Группы точек в трех измерениях - Point groups in three dimensions

Группы точек в трех измерениях
Группа полиэдров, [n, 3], (* n32)
Инволюционная симметрия C_s, (*) [ ] =	Циклическая симметрия C_NV, (* nn) [n] =	Двугранная симметрия D_нэ, (* n22) [n, 2] =
Тетраэдрическая симметрия Т_d, (*332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия О_час, (*432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия я_час, (*532) [5,3] =

В геометрия, а точечная группа в трех измерениях является группа изометрии в трех измерениях, которые оставляют начало координат фиксированным, или, соответственно, группу изометрий сфера. Это подгруппа из ортогональная группа O (3), группа всех изометрии которые оставляют начало координат фиксированным, или, соответственно, группу ортогональные матрицы. Сама O (3) является подгруппой группы Евклидова группа E (3) всех изометрий.

Группы симметрии объектов являются группами изометрий. Соответственно, анализ изометрических групп - это анализ возможных симметрии. Все изометрии ограниченного трехмерного объекта имеют одну или несколько общих фиксированных точек. В качестве одного из них выбираем происхождение.

Группу симметрии объекта иногда также называют полная группа симметрии, в отличие от группа ротации или же собственная группа симметрии, пересечение его полной группы симметрии и группа вращения SO (3) самого трехмерного пространства. Группа вращения объекта равна его полной группе симметрии тогда и только тогда, когда объект хиральный.

Точечные группы в трех измерениях широко используются в химии, особенно для описания симметрии молекула и из молекулярные орбитали формирование ковалентные связи, и в этом контексте их еще называют молекулярные точечные группы.

Конечные группы Кокстера особый набор точечные группы генерируется просто набором отражающих зеркал, проходящих через одну и ту же точку. Ранг п Coxeter Group имеет п зеркала и представлен Диаграмма Кокстера – Дынкина. Обозначение Кокстера предлагает заключенные в скобки обозначения, эквивалентные диаграмме Кокстера, с символами разметки для групп точек вращения и других подсимметричных групп.

Структура группы

SO (3) является подгруппой E⁺(3), который состоит из прямые изометрии, т.е. изометрии, сохраняющие ориентация; он содержит те, которые оставляют исходную точку фиксированной.

O (3) - это прямой продукт группы SO (3) и группы, порожденной инверсия (обозначается его матрицей -я):

O (3) = SO (3) × { я , −я }

Таким образом, существует соответствие 1: 1 между всеми прямыми изометриями и всеми косвенными изометриями посредством инверсии. Также существует взаимно однозначное соответствие между всеми группами прямых изометрий. ЧАС в O (3) и во всех группах K изометрий в O (3), содержащих инверсию:

K = ЧАС × { я , −я }

ЧАС = K ∩ ТАК (3)

Например, если ЧАС является C₂, тогда K является C_2ч, или если ЧАС является C₃, тогда K является S₆. (См. Определения этих групп ниже.)

Если группа прямых изометрий ЧАС имеет подгруппу L из индекс 2, то, кроме соответствующей группы, содержащей инверсию, существует также соответствующая группа, которая содержит косвенные изометрии, но не инверсию:

M = L ∪ ( (ЧАС ∖ L) × { −я } )

где изометрия ( А, я ) отождествляется с А. Примером может быть C₄ за ЧАС и S₄ за M.

Таким образом M получается из ЧАС обращая изометрии в ЧАС ∖ L. Эта группа M так же абстрактная группа, изоморфная ЧАС. И наоборот, для всех групп изометрий, которые содержат косвенные изометрии, но не имеют инверсии, мы можем получить группу вращений, инвертируя косвенные изометрии. Это проясняет при классификации групп изометрии, см. Ниже.

В 2D циклическая группа из k-складывать вращения C_k для каждого положительного целого числа k нормальная подгруппа в O (2,р) и SO (2,р). Соответственно, в 3D для каждой оси циклическая группа k-кратные вращения вокруг этой оси - нормальная подгруппа группы всех вращений вокруг этой оси. Поскольку любая подгруппа индекса два нормальна, группа вращений (C_п) нормально как в группе (C_NV) полученный добавлением к (C_п) плоскости отражения через его ось и в группе (C_нэ) полученный добавлением к (C_п) плоскость отражения, перпендикулярная ее оси.

Трехмерные изометрии с фиксированным началом

Изометрии р³ которые оставляют начало координат на месте, образуя группу O (3,р), можно разделить на следующие категории:

ТАК (3,р):
- личность
- поворот вокруг оси через начало координат на угол, не равный 180 °
- поворот вокруг оси через начало координат на угол 180 °;
то же самое с инверсия (Икс отображается на -Икс), т.е. соответственно:
- инверсия
- вращение вокруг оси на угол, не равный 180 °, в сочетании с отражением в плоскости через начало координат, перпендикулярно оси
- отражение в плоскости через начало координат.

В частности, 4-й и 5-й, а также в более широком смысле 6-й, называются неправильные вращения.

Смотрите также похожие обзор, включая переводы.

Спряжение

При сравнении типа симметрии двух объектов начало координат выбирается для каждого отдельно, т.е. у них не обязательно должен быть один и тот же центр. Более того, два объекта считаются имеющими один и тот же тип симметрии, если их группы симметрии являются сопряженными подгруппами O (3) (две подгруппы ЧАС₁, ЧАС₂ группы грамм находятся сопрягать, если существует грамм ∈ грамм такой, что ЧАС₁ = грамм⁻¹ЧАС₂грамм ).

Например, два 3D-объекта имеют одинаковый тип симметрии:

если оба имеют зеркальную симметрию, но относительно другой зеркальной плоскости
если оба имеют 3-кратную симметрию вращения, но относительно другой оси.

