точки пересечения).^[5]

Теорема Фалеса утверждает, что две прямые, проходящие через одну и ту же точку на окружности, но проходящие через противоположные концы диаметра, перпендикулярны. Это эквивалентно тому, что любой диаметр окружности образует прямой угол в любой точке окружности, кроме двух конечных точек диаметра.

Эллипсы

Основные и второстепенные топоры из эллипс перпендикулярны друг другу и касательным линиям к эллипсу в точках пересечения осей эллипса.

Большая ось эллипса перпендикулярна оси директриса и каждому прямая кишка.

Параболы

В парабола ось симметрии перпендикулярна каждой прямой прямой кишке, директрисе и касательной в точке, где ось пересекает параболу.

От точки на касательной к вершине параболы другая касательная к параболе перпендикулярна прямой, проходящей через точку параболы фокус.

В ортоптическое свойство параболы состоит в том, что если две касательные к параболе перпендикулярны друг другу, то они пересекаются по направляющей. И наоборот, две касательные, пересекающиеся на директрисе, перпендикулярны. Это означает, что если смотреть из любой точки на своей директрисе, любая парабола имеет прямой угол.

Гиперболы

В поперечная ось из гипербола перпендикулярна сопряженной оси и каждой направляющей.

Произведение перпендикулярных расстояний от точки P на гиперболе или на ее сопряженной гиперболе до асимптот является константой, не зависящей от местоположения P.

А прямоугольная гипербола имеет асимптоты которые перпендикулярны друг другу. Имеет эксцентриситет равно ${ displaystyle { sqrt {2}}.}$

В полигонах

Треугольники

Ноги прямоугольный треугольник перпендикулярны друг другу.

В высоты из треугольник перпендикулярны их соответствующим базы. В перпендикулярные биссектрисы сторон также играют важную роль в геометрии треугольника.

В Линия Эйлера из равнобедренный треугольник перпендикулярна основанию треугольника.

В Теорема Дроза-Фарни о прямой касается свойства двух перпендикулярных прямых, пересекающихся в треугольнике ортоцентр.

Теорема Харкорта касается отношения сегментов линии через вершина и перпендикулярно любой линии касательная к треугольнику окружать.

Четырехугольники

В квадрат или другой прямоугольник, все пары смежных сторон перпендикулярны. А правая трапеция это трапеция который имеет две пары смежных сторон, перпендикулярных.

Каждый из четырех солодовые привычки из четырехугольник перпендикуляр к стороне, проходящей через середина противоположной стороны.

An ортодиагональный четырехугольник - четырехугольник, диагонали перпендикулярны. К ним относятся квадрат, то ромб, а летающий змей. К Теорема Брахмагупты, в ортодиагональном четырехугольнике, который также является циклический, линия, проходящая через середину одной стороны и через точку пересечения диагоналей, перпендикулярна противоположной стороне.

К теорема ван Обеля, если квадраты построены снаружи на сторонах четырехугольника, отрезки прямых, соединяющие центры противоположных квадратов, перпендикулярны и равны по длине.

Линии в трех измерениях

До трех строк в трехмерное пространство могут быть попарно перпендикулярны, как показано на примере х, у, и z оси трехмерного Декартова система координат.

Смотрите также

Тангенциальные и нормальные компоненты

Примечания

^ Кей (1969, п. 114)
^ Кей (1969, п. 91)
^ Кей (1969, п. 91)
^ Посаментьер и Залкинд, Сложные задачи геометрии, Dover, 2-е издание, 1996: стр. 104–105, № 4–23.
^ Журнал математики колледжа 29 (4), сентябрь 1998 г., стр. 331, задача 635.

внешняя ссылка

Определение: перпендикулярный с интерактивной анимацией.
Как нарисовать серединный перпендикуляр линии с помощью циркуля и линейки (анимационная демонстрация).
Как нарисовать перпендикуляр в конце луча с помощью циркуля и линейки (анимационная демонстрация).

[1] Кей (1969, п. 114)

[2] Кей (1969, п. 91)

[3] Кей (1969, п. 91)

[4] Посаментьер и Залкинд, Сложные задачи геометрии, Dover, 2-е издание, 1996: стр. 104–105, № 4–23.

[5] Журнал математики колледжа 29 (4), сентябрь 1998 г., стр. 331, задача 635.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]