Пятиугольный шестигранник - Википедия - Pentagonal hexecontahedron

Пятиугольный шестиугольник
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Каталонский твердый
Диаграмма Кокстера
Обозначение Конвея	gD
Тип лица	V3.3.3.3.5 нерегулярный пятиугольник
Лица	60
Края	150
Вершины	92
Вершины по типу	12 {5} 20+60 {3}
Группа симметрии	я, 1/2ЧАС₃, [5,3]⁺, (532)
Группа вращения	Я, [5,3]⁺, (532)
Двугранный угол	153°10′43″
Характеристики	выпуклый, лицо переходный хиральный
Курносый додекаэдр (двойственный многогранник )	Сеть

3D модель пятиугольного гексеконтаэдра

В геометрия, а пятиугольный гексеконтаэдр это Каталонский твердый, двойной курносый додекаэдр. Он имеет две различные формы: зеркальные изображения (или же "энантиоморфы ") друг друга. У него 92 вершины, которые охватывают 60 пятиугольных граней. Это каталонское твердое тело с наибольшим числом вершин. Среди каталонских и Архимедов твердых тел, он имеет второе по величине число вершин после усеченный икосододекаэдр, имеющий 120 вершин.

Строительство

Пятиугольный гексеконтаэдр можно построить из курносого додекаэдра, не взяв двойника. Пятиугольные пирамиды добавляются к 12 пятиугольным граням курносого додекаэдра, а треугольные пирамиды добавляются к 20 треугольным граням, которые не имеют общего ребра с пятиугольником. Высота пирамиды регулируется, чтобы сделать их копланарными с другими 60 треугольными гранями курносого додекаэдра. В результате получился пятиугольный гексеконтаэдр.^[1]

Геометрия

Лица неправильные пятиугольники с двумя длинными краями и тремя короткими краями. Позволять ${ Displaystyle xi приблизительно 0,943 , 151 , 259 , 24}$ - действительный нуль многочлена ${ displaystyle x ^ {3} + 2x ^ {2} - phi ^ {2}}$ , куда ${ displaystyle phi = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}$ это Золотое сечение.Тогда соотношение ${ displaystyle l}$ длины кромки определяется как:

{ displaystyle l = { frac {1+ xi} {2- xi ^ {2}}} приблизительно 1,749 , 852 , 566 , 74}

.

Грани имеют четыре равных тупых угла и один острый угол (между двумя длинными краями). Тупые углы равны ${ Displaystyle arccos (- xi / 2) около 118,136 , 622 , 758 , 62 ^ { circ}}$ , а острый равен ${ displaystyle arccos (- phi ^ {2} xi / 2 + phi) приблизительно 67.453 , 508 , 965 , 51 ^ { circ}}$ . Двугранный угол равен ${ Displaystyle arccos (- xi / (2- xi)) приблизительно 153,178 , 732 , 558 , 45 ^ { circ}}$ Обратите внимание, что центры граней курносый додекаэдр не могут служить непосредственно вершинами пятиугольного гексаконтаэдра: четыре центра треугольника лежат в одной плоскости, а центр пятиугольника - нет; его нужно вытолкнуть радиально, чтобы сделать его копланарным с центрами треугольников. Следовательно, не все вершины пятиугольного гексаконтаэдра лежат на одной сфере, и по определению он не является сферой. зоноэдр.

Чтобы найти объем и площадь поверхности пятиугольного гексеконтаэдра, обозначьте более длинную сторону одной из пятиугольных граней как ${ displaystyle b}$ , и установить константу т^[2] ${ displaystyle t = { frac {{ sqrt [{3}] {44 + 12 phi (9 + { sqrt {81 phi -15}})}} + { sqrt [{3}] { 44 + 12 phi (9 - { sqrt {81 phi -15}})}} - 4} {12}} приблизительно 0,471 , 575 , 629 , 622}$ .

Тогда площадь поверхности (A) равна:

${ displaystyle A = { frac {30b ^ {2} cdot (2 + 3t) cdot { sqrt {1-t ^ {2}}}} {1-2t ^ {2}}} приблизительно 162,698 , 964 , 198b ^ {2}}$ .

А объем (V) равен:

${ displaystyle V = { frac {5b ^ {3} (1 + t) (2 + 3t)} {(1-2t ^ {2}) cdot { sqrt {1-2t}}}} приблизительно 189.789 , 852 , 067b ^ {3}}$ .

Вариации

Изоэдральный варианты могут быть выполнены с пятиугольными гранями с 3 длинами кромок.

Этот показанный вариант можно построить, добавив пирамиды к 12 пятиугольным граням и 20 треугольным граням курносый додекаэдр таким образом, что новые треугольные грани параллельны другим треугольникам и могут быть объединены с гранями пятиугольника.

Курносый додекаэдр с увеличенными пирамидами и объединенными гранями	Пример вариации	Сеть

Ортогональные проекции

В пятиугольный гексеконтаэдр имеет три положения симметрии, две по вершинам и одну по середине.

Ортогональные проекции
Проективный симметрия	[3]	[5]⁺	[2]
Изображение
Двойной изображение

Связанные многогранники и мозаики

Сферический пятиугольный гексеконтаэдр

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия: [5,3], (*532)							[5,3]⁺, (532)


{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности многогранников и мозаик пятиугольников с конфигурации лица (V3.3.3.3.п). (Последовательность переходит в разбиение гиперболической плоскости на любую п.) Эти лицо переходный фигуры имеют (n32) вращательные симметрия.

п32 мутации симметрии курносых плиток: 3.3.3.3.n
Симметрия п32	Сферический				Евклидово	Компактный гиперболический		Paracomp.
Симметрия п32	232	332	432	532	632	732	832	∞32
Курносый цифры
Конфиг.	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.∞
Гироскоп цифры
Конфиг.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.∞