В случае нескольких зеркальных плоскостей и / или осей вращения две группы симметрии относятся к одному и тому же типу симметрии тогда и только тогда, когда есть вращение, отображающее всю структуру первой группы симметрии на структуру второй. (Фактически будет более одного такого поворота, но не бесконечное число, как при наличии только одного зеркала или оси.) Определение сопряженности также позволило бы получить зеркальное отображение структуры, но это не требуется, сама структура ахиральный. Например, если группа симметрии содержит 3-кратную ось вращения, она содержит вращения в двух противоположных направлениях. (Структура является хиральный на 11 пар космические группы с винтовой осью.)

Бесконечные группы изометрий

Есть много бесконечные группы изометрий; например, "циклическая группа "(это означает, что он создается одним элементом - не путать с торсионная группа ), порожденные поворотом иррациональный номер оборотов вокруг оси. Мы можем создавать нециклические абелевы группы добавив больше вращений вокруг той же оси. Существуют также неабелевы группы, порожденные вращениями вокруг разных осей. Обычно (обычно) бесплатные группы. Они будут бесконечными, если специально не выбраны вращения.

Все упомянутые до сих пор бесконечные группы закрыто в качестве топологические подгруппы из O (3). Теперь обсудим топологически замкнутые подгруппы в O (3).

Немаркированный сфера имеет симметрию O (3).

Вся O (3) является группой симметрии сферическая симметрия; ТАК (3) - соответствующая группа вращений. Остальные бесконечные группы изометрий состоят из всех вращения относительно оси, проходящей через начало координат, и с дополнительным отражением в плоскостях, проходящих через ось, и / или отражением в плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярно оси. Группы с отражением в плоскостях, проходящих через ось, с отражением или без отражения в плоскости, проходящей через начало координат, перпендикулярной оси, являются группами симметрии для двух типов цилиндрическая симметрия. Обратите внимание, что любой физический объект, имеющий бесконечную вращательную симметрию, также будет иметь симметрию зеркальных плоскостей относительно оси.

Есть семь непрерывных групп, которые все являются пределами конечных групп изометрий. Эти так называемые группы предельных точек или же Предельные группы Кюри названы в честь Пьер Кюри кто первым их исследовал.^[1]^[2] Семь бесконечных серий аксиальных групп приводят к пяти предельным группам (две из них являются дубликатами), а семь оставшихся точечных групп создают еще две непрерывные группы. В международной системе обозначений это ∞, ∞2, ∞ / m, ∞mm, ∞ / мм, ∞∞ и ∞∞m.^[3]

Конечные группы изометрий

Симметрии в 3D, которые оставляют исходную точку фиксированной, полностью характеризуются симметрией на сфере с центром в начале координат. Для конечных трехмерных точечных групп см. Также группы сферической симметрии.

С точностью до сопряженности множество конечных трехмерных точечных групп состоит из:

7 бесконечных серий с максимум одной осью вращения более чем в 2 раза; это конечные группы симметрии на бесконечной цилиндр, или, что то же самое, на конечном цилиндре. Иногда их называют осевыми или призматическими точечными группами.
7-точечные группы с несколькими осями вращения в 3 и более раз; их также можно охарактеризовать как точечные группы с несколькими осями трехкратного вращения, потому что все 7 включают эти оси; по осям 3-кратного вращения возможны следующие комбинации:
- 4 3-х кратные оси
- 4 3-х кратные оси и 3 4-х кратные оси
- 10 3-кратных осей и 6 5-кратных осей

Согласно кристаллографическая теорема ограничения, ограниченное число точечных групп совместимо с дискретными поступательная симметрия: 27 из 7 бесконечных серий и 5 из 7 других. Вместе они составляют 32 так называемых кристаллографические точечные группы.

Семь бесконечных серий аксиальных групп

Бесконечный ряд аксиальных или призматических групп имеет индекс п, которое может быть любым целым числом; в каждой серии п-я группа симметрии содержит п-складывать вращательная симметрия относительно оси, т.е. симметрия относительно поворота на угол 360 ° /п. п= 1 покрывает случаи полного отсутствия вращательной симметрии. Всего четыре серии без других осей вращательной симметрии (см. циклические симметрии ) и трех с дополнительными осями 2-кратной симметрии (см. двугранная симметрия ). Их можно понимать как группы точек в двух измерениях продлен с осевой координатой и отражениями в ней. Они связаны с фризовые группы;^[4] их можно интерпретировать как повторяющиеся узоры фризовой группы п раз вокруг цилиндра.

В следующей таблице перечислены несколько обозначений для точечных групп: Обозначения Германа – Могена (используется в кристаллография ), Обозначение Шенфлиса (используется для описания молекулярная симметрия ), орбифолдная запись, и Обозначение Кокстера. Последние три удобно связаны не только с его свойствами, но и с порядком группы. Это единое обозначение, также применимое для группы обоев и фризовые группы. Кристаллографические группы имеют п ограничено 1, 2, 3, 4 и 6; снятие кристаллографического ограничения допускает любое положительное целое число.

H – M		Schön.	Сфера.	Кокс.	Фриз	Struct. (Заказ )	Пример	Комментарии
Четное п	Странный п	Schön.	Сфера.	Кокс.	(цилиндр)	Struct. (Заказ )	Пример	Комментарии
п		C_п	nn	[n]⁺	p1	Z_п (п)		п-кратная вращательная симметрия
2п	п	S_2п	п×	[2n⁺,2⁺]	p11g	Z_2п (2п)		п-складывать вращательное отражение симметрия Не путать с абстрактным симметричная группа
п/ м	2п	C_пчас	п*	[п⁺,2]	p11m	Z_п× Z₂ (2п)
пмм	пм	C_пv	*nn	[n]	p1m1	Dih_п (2п)		Пирамидальный симметрия; в биологии бирадиальная симметрия
п22	п2	D_п	22п	[n, 2]⁺	p211	Dih_п (2п)		Двугранная симметрия
2п2м	пм	D_пd	2*п	[2н, 2⁺]	p2mg	Dih_2п (4п)		Антипризматический симметрия
п/М-м-м	2п2м	D_пчас	*22п	[n, 2]	p2мм	Dih_п× Z₂ (4п)		Призматический симметрия

Для нечетных п у нас есть Z_2п = Z_п × Z₂ и Ди_2п = Dih_п × Z₂.

Термины горизонтальный (h) и вертикальный (v) и соответствующие индексы относятся к дополнительной плоскости зеркала, которая может быть параллельна оси вращения (вертикально) или перпендикулярна оси вращения (горизонтально).

Самые простые нетривиальные имеют инволюционный симметрия (абстрактная группа Z₂ или Dih₁):

C_я – инверсия симметрия
C₂ – 2-кратный вращательная симметрия
C_s – симметрия отражения, также называемый двусторонняя симметрия.

Узоры на цилиндрической ленте, иллюстрирующие корпус п = 6 для каждого из 7 бесконечных семейств точечных групп. Группа симметрии каждого рисунка - это указанная группа.

Вторая из них - первая из одноосных групп (циклические группы ) C_п порядка п (также применимо в 2D), которые генерируются одним поворотом на угол 360 ° /п. В дополнение к этому, можно добавить плоскость зеркала, перпендикулярную оси, давая группе C_нэ порядка 2п, или набор п зеркальные плоскости, содержащие ось, давая группе C_NV, также порядка 2п. Последняя является группой симметрии для регулярного п-сторонний пирамида. Типичный объект с группой симметрии C_п или же D_п это пропеллер.

Если добавлены как горизонтальная, так и вертикальная плоскости отражения, их пересечения дают п оси вращения на 180 °, поэтому группа больше не одноосная. Эта новая группа порядка 4п называется D_нэ. Его подгруппа поворотов - это группа диэдра D_п порядка 2п, который по-прежнему имеет 2-кратные оси вращения, перпендикулярные первичной оси вращения, но не имеет зеркальных плоскостей.

Примечание: в 2D, D_п включает отражения, которые также можно рассматривать как переворачивание плоских объектов без различия лицевой и обратной стороны; но в 3D различают две операции: D_п содержит "переворачивание", а не размышления.

В этой семье есть еще одна группа, которая называется D_nd (или же D_NV), который имеет вертикальные зеркальные плоскости, содержащие основную ось вращения, но вместо горизонтальной зеркальной плоскости он имеет изометрию, сочетающую отражение в горизонтальной плоскости и поворот на угол 180 ° /п. D_нэ группа симметрии для "регулярного" п-гональный призма а также для "обычного" п-гональный бипирамида. D_nd группа симметрии для "регулярного" п-гональный антипризма, а также для "обычного" п-гональный трапецоэдр. D_п - группа симметрии частично повернутой («закрученной») призмы.

Группы D₂ и D_2час примечательны тем, что здесь нет специальной оси вращения. Скорее, есть три перпендикулярных оси 2-го порядка. D₂ является подгруппой всех полиэдральных симметрий (см. ниже), а D_2час является подгруппой групп полиэдров T_час и O_час. D₂ может произойти в гомотетрамеры Такие как Конканавалин А, в четырехграннике координационные соединения с четырьмя одинаковыми хиральные лиганды или в молекуле, такой как тетракис (хлорфторметил) метан, если все хлорфторметильные группы имеют одинаковую хиральность. Элементы D₂ находятся в 1-2 соответствии с поворотами, заданными единица измерения Липшицевы кватернионы.

Группа S_п создается комбинацией отражения в горизонтальной плоскости и поворота на угол 360 ° / n. За п нечетно, это равно группе, порожденной двумя отдельно, C_нэ порядка 2п, поэтому обозначение S_п не нужен; однако для п даже это отчетливо и по порядку п. Нравиться D_nd он содержит ряд неправильные вращения без соответствующих поворотов.

Все группы симметрии в 7 бесконечных сериях различны, за исключением следующих четырех пар взаимно равных:

C_{1 час} и C_1v: группа порядка 2 с одиночным отражением (C_s )
D₁ и C₂: группа порядка 2 с одним поворотом на 180 °
D_1час и C_2v: группа порядка 4 с отражением в плоскости и поворотом на 180 ° через линию в этой плоскости.
D_1d и C_2час: группа порядка 4 с отражением в плоскости и поворотом на 180 ° по линии, перпендикулярной этой плоскости.

S₂ - группа порядка 2 с одной инверсией (C_я ).

«Равный» здесь означает то же самое, вплоть до сопряжения в пространстве. Это сильнее, чем «с точностью до алгебраического изоморфизма». Например, есть три разные группы второго порядка в первом смысле, но во втором смысле есть только одна. Аналогично, например, S_2n алгебраически изоморфна Z_2n.

Группы могут быть построены следующим образом:

C_п. Генерируется элементом, также называемым C_п, что соответствует повороту на угол 2π /п вокруг оси. Его элементами являются E (тождество), C_п, С_п², ..., C_п^п−1, соответствующие углам поворота 0, 2π /п, 4π /п, ..., 2(п - 1) π /п.
S_2п. Генерируется элементом C_2пσ_час, где σ_час отражение в направлении оси. Его элементами являются элементы C_п с C_2nσ_час, С_2п³σ_час, ..., C_2п^2п−1σ_час добавлен.
C_пчас. Генерируется элементом C_п и отражение σ_час. Его элементами являются элементы группы C_п, с элементами σ_час, С_пσ_час, С_п²σ_час, ..., C_п^п−1σ_час добавлен.
C_пv. Генерируется элементом C_п и отражение σ_v в направлении в плоскости, перпендикулярной оси. Его элементами являются элементы группы C_п, с элементами σ_v, С_пσ_v, С_п²σ_v, ..., C_п^п−1σ_v добавлен.
D_п. Генерируется элементом C_п и поворот на 180 ° U = σ_часσ_v вокруг направления в плоскости, перпендикулярной оси. Его элементами являются элементы группы C_п, с элементами U, C_пU, C_п²U, ..., C_п^п − 1U добавил.
D_пd. Генерируется элементами C_2пσ_час и σ_v. Его элементами являются элементы группы C_п а дополнительные элементы S_2п и C_пv, с элементами C_2пσ_часσ_v, С_2п³σ_часσ_v, ..., C_2п^2п − 1σ_часσ_v добавлен.
D_пчас. Генерируется элементами C_п, σ_час, а σ_v. Его элементами являются элементы группы C_п а дополнительные элементы C_пчас, С_пv, а D_п.

Принимая п to ∞ дает группы с непрерывным осевым вращением:

H – M	Schönflies	Орбифолд	Coxeter	Предел	Абстрактная группа
∞	C_∞	∞∞	[∞]⁺	C_п	Z_∞	ТАК (2)
∞, ∞ / м	C_∞h	∞*	[2,∞⁺]	C_пчас, S_2п	Z₂× Z_∞	Z₂× SO (2)
∞m	C_∞v	*∞∞	[∞]	C_пv	Dih_∞	О (2)
∞2	D_∞	22∞	[2,∞]⁺	D_п	Dih_∞	О (2)
∞м, ∞ / мм	D_∞h	*22∞	[2,∞]	D_пчас, D_пd	Z₂× Z_∞	Z₂× O (2)

Семь оставшихся групп точек

Остальные точечные группы называются очень высокими или многогранник симметрии, потому что они имеют более одной оси вращения порядка больше 2. Здесь C_п обозначает ось вращения на 360 ° / n, а S_п обозначает ось неправильного вращения через то же самое. В скобках указаны орбифолдная запись, Обозначение Кокстера (Диаграмма Кокстера ), полный Обозначения Германа – Могена, и сокращенный, если он отличается. Группы:

Т, (332) [3,3]⁺ () 23 заказ 12	хиральный тетраэдрическая симметрия	Есть четыре C₃ оси, каждая через две вершины куб (диагонали тела) или один из обычных тетраэдр, а три C₂ по осям, через центры граней куба или середины ребер тетраэдра. Эта группа изоморфный к А₄, то переменная группа на 4 элементах и является группой вращения правильного тетраэдра. Это нормальная подгруппа Т_d, Т_час, и октаэдрические симметрии. Элементы группы соответствуют 1-2 вращения вращениям, заданным 24 единица измерения Кватернионы Гурвица ("бинарная тетраэдрическая группа ").
Т_d, (*332) [3,3] () 43м заказ 24	полная тетраэдрическая симметрия	Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, но с шестью зеркальными плоскостями, каждая из которых содержит два ребра куба или одно ребро тетраэдра, одно C₂ оси и два C₃ топоры. C₂ оси теперь на самом деле S₄ топоры. Эта группа является группой симметрии для регулярного тетраэдр. Т_d изоморфен S₄, то симметричная группа на 4-х буквах, потому что между элементами T_d и 24 перестановки четырех осей 3-го порядка. Объект C_3в симметрия относительно одной из осей 3-го порядка возникает под действием T_d для орбита состоящий из четырех таких объектов, а T_d соответствует набору перестановок этих четырех объектов. Т_d нормальная подгруппа O_час. Смотрите также изометрии правильного тетраэдра.
Т_час, (3*2) [3⁺,4] () 2 / м3, м3 заказ 24	пиритоэдрическая симметрия	Швы волейбол есть Т_час симметрия. Эта группа имеет те же оси вращения, что и Т, с зеркальными плоскостями, параллельными граням куба. C₃ оси становятся S₆ осей, и имеется инверсионная симметрия. Т_час изоморфен А₄ × Z₂ (поскольку T и C_я обе нормальные подгруппы), а не к симметричная группа S₄. Это симметрия куба, у которого на каждой грани есть отрезок прямой, разделяющий грань на два равных прямоугольника, так что отрезки смежных граней не пересекаются на краю. Симметрии соответствуют четным перестановкам диагоналей тела и совмещены с инверсией. Это также симметрия пиритоэдр, который похож на описанный куб, в котором каждый прямоугольник заменен пятиугольником с одной осью симметрии, 4 равными сторонами и 1 другой стороной (той, которая соответствует отрезку прямой, разделяющей грань куба); т.е. грани куба на разделительной линии выпирают и сужаются. Это подгруппа (но не нормальная подгруппа) полной группы симметрии икосаэдра (как группа изометрий, а не только как абстрактная группа) с 4 из 10 3-кратных осей. Это нормальная подгруппа группы O_час.
О, (432) [4,3]⁺ () 432 заказ 24	хиральный октаэдрическая симметрия	Эта группа похожа на T, но C₂ оси теперь C₄ осей, и дополнительно есть 6 C₂ оси, через середины краев куба. Эта группа также изоморфна S₄ потому что его элементы находятся в соответствии 1 к 1 24 перестановкам осей 3-го порядка, как и в случае T. D₃ симметрия относительно одной из осей 3-го порядка приводит к возникновению под действием O орбита состоящий из четырех таких объектов, а O соответствует набору перестановок этих четырех объектов. Это группа вращения куб и октаэдр. Представление поворотов с кватернионы, O состоит из 24 единица измерения Кватернионы Гурвица и 24 Липшицевы кватернионы квадрата нормы 2, нормированной делением на ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ . Как и раньше, это соответствие 1-2.
О_час, (*432) [4,3] () 4 / м32 / м, м3м заказ 48	полная октаэдрическая симметрия	Эта группа имеет те же оси вращения, что и О, но с зеркальными плоскостями, включающими обе зеркальные плоскости Т_d и Т_час. Эта группа изоморфна S₄ × Z₂ (потому что и O, и C_я нормальные подгруппы), а является группой симметрии группы куб и октаэдр. Смотрите также изометрии куба.
я, (532) [5,3]⁺ () 532 заказ 60	хиральный икосаэдрическая симметрия	группа вращения икосаэдр и додекаэдр. Это нормальная подгруппа из индекс 2 в полной группе симметрий я_час. В группе 10 версий D₃ и 6 версий D₅ (вращательные симметрии, такие как призмы и антипризмы). Он также содержит пять версий Т (видеть Соединение пяти тетраэдров ). Группа я является изоморфный к А₅, то переменная группа на 5 букв, так как его элементы соответствуют 1 к 1 с четными перестановками пяти Т_час симметрии (или только что упомянутые пять тетраэдров). Представление поворотов с кватернионы, я состоит из 120 единица измерения икозианцы. Как и раньше, это соответствие 1-2.
я_час, (*532) [5,3] () 532 / м, 53м заказ 120	полная симметрия икосаэдра	группа симметрии икосаэдра и додекаэдра. Группа я_час изоморфен А₅ × Z₂ потому что я и C_я обе нормальные подгруппы. В группе 10 версий D_3D, 6 версий D_5d (симметрии типа антипризм) и 5 версий T_час.

К этим группам относятся следующие непрерывные группы:

∞∞, K, или же ТАК (3), все возможные повороты.
∞∞m, K_час, или же О (3), все возможные повороты и отражения.

Как отмечалось выше для бесконечные группы изометрий, любой физический объект, имеющий K-симметрию, также будет иметь K_час симметрия.

Связь между орбифолдной нотацией и порядком

Порядок каждой группы составляет 2, разделенных на орбифолд Эйлерова характеристика; последнее равно 2 минус сумма значений характеристик, назначенных следующим образом:

п без или до * считается как (п−1)/п
п после * считается как (п−1)/(2п)
* и × считаются как 1

Это также может применяться для группы обоев и фризовые группы: для них сумма значений признаков равна 2, что дает бесконечный порядок; видеть орбифолдная эйлерова характеристика для групп обоев

Отражающие группы Кокстера

Фундаментальные области трехмерных групп Кокстера
А₃, [3,3],	B₃, [4,3],	ЧАС₃, [5,3],
6 зеркал	3 + 6 зеркал	15 зеркал
2А₁, [1,2],	3А₁, [2,2],	А₁А₂, [2,3],
2 зеркала	3 зеркала	4 зеркала
А₁, [1],	2А₁, [2],	А₂, [3],
1 зеркало	2 зеркала	3 зеркала

Группы отражающих точек в трех измерениях также называются Группы Кокстера и может быть задан Диаграмма Кокстера-Дынкина и представляют собой набор зеркал, которые пересекаются в одной центральной точке и ограничивают сферический треугольник домен на поверхности сферы. Группы Кокстера с менее чем тремя образующими имеют вырожденные сферические треугольные области, так как люны или полушарие. В Обозначение Кокстера эти группы тетраэдрическая симметрия [3,3], октаэдрическая симметрия [4,3], икосаэдрическая симметрия [5,3], и двугранная симметрия [п, 2]. Количество зеркал для неприводимой группы равно нч / 2, куда час группа Кокстера Число Кокстера, п - размерность (3).^[5]

Weyl группа		Заказ	Coxeter номер (час)	Зеркала (м)
Группы полиэдров
А₃	[3,3]	24	4	6
B₃	[4,3]	48	6	3+6
ЧАС₃	[5,3]	120	10	15
Диэдральные группы
2А₁	[1,2]	4		1+1
3А₁	[2,2]	8		2+1
я₂(п)А₁	[п, 2]	4p		п + 1
Циклические группы
2А₁	[2]	4		2
я₂(п)	[п]	2p		п
Одиночное зеркало
А₁	[ ]	2		1

Группы вращения

Группы вращений, то есть конечные подгруппы SO (3), это: циклические группы C_п (группа вращения канонической пирамида ) группы диэдра D_п (группа вращения униформы призма, или канонический бипирамида ), а группы вращений Т, О и я регулярного тетраэдр, октаэдр /куб и икосаэдр /додекаэдр.

В частности, группы диэдра D₃, D₄ и т. д. представляют собой группы вращений плоских правильных многоугольников, вложенных в трехмерное пространство, и такую фигуру можно рассматривать как вырожденную правильную призму. Поэтому его еще называют диэдр (Греческий: твердое тело с двумя лицами), что объясняет название группа диэдра.

Объект с группой симметрии C_п, C_нэ, C_NV или же S_2n имеет группу ротации C_п.
Объект с группой симметрии D_п, D_нэ, или же D_nd имеет группу ротации D_п.
Объект с одной из других семи групп симметрии имеет в качестве группы вращения соответствующую группу без индекса: Т, О или же я.

Группа вращения объекта равна его полной группе симметрии тогда и только тогда, когда объект хиральный. Другими словами, киральные объекты - это объекты, группа симметрии которых указана в списке групп вращения.

Приведены в Обозначение Шенфлиса, Обозначение Кокстера, (орбифолдная запись ) подгруппами вращения являются:

Отражение	Отражение / вращение	Неправильное вращение	Вращение
C_NV, [n], (* nn)	C_нэ, [n⁺, 2], (п *)	S_2n, [2n⁺,2⁺], (n ×)	C_п, [n]⁺, (nn)
D_нэ, [2, n], (* n22)	D_nd, [2⁺, 2n], (2 * n)		D_п, [2, n]⁺, (n22)
Т_d, [3,3], (*332)			Т, [3,3]⁺, (332)
О_час, [4,3], (*432)	Т_час, [3⁺,4], (3*2)		О, [4,3]⁺, (432)
я_час, [5,3], (*532)			я, [5,3]⁺, (532)

Соответствие между группами ротации и другими группами

Следующие группы содержат инверсия:

C_нэ и D_нэ даже для п
S_2п и D_nd для нечетных п (S₂ = C_я - группа, порожденная инверсией; D_1д = C_2ч)
Т_час, О_час, и я_час

Как объяснялось выше, между этими группами и всеми группами ротации существует соответствие один-к-одному:

C_нэ даже для п и S_2п для нечетных п соответствуют C_п
D_нэ даже для п и D_nd для нечетных п соответствуют D_п
Т_час, О_час, и я_час соответствуют Т, О, и я, соответственно.

Остальные группы содержат косвенные изометрии, но не инверсию:

C_NV
C_нэ и D_нэ для нечетных п
S_2п и D_nd даже для п
Т_d

Все они соответствуют группе вращения ЧАС и подгруппа L индекса 2 в том смысле, что они получаются из ЧАС обращая изометрии в ЧАС \ L, как объяснено выше:

C_п является подгруппой D_п индекса 2, давая C_NV
C_п является подгруппой C_2n индекса 2, давая C_нэ для нечетных п и S_2п даже для п
D_п является подгруппой D_2n индекса 2, давая D_нэ для нечетных п и D_nd даже для п
T - подгруппа О индекса 2, давая Т_d

Максимальные симметрии

Есть две дискретные точечные группы со свойством, что ни одна дискретная точечная группа не имеет ее в качестве собственной подгруппы: О_час и я_час. Их самая большая общая подгруппа Т_час. Две группы получаются из него путем изменения 2-кратной симметрии вращения на 4-кратную и добавления 5-кратной симметрии соответственно.

Существуют две кристаллографические точечные группы, обладающие тем свойством, что ни одна кристаллографическая точечная группа не имеет ее как собственную подгруппу: О_час и D_6ч. Их максимальные общие подгруппы, в зависимости от ориентации, следующие: D_3D и D_2ч.

Группы, упорядоченные по абстрактному типу группы

Ниже группы, описанные выше, упорядочены по абстрактному типу групп.

Наименьшие абстрактные группы, которые нет любую группу симметрии в 3D, являются группа кватернионов (порядка 8), Z₃ × Z₃ (порядка 9), дициклическая группа Dic₃ (порядка 12) и 10 из 14 групп порядка 16.

В столбце «Количество элементов порядка 2» в следующих таблицах показано общее количество подгрупп типов изометрии. C₂, C_я, C_s. Это общее количество является одной из характеристик, помогающих различать различные типы абстрактных групп, в то время как их тип изометрии помогает различать различные группы изометрии одной и той же абстрактной группы.

В пределах возможностей групп изометрий в 3D существует бесконечно много типов абстрактных групп с 0, 1 и 3 элементами порядка 2, есть два с 2п + 1 элемента порядка 2, а есть три с 2п + 3 элемента порядка 2 (для каждого п ≥ 2). Никогда не бывает положительного четного числа элементов порядка 2.

Группы симметрии в 3D, которые являются циклическими как абстрактная группа

В группа симметрии за п-кратно ротационный симметрия является C_п; его абстрактный тип группы циклическая группа Z_п, который также обозначается C_п. Однако есть еще две бесконечные серии групп симметрии с этим абстрактным типом группы:

Для четного порядка 2п есть группа S_2n (Обозначение Шенфлиса), создаваемое вращением на угол 180 ° / n вокруг оси, в сочетании с отражением в плоскости, перпендикулярной оси. За S₂ обозначение C_я используется; он порождается инверсией.
На любой заказ 2п куда п странно, у нас есть C_нэ; у него есть пось вращения и перпендикулярная плоскость отражения. Он создается поворотом на угол 360 ° /п вокруг оси, совмещенный с отражением. За C_1час обозначение C_s используется; он порождается отражением в плоскости.

Таким образом, мы имеем, выделив жирным шрифтом 10 циклических кристаллографических точечных групп, для которых кристаллографическое ограничение применяется:

Заказ	Группы изометрии	Абстрактная группа	# элементов порядка 2
1	C₁	Z₁	0
2	C₂, C_я, C_s	Z₂	1
3	C₃	Z₃	0
4	C₄, S₄	Z₄	1
5	C₅	Z₅	0
6	C₆, S₆, C_3ч	Z₆ = Z₃ × Z₂	1
7	C₇	Z₇	0
8	C₈, S₈	Z₈	1
9	C₉	Z₉	0
10	C₁₀, S₁₀, C_5ч	Z₁₀ = Z₅ × Z₂	1

и Т. Д.

Группы симметрии в 3D, которые являются диэдральными как абстрактная группа

В 2D группа диэдра D_п включает отражения, которые также можно рассматривать как переворачивание плоских объектов без различия передней и задней стороны.

Однако в 3D различаются две операции: группа симметрии, обозначенная D_п содержит п 2-х кратные оси, перпендикулярные оси пось складывания, а не отражения. D_п это группа ротации из п-сторонний призма с обычной базой, и п-сторонний бипирамида с регулярной базой, а также с обычной, п-сторонний антипризма и обычного, п-сторонний трапецоэдр. Группа также является группой полной симметрии таких объектов после их создания. хиральный например идентичная хиральная маркировка на каждой грани или некоторая модификация формы.

Тип абстрактной группы группа диэдра Dih_п, который также обозначается D_п. Однако есть еще три бесконечных серии групп симметрии с этим абстрактным типом группы:

C_NV порядка 2п, группа симметрии регулярного п-сторонний пирамида
D_nd порядка 4п, группа симметрии регулярного п-сторонний антипризма
D_нэ порядка 4п для нечетных п. За п = 1 получаем D₂, уже рассмотрено выше, поэтому п ≥ 3.

Обратите внимание на следующее свойство:

Dih_{4n + 2}

{ displaystyle cong}

Dih_{2n + 1} × Z₂

Таким образом, выделив жирным шрифтом 12 кристаллографических точечных групп и написав D_1д как эквивалент C_2ч:

Заказ	Группы изометрии	Абстрактная группа	# элементов порядка 2
4	D₂, C_2v, C_2ч	Dih₂ = Z₂ × Z₂	3
6	D₃, C_3в	Dih₃	3
8	D₄, C_4в, D_2d	Dih₄	5
10	D₅, C_5v	Dih₅	5
12	D₆, C_6v, D_3D, D_3ч	Dih₆ = Dih₃ × Z₂	7
14	D₇, C_7v	Dih₇	7
16	D₈, C_8v, D_4d	Dih₈	9
18	D₉, C_9v	Dih₉	9
20	D₁₀, C_10v, D_5час, D_5d	Dih₁₀ = D₅ × Z₂	11

и Т. Д.

Другой

C_{2н, ч} порядка 4п имеет абстрактную группу типа Z_2п × Z₂. За п = 1 получаем Dih₂, уже рассмотрено выше, поэтому п ≥ 2.

Таким образом, выделенные жирным шрифтом 2 циклические кристаллографические точечные группы имеем:

Заказ	Группа изометрии	Абстрактная группа	# элементов порядка 2
8	C_4ч	Z₄ × Z₂	3
12	C_6ч	Z₆ × Z₂ = Z₃ × Z₂² = Z₃ × Ди₂	3
16	C_8ч	Z₈ × Z₂	3
20	C_10ч	Z₁₀ × Z₂ = Z₅ × Z₂² = Z₅ × Ди₂	3

и Т. Д.

D_нэ порядка 4п имеет абстрактный групповой тип Dih_п × Z₂. Для нечетных п это уже рассмотрено выше, поэтому здесь D_2пчас порядка 8п, которая имеет абстрактный групповой тип Dih_2п × Z₂ (п≥1).

Таким образом, три диэдральных кристаллографических точечных группы выделены жирным шрифтом:

Заказ	Группа изометрии	Абстрактная группа	# элементов порядка 2
8	D_2ч	Z₂³	7
16	D_4ч	Dih₄ × Z₂	11
24	D_6ч	Dih₆ × Z₂ = Dih₃ × Z₂²	15
32	D_8ч	Dih₈ × Z₂	19

и Т. Д.

Остальные семь, выделенные жирным шрифтом 5 кристаллографических точечных групп (см. Также выше):

Заказ	Группа изометрии	Абстрактная группа	# элементов порядка 2
12	Т	А₄	3
24	Т_d, О	S₄	6
24	Т_час	А₄ × Z₂	6
48	О_час	S₄ × Z₂	6
60	я	А₅
120	я_час	А₅ × Z₂

Фундаментальный домен

Триаконтаэдр Дисдякиса

Плоскости отражения для икосаэдрическая симметрия пересечь сферу на большие круги, с фундаментальными областями прямоугольного сферического треугольника

В фундаментальная область точечной группы является коническое тело. Объект с данной симметрией в данной ориентации характеризуется фундаментальной областью. Если объект представляет собой поверхность, он характеризуется поверхностью в основной области, продолжающейся до ее радиальных боковых граней или поверхности. Если копии поверхности не подходят, можно добавить радиальные грани или поверхности. Они подходят в любом случае, если основная область ограничена плоскостями отражения.

Для многогранника эта поверхность в фундаментальной области может быть частью произвольной плоскости. Например, в дисьякис триаконтаэдр одно полное лицо - это фундаментальная область икосаэдрическая симметрия. Регулировка ориентации плоскости дает различные возможности объединения двух или более смежных граней в одну, давая различные другие многогранники с той же симметрией. Многогранник является выпуклым, если поверхность соответствует его копиям, а радиальная линия, перпендикулярная плоскости, находится в фундаментальной области.

Также поверхность в основной области может состоять из нескольких граней.

Бинарные полиэдральные группы

Отображение Spin (3) → SO (3) является двойным покрытием группы вращений вращательная группа в 3-х измерениях. (Это единственное связное покрытие SO (3), поскольку Spin (3) односвязно.) решеточная теорема, Существует Связь Галуа между подгруппами Spin (3) и подгруппами SO (3) (группы точек вращения): образ подгруппы Spin (3) является группой точек вращения, а прообраз точечной группы является подгруппой Spin (3 ). (Обратите внимание, что Spin (3) имеет альтернативные описания как специальная унитарная группа SU (2) и как группа кватернионы единиц. Топологически эта группа Ли является 3-х мерная сфера S³.)

Прообраз конечной точечной группы называется бинарная группа полиэдров, представленный как ⟨l, n, m⟩, и называется тем же именем, что и его точечная группа, с префиксом двоичный, с двойным порядком связанных группа полиэдров (л, м, н). Например, прообраз группа икосаэдров (2,3,5) - это бинарная группа икосаэдра, ⟨2,3,5⟩.

Бинарные полиэдральные группы:

${ displaystyle A_ {n}}$ : бинарная циклическая группа из (п + 1) -угольник, порядок 2п
${ displaystyle D_ {n}}$ : бинарная группа диэдра из п-угольник, ⟨2,2,п⟩, Заказ 4п
${ displaystyle E_ {6}}$ : бинарная тетраэдрическая группа, ⟨2,3,3⟩, заказ 24
${ displaystyle E_ {7}}$ : бинарная октаэдрическая группа, ⟨2,3,4⟩, заказ 48
${ displaystyle E_ {8}}$ : бинарная группа икосаэдра, ⟨2,3,5⟩, заказ 120

Они классифицируются по Классификация ADE, и частное C² по действию бинарной группы полиэдров является Сингулярность Дюваля.^[6]

Для точечных групп с обратной ориентацией ситуация более сложная, так как есть два группы контактов, поэтому есть две возможные бинарные группы, соответствующие данной точечной группе.

Обратите внимание, что это покрытие группы, не прикрытие пробелы - сфера односвязный, и поэтому не имеет перекрытия. Таким образом, не существует понятия «бинарный многогранник», покрывающий трехмерный многогранник. Бинарные полиэдральные группы являются дискретными подгруппами группы Spin, и в представлении спиновой группы действуют в векторном пространстве и могут стабилизировать многогранник в этом представлении - при отображении Spin (3) → SO (3) они действуют на тот же многогранник, на котором действует основная (недвоичная) группа, а под спиновые представления или другие представления, они могут стабилизировать другие многогранники.

Это в отличие от проективные многогранники - сфера покрывает проективное пространство (а также линзы ), и, таким образом, мозаика проективного пространства или линзового пространства дает отчетливое понятие многогранника.

Смотрите также

Сноски

^ Кюри, Пьер (1894). "Sur la symétrie dans les phénomènes Physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique" [О симметрии физических явлений, симметрии электрического поля и магнитного поля] (PDF). Journal de Physique (На французском). 3 (1): 393–415. Дои:10.1051 / jphystap: 018940030039300.
^ Шубников, А. (1988). «О произведениях Пьера Кюри о симметрии». Симметрии кристаллов: статьи Шубникова к столетию. Pergamon Press. С. 357–364. Дои:10.1016 / B978-0-08-037014-9.50007-8. ISBN 0-08-037014-4.
^ Вайнштейн., Б. К. (1994). Современная кристаллография. 1. Основы кристаллов. Симметрия и методы структурной кристаллографии. (2-е доп. Изд.). Springer-Verlag Berlin. п. 93. ISBN 978-3-642-08153-8.
^ Фишер, Г.Л .; Меллор, Б. (2007), «Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бисера» (PDF), Журнал математики и искусств, 1 (2): 85–96, Дои:10.1080/17513470701416264, S2CID 40755219
^ Coxeter, Правильные многогранники ', §12.6 Число отражений, уравнение 12.61
^ Сингулярности Дю Валь, Игорь Бурбан

внешняя ссылка

Графический обзор 32 кристаллографических точечных групп - формируем первые части (кроме пропуска п= 5) 7 бесконечных серий и 5 из 7 отдельных групп трехмерных точек
Обзор свойств точечных групп
Простейшие канонические многогранники каждого типа симметрии (использует Java)
Точечные группы и кристаллические системы, И-Шу Вэй, стр. 4–6
Центр геометрии: 10.1 Формулы симметрии в декартовых координатах (три измерения)

[1] Кюри, Пьер (1894). "Sur la symétrie dans les phénomènes Physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique" [О симметрии физических явлений, симметрии электрического поля и магнитного поля] (PDF). Journal de Physique (На французском). 3 (1): 393–415. Дои:10.1051 / jphystap: 018940030039300.

[2] Шубников, А. (1988). «О произведениях Пьера Кюри о симметрии». Симметрии кристаллов: статьи Шубникова к столетию. Pergamon Press. С. 357–364. Дои:10.1016 / B978-0-08-037014-9.50007-8. ISBN 0-08-037014-4.

[3] Вайнштейн., Б. К. (1994). Современная кристаллография. 1. Основы кристаллов. Симметрия и методы структурной кристаллографии. (2-е доп. Изд.). Springer-Verlag Berlin. п. 93. ISBN 978-3-642-08153-8.

[4] Фишер, Г.Л .; Меллор, Б. (2007), «Трехмерные конечные точечные группы и симметрия бисера» (PDF), Журнал математики и искусств, 1 (2): 85–96, Дои:10.1080/17513470701416264, S2CID 40755219

[5] Coxeter, Правильные многогранники ', §12.6 Число отражений, уравнение 12.61

[6] Сингулярности Дю Валь, Игорь Бурбан

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Группы точек в трех измерениях - Point groups in three dimensions

Содержание

Структура группы

Трехмерные изометрии с фиксированным началом

Спряжение

Бесконечные группы изометрий

Конечные группы изометрий

Семь бесконечных серий аксиальных групп

Семь оставшихся групп точек

Связь между орбифолдной нотацией и порядком

Отражающие группы Кокстера

Группы вращения

Соответствие между группами ротации и другими группами

Максимальные симметрии

Группы, упорядоченные по абстрактному типу группы

Группы симметрии в 3D, которые являются циклическими как абстрактная группа

Группы симметрии в 3D, которые являются диэдральными как абстрактная группа

Другой

Фундаментальный домен

Бинарные полиэдральные группы

Смотрите также

Сноски

Рекомендации

внешняя ссылка