Пирамида (геометрия) - Pyramid (geometry)

Правые пирамиды с регулярным основанием
Обозначения многогранника Конвея	Yп
Символ Шлефли	( ) ∨ {п}
Лица	п треугольники, 1 п-угольник
Края	2п
Вершины	п + 1
Группа симметрии	Cпv, [1,п], (*nn), порядок 2п
Группа вращения	Cп, [1,п]+, (nn), порядок п
Двойной многогранник	Самодвойственный
Характеристики	выпуклый

1-скелет пирамиды колесо графа

В геометрия, а пирамида это многогранник образованный путем подключения многоугольный основание и точка, называемая вершина. Каждое базовое ребро и вершина образуют треугольник, называемый боковая сторона. Это коническое тело с многоугольным основанием. Пирамида с п-сторонняя база имеет п + 1 вершины, п + 1 лица и 2п края. Все пирамиды самодвойственный.

А правая пирамида имеет вершину прямо над центроид своей базы. Непрямые пирамиды называются наклонные пирамиды. А правильная пирамида имеет правильный многоугольник база и обычно подразумевается правая пирамида.^[1][2]

Если не указано иное, пирамида обычно считается обычный квадратная пирамида, как физический пирамида конструкции. А треугольник пирамидой на основе тетраэдр.

Среди наклонных пирамид вроде острые и тупые треугольники, пирамиду можно назвать острый если его вершина находится выше внутренней части основания и тупой если его вершина находится над внешней стороной основания. А прямоугольная пирамида имеет вершину над краем или вершиной основания. В тетраэдре эти квалификаторы меняются в зависимости от того, какая грань считается основной.

Пирамиды - это класс призматоиды. Пирамиды можно складывать вдвое. бипирамиды добавив вторую точку смещения на другой стороне базовой плоскости.

Правые пирамиды с правильным основанием

Правая пирамида с правильным основанием имеет стороны равнобедренного треугольника с симметрией C_пv или [1,п], с порядком 2п. Ему можно дать расширенный Символ Шлефли ( ) ∨ {п}, представляющий точку (), соединенную (ортогональное смещение) с правильный многоугольник, {n}. Операция соединения создает новое ребро между всеми парами вершин двух соединенных фигур.^[3]

В тригональный или треугольная пирамида со всеми равносторонний треугольник лица становится обычный тетраэдр, один из Платоновы тела. Случай более низкой симметрии треугольная пирамида это C_3в, который имеет основание равностороннего треугольника и 3 одинаковые стороны равнобедренного треугольника. Квадратные и пятиугольные пирамиды также могут состоять из правильных выпуклых многоугольников, в этом случае они Твердые тела Джонсона.

Если все ребра квадратной пирамиды (или любого выпуклого многогранника) равны касательная к сфера так что среднее положение точек касания находится в центре сферы, тогда пирамида называется канонический, и составляет половину регулярного октаэдр.

Пирамиды с основанием шестиугольника и выше должны состоять из равнобедренных треугольников. Гексагональная пирамида с равносторонними треугольниками будет полностью плоской фигурой, а семиугольная или выше треугольники вообще не пересекаются.

Правильные пирамиды
Дигональный	Треугольная	Квадрат	Пятиугольник	Шестиугольный	Семиугольный	Восьмиугольный	Эннеагональный	Десятиугольный ...
Неправильный	Обычный	Равносторонний		Равнобедренный

Правые звездные пирамиды

Правые пирамиды с правильный многоугольник базы называются звездные пирамиды.^[4] Например, пентаграммическая пирамида имеет пентаграмма основание и 5 пересекающихся сторон треугольника.

Правые пирамиды с неправильным основанием

Пример общей правой пирамиды с вершиной над центром тяжести базового многоугольника

А правая пирамида можно назвать () ∨P, где () - вершина, ∨ - оператор соединения, а P - базовый многоугольник.

An равнобедренный треугольник прямоугольный тетраэдр можно записать как () ∨ [() ∨ {}] как соединение точки с равнобедренный треугольник база, как [() ∨ ()] ∨ {} или {} ∨ {} как соединение (ортогональные смещения) двух ортогональных сегментов, a дигональный дисфеноид, содержащий 4 грани равнобедренного треугольника. Он имеет C_1v симметрия от двух разных ориентаций основания и вершины, и C_2v в полной симметрии.

А прямоугольный правая пирамида, записываемую как () ∨ [{} × {}], а ромбический пирамида, поскольку () ∨ [{} + {}], оба обладают симметрией C_2v.

Правые пирамиды

Прямоугольная пирамида	Ромбическая пирамида

Объем

В объем пирамиды (также любого конуса) ${ displaystyle V = { tfrac {1} {3}} bh}$, где б это площадь базы и час высота от основания до вершины. Это работает для любого многоугольника, правильного или нестандартного, и любого местоположения вершины при условии, что час измеряется как перпендикуляр расстояние от самолет содержащий базу. В 499 г. Арьябхата, а математик -астроном с классической эпохи Индийская математика и Индийская астрономия, использовал этот метод в Арьябхатия (раздел 2.6).

Формулу можно формально доказать с помощью исчисления. По сходству линейный размеры поперечного сечения, параллельного основанию, линейно увеличиваются от вершины к основанию. Коэффициент масштабирования (коэффициент пропорциональности) равен ${ displaystyle 1 - { tfrac {y} {h}}}$, или же ${ Displaystyle { tfrac {ч-у} {ч}}}$, где час это высота и у - расстояние по перпендикуляру от плоскости основания до поперечного сечения. Поскольку площадь любого поперечного сечения пропорциональна квадрату формы масштабирование коэффициент, площадь поперечного сечения на высоте у является ${ Displaystyle б { tfrac {(ч-у) ^ {2}} {ч ^ {2}}}}$, или поскольку оба б и час константы, ${ displaystyle { tfrac {b} {ч ^ {2}}} (ч-у) ^ {2}}$. Объем задается интеграл

${ displaystyle { frac {b} {h ^ {2}}} int _ {0} ^ {h} (hy) ^ {2} , dy = { frac {-b} {3h ^ {2 }}} (hy) ^ {3} { bigg |} _ {0} ^ {h} = { tfrac {1} {3}} bh.}$

То же уравнение, ${ displaystyle V = { tfrac {1} {3}} bh}$, справедливо и для конусов с любым основанием. Это можно доказать аргументом, аналогичным приведенному выше; видеть объем конуса.

Например, объем пирамиды, основанием которой является п-сторонний правильный многоугольник с длиной стороны s и чей рост час является

${ displaystyle V = { frac {n} {12}} hs ^ {2} cot { frac { pi} {n}}.}$

Формула также может быть получена точно без исчисления для пирамид с прямоугольными основаниями. Рассмотрим единичный куб. Проведите линии от центра куба к каждой из 8 вершин. Это делит куб на 6 равных квадратных пирамид с площадью основания 1 и высотой 1/2. Каждая пирамида явно имеет объем 1/6. Из этого мы заключаем, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.

Затем растяните куб равномерно в трех направлениях на неравные величины, чтобы получившиеся прямоугольные сплошные края были а, б и c, с солидным объемом abc. Каждая из шести пирамид внутри тоже расширяется. И каждая пирамида имеет одинаковый объем abc/ 6. Поскольку пары пирамид имеют высоту а/2, б/ 2 и c/ 2, мы снова видим, что объем пирамиды = высота × площадь основания / 3.

Когда боковые треугольники равносторонние, формула объема имеет вид

${ displaystyle V = { frac {1} {12}} ns ^ {3} cot left ({ frac { pi} {n}} right) { sqrt {1 - { frac {1) } {4 sin ^ {2} { tfrac { pi} {n}}}}}}.}$

Эта формула применяется только для п = 2, 3, 4 и 5; и это также охватывает случай п = 6, для которого объем равен нулю (т.е. высота пирамиды равна нулю).^{[нужна цитата ]}

Площадь поверхности

В площадь поверхности пирамиды ${ Displaystyle А = В + { tfrac {PL} {2}}}$, где B это базовая площадь, п это база периметр, а наклонная высота ${ Displaystyle L = { sqrt {ч ^ {2} + г ^ {2}}}}$, где час высота пирамиды и р это inradius базы.

Центроид

В центроид пирамиды находится на отрезке, соединяющем вершина к центру тяжести основания. Для твердой пирамиды центр тяжести составляет 1/4 расстояния от основания до вершины.

п-мерные пирамиды

Двумерная пирамида представляет собой треугольник, образованный ребром основания, соединенным с неколлинеарной точкой, называемой вершина.

Четырехмерная пирамида называется многогранная пирамида, построенный многогранник в трехмерной гиперплоскости четырехмерного пространства с другой точкой за пределами этой гиперплоскости.

Аналогично строятся и многомерные пирамиды.

Семья симплексы представляют пирамиды в любом измерении, увеличиваясь от треугольник, тетраэдр, 5-элементный, 5-симплекс и т. д. n-мерный симплекс имеет минимум п + 1 вершины, причем все пары вершин соединены края, все тройки вершин, определяющие грани, все четверки точек, определяющие тетраэдр клетки, так далее.

Многогранная пирамида

В 4-х мерном геометрия, а многогранная пирамида это 4-многогранник построен на базе многогранник ячейка и вершина точка. Боковой грани представляют собой клетки пирамиды, каждая из которых состоит из одной грани базового многогранника и вершины. Вершины и ребра многогранных пирамид образуют примеры графики вершин, графы, образованные добавлением одной вершины (вершины) к планарный граф (график базы).

Регулярный 5-элементный (или 4-симплекс ) является примером четырехгранная пирамида. Из однородных многогранников с описанными радиусами меньше 1 можно образовать многогранные пирамиды с правильными четырехгранными сторонами. Многогранник с v вершины, е края и ж грани могут быть основанием многогранной пирамиды с v + 1 вершины, e + v края, е + е лица, и 1 + ж клетки.

A 4D многогранная пирамида с осевой симметрией можно визуализировать в 3D с помощью Диаграмма Шлегеля - трехмерная проекция, в которой вершина находится в центре базового многогранника.

Равносторонние равномерные пирамиды на основе многогранников (Диаграмма Шлегеля )

Симметрия	[1,1,4]	[1,2,3]	[1,3,3]	[1,4,3]		[1,5,3]
имя	Квадратно-пирамидальная пирамида	Пирамида с треугольной призмой	Тетраэдрическая пирамида	Кубическая пирамида	Восьмигранная пирамида	Икосаэдрическая пирамида
Сегментохора показатель[5]	K4.4	K4.7	K4.1	K4.26.1	K4.3	K4.84
Высота	0.707107	0.790569	0.790569	0.500000	0.707107	0.309017
Изображение (Основание)
База	Квадрат пирамида	Треугольная призма	Тетраэдр	Куб	Октаэдр	Икосаэдр

Любой выпуклый 4-многогранник можно разбить на многогранные пирамиды добавив внутреннюю точку и создав по одной пирамиде от каждой грани до центральной точки. Это может быть полезно для вычисления объемов.

4-мерный объем многогранной пирамиды составляет 1/4 объема базового многогранника, умноженного на его перпендикулярную высоту, по сравнению с площадью треугольника, равной 1/2 длины основания, умноженной на высоту, а объем пирамиды составляет 1/3 площадь основания, умноженная на высоту.

Смотрите также

• Бипирамида
• Конус (геометрия)
• Тригональная пирамида (химия)
• Frustum

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Пирамида". MathWorld